Triangoli con due vertici dello stesso colore su circonferenza
Lungo una circonferenza sono segnati quattro punti rossi, tre punti verdi, due punti gialli, un punto blu. Quanti triangoli si possono ottenere scegliendo due vertici dello stesso colore ed il terzo di un altro colore?
- (A) 56
- (B) 60
- (C) 72
- (D) 65
- (E) 54
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Triangles with two vertices of the same colour on the circumference
Along a circumference are marked four red dots, three green dots, two yellow dots, one blue dots. How many triangles can be obtained by choosing two vertices of the same color and a third of a different color?
- (A) 56
- (B) 60
- (C) 72
- (D) 65
- (E) 54
src_archimede_2021_triennio__Q01
Massimo valore di 5-3/x con prodotto di fattori nullo
Sapendo che (3x + 2)(7 −4x)(4x + 7) = 0, quale può essere, al massimo, il valore di 5 −3 x ?
- (A) 23/7
- (B) 35/4
- (C) 22/3
- (D) 19/2
- (E) 47/7
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Maximum value of 5-3/x with zero factor product
Knowing that (3x + 2) ((7 −4x) ((4x + 7) = 0, what is the maximum value of 5 −3 x?
- (A) 23/7
- (B) 35/4
- (C) 22/3
- (D) 19/2
- (E) 47/7
src_archimede_2021_triennio__Q02
Cavalieri e furfanti in file all’ufficio postale
Nell’isola dove vivono solo cavalieri (che dicono sempre il vero) e furfanti (che dicono sempre il falso), l’ufficio postale è piuttosto affollato. Ci sono quattro file agli sportelli: una con 11 persone, una con 12, una con 13 e una con 14 persone. Ognuno dei presenti (tranne i primi tre di ciascuna fila) dice questa frase: “tra le persone davanti a me nella mia fila ci sono almeno tre furfanti”. Quanti sono in tutto i cavalieri all’ufficio postale?
- (A) 25
- (B) 32
- (C) 38
- (D) non si può stabilire
- (E) 42
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Knights and thieves in the mail at the post office
On an island where only knights (who always tell the truth) and crooks (who always tell the lies) live, the post office is quite crowded. There are four lines at the gates: one with 11 people, one with 12, one with 13 and one with 14 people. Each of the present (except the first three in each row) says this sentence: Among the people in front of me in my row there are at least three thieves. How many knights are there at the post office?
- (A) 25
- (B) 32
- (C) 38
- (D) It is not possible to establish
- (E) 42
src_archimede_2021_triennio__Q03
Quale prodotto di potenze e un quadrato perfetto
Quale tra i seguenti è il quadrato di un numero intero?
- (A) 7716 · 149 · 2215
- (B) 779 · 1416 · 2225
- (C) 777 · 1417 · 2213
- (D) 779 · 1416 · 2213
- (E) 779 · 1412 · 2216
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
What a power product and a perfect square
Which of the following is the square of an integer?
- (A) 7716 · 149 · 2215
- (B) 779 · 1416 · 2225
- (C) 777 · 1417 · 2213
- (D) 779 · 1416 · 2213
- (E) 779 · 1412 · 2216
src_archimede_2021_triennio__Q04
Probabilita che due compagni finiscano nella stessa aula
Mira e Dino, compagni di banco, sono iscritti ai Giochi di Archimede. I 49 partecipanti, con un sorteggio, vengono sistemati 35 in un’aula e 14 in un’altra. Qual è la probabilità che Mira e Dino finiscano nella stessa aula?
- (A) 9/16
- (B) 1/2
- (C) 7/12
- (D) 8/15
- (E) 5/8
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Probability of two comrades ending up in the same classroom
Mira and Dino, fellow gamblers, are enrolled in the Games of Archimedes. The 49 participants are drawn, 35 in one room and 14 in another. What are the odds that Mira and Dino end up in the same room?
- (A) 9/16
- (B) 1/2
- (C) 7/12
- (D) 8/15
- (E) 5/8
src_archimede_2021_triennio__Q05
Interi n con n^6+3n^5 multiplo di 49, somma di due
Consideriamo i numeri interi positivi n tali che n6 + 3n5 sia multiplo di 49. Supponendo di aver disposto tali valori n in ordine crescente, indicare la somma tra il 4°e il 7°di questi numeri.
- (A) 77
- (B) 74
- (C) 88
- (D) 70
- (E) 81
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Interies n with n^6+3n^5 multiple of 49, sum of two
Consider the positive integers n such that n6 + 3n5 is a multiple of 49. Assuming you have these values in ascending order, indicate the sum between the 4° and the 7° of these numbers.
- (A) 77
- (B) 74
- (C) 88
- (D) 70
- (E) 81
src_archimede_2021_triennio__Q06
Perimetro di esagono circoscritto a una circonferenza
L’esagono ABCDEF è circoscritto a una circonferenza. I suoi lati AB, BC, CD, EF misurano, rispettivamente, 27 m, 25 m, 19 m, 29 m. Qual è il perimetro dell’esagono?
- (A) 150 m
- (B) 146 m
- (C) 148 m
- (D) 152 m
- (E) 154 m
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Hexagon perimeter circumscribed at one circumference
The ABCDEF axis is bounded by a circumference. Its sides AB, BC, CD and EF measure 27 m, 25 m, 19 m and 29 m respectively. What is the perimeter of the hexagon?
- (A) 150 m
- (B) 146 m
- (C) 148 m
- (D) 152 m
- (E) 154 m
src_archimede_2021_triennio__Q07
Area triangolo PQR da aree di sotto-triangoli con ceviane
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (P) at (0,0);
\coordinate (R) at (6,0);
\coordinate (Q) at (2.2,3.8);
\coordinate (S) at (0.924,1.596);
\coordinate (T) at (3.91,2.09);
\coordinate (I) at (2.222,1.188);
\draw (P) -- (Q) -- (R) -- cycle;
\draw (R) -- (S);
\draw (P) -- (T);
\fill (I) circle (1.5pt);
\node[below left] at (P) {$P$};
\node[below right] at (R) {$R$};
\node[above] at (Q) {$Q$};
\node[left] at (S) {$S$};
\node[above right] at (T) {$T$};
\node[below left] at (I) {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Nel triangolo PQR, i punti S e T appartengono, nell’ordine, ai lati PQ e QR. Detto I il punto d’intersezione dei segmenti RS e PT, le aree dei triangoli PIR, RIT e SIP misurano rispettivamente 5 mm2, 10 mm2 e 1 mm2. Qual è l’area del triangolo PQR? P Q R S T I
- (A) 36 mm2
- (B) 30 mm2
- (C) 24 mm2
- (D) 27 mm2
- (E) 32 mm2
Topic: Geometria piana Metodo: Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
*PQR triangular area from sub-triangular areas with cevial *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (P) at (0,0);
\coordinate (R) at (6,0);
\coordinate (Q) at (2.2,3.8);
\coordinate (S) at (0.924,1.596);
\coordinate (T) at (3.91,2.09);
\coordinate (I) at (2.222,1.188);
\draw (P) -- (Q) -- (R) -- cycle;
\draw (R) -- (S);
\draw (P) -- (T);
\fill (I) circle (1.5pt);
\node[below left] at (P) {$P$};
\node[below right] at (R) {$R$};
\node[above] at (Q) {$Q$};
\node[left] at (S) {$S$};
\node[above right] at (T) {$T$};
\node[below left] at (I) {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the PQR triangle, the points S and T belong, in order, to the sides PQ and QR. Given the intersection of the RS and PT segments, the areas of the PIR, RIT and SIP triangles measure 5 mm2, 10 mm2 and 1 mm2 respectively. What is the area of the PQR triangle? P Q R S T I
- (A) 36 mm2
- (B) 30 mm2
- (C) 24 mm2
- (D) 27 mm2
- (E) 32 mm2
src_archimede_2021_triennio__Q08
Valori di k con polinomio avente radice doppia dell’altra
Consideriamo i valori reali k tali che il polinomio p(x) = x2 −(k + 1)x + (3k + 1) abbia una radice che è doppia dell’altra. Indicare la somma di tutti questi valori k.
- (A) 19/2
- (B) 9
- (C) 17/4
- (D) 23/2
- (E) 19/4
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
*Values of k with a polynomial having a double root of the other *
Consider real k such that the polynomial p(x) = x2 −(k + 1)x + (3k + 1) has a root that is twice the other. Indicate the sum of all these values k.
- (A) 19/2
- (B) 9
- (C) 17/4
- (D) 23/2
- (E) 19/4
src_archimede_2021_triennio__Q09
Parole infinite su A,B evitando certe terne di lettere
Emanuela scrive delle parole usando solo le lettere A e B, rispettando queste condizioni: ciascuna parola non può contenere nessuna delle sequenze di tre lettere consecutive AAA, BBB, ABB, BBA. Quante sono le parole di lunghezza infinita (ossia che proseguono illimitatamente verso destra) che Emanuela potrebbe scrivere?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) nessuna
- (D) infinite
- (E) 4
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*Infinite words on A,B avoiding certain letters *
Emanuela writes words using only the letters A and B, respecting these conditions: each word cannot contain any of the sequences of three consecutive letters AAA, BBB, ABB, BBA. How many words of infinite length (i.e. continuing unlimitedly to the right) could Emmanuel write?
- (A) 2
- (B) 3
- (C) None of them.
- (D) Endless
- (E) 4
src_archimede_2021_triennio__Q10
Angolo ADM in parallelogramma con punti conciclici
In un parallelogramma ABCD dove bA = 76°, siano M un punto sul lato AB e N un punto sul lato BC tali che MC = CD e DM = MN. I punti C, D, M, N appartengono a una stessa circonferenza. Qual è l’ampiezza dell’angolo
ADM ?
- (A) 38°
- (B) 30°
- (C) 27°
- (D) 36°
- (E) 33°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Adm angle in parallelogram with conic points
In an ABCD parallelogram where bA = 76°, M is a point on the AB side and N is a point on the BC side such that MC = CD and DM = MN. The points C, D, M, N belong to the same circumference. What is the width of the angle \ ADM ?
- (A) 38°
- (B) 30°
- (C) 27°
- (D) 36°
- (E) 33°
src_archimede_2021_triennio__Q11
Funzione con due simmetrie, somma di valori
La funzione a valori reali f soddisfa le uguaglianze f(x) = f(2021 −x) e f(x + 10) = f(2010 −x), per qualsiasi numero reale x. Sapendo che f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 6, qual è il valore di f(16) + f(17) + f(18) ?
- (A) 18
- (B) 8/3
- (C) non si può stabilire
- (D) 9/2
- (E) 18/5 1302 Unione Matematica Italiana PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA Ministero dell’Istruzione I Giochi di Archimede - Gara Triennio 2 dicembre 2021 La prova è costituita da 12 problemi. Ogni domanda è seguita da 5 risposte indicate con le lettere (A), (B), (C), (D), (E). Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono errate. Ciascuna risposta corretta vale 5 punti, ciascuna risposta errata vale 0 punti. Per ogni risposta lasciata in bianco oppure illeggibile verrà assegnato 1 punto. Per ognuno dei problemi, occorre trascrivere la lettera corrispondente alla risposta ritenuta corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è permesso l’uso di alcun tipo di calcolatrice o di qualsiasi strumento di comunicazione durante la prova. Il tempo che hai a disposizione è di 60 minuti. Buon lavoro e buon divertimento! NOME COGNOME CLASSE data di nascita: indirizzo mail: RISPOSTE AI PROBLEMI: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 I Giochi di Archimede 2021 GARA TRIENNIO – – CODICE PROVA: 1302
Topic: successioni Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Function with two symmetries, sum of values
The real-valued function f satisfies the equations f(x) = f(2021 −x) and f(x + 10) = f(2010 −x), for any real number x. If we know that f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 6, what is the value of f(16) + f(17) + f(18) ?
- (A) 18
- (B) 8/3
- (C) It is not possible to establish
- (D) 9/2
- (E) 18/5 1302 Italian Mathematical Union Olympic Mathematics Project Ministry of Education The Archimedean Games - Triennial Competition 2 December 2021 The test consists of 12 problems. Each question shall be followed by 5 answers indicated by the letters (A), (B), (C), (D) and (E). One of these answers is correct, the other four are wrong. Each correct answer is worth 5 points, each wrong answer is worth 0 points. For each answer left blank or unreadable one point will be awarded. For each of the problems, the corresponding letter to the correct answer must be transcribed in the grid below. Cancellations or corrections on the grid are not permitted. No calculator or communication device shall be used during the test. The time you have is 60 minutes. Good work and good fun! COGNOME COGNOME CLASS date of birth: email address: RESPONSES TO PROBLEMS: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 The games of Archimedes 2021 GARA TREENNIO CODE PROVA: 1302