Quale prodotto di potenze e un quadrato perfetto
Quale tra i seguenti è il quadrato di un numero intero?
- (A) 336 · 779 · 2116
- (B) 338 · 779 · 217
- (C) 339 · 7713 · 2113
- (D) 3316 · 779 · 214
- (E) 3312 · 7716 · 219
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
What a power product and a perfect square
Which of the following is the square of an integer?
- (A) 336 · 779 · 2116
- (B) 338 · 779 · 217
- (C) 339 · 7713 · 2113
- (D) 3316 · 779 · 214
- (E) 3312 · 7716 · 219
Answer: C src_archimede_2021_triennio_online__Q01
Triangoli con due vertici dello stesso colore su circonferenza
Lungo una circonferenza sono segnati quattro punti rossi, tre punti verdi, due punti gialli, due punti blu. Quanti triangoli si possono ottenere scegliendo due vertici dello stesso colore ed il terzo di un altro colore?
- (A) 65
- (B) 87
- (C) 93
- (D) 84
- (E) 80
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Triangles with two vertices of the same colour on the circumference
Four red points, three green points, two yellow points, and two blue points are marked along a circumference. How many triangles can be obtained by choosing two vertices of the same color and a third of a different color?
- (A) 65
- (B) 87
- (C) 93
- (D) 84
- (E) 80
Answer: D src_archimede_2021_triennio_online__Q02
Massimo valore di 4-3/x con prodotto di fattori nullo
Sapendo che (4x + 5)(7x + 4)(4x −5) = 0, quale può essere, al massimo, il valore di 4 −3 x ?
- (A) 37/4
- (B) 19/2
- (C) 32/5
- (D) 8/5
- (E) 44/5
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Maximum value of 4-3/x with zero factor product
Knowing that (4x + 5) ((7x + 4) ((4x −5) = 0, what is the maximum value of 4 −3 x?
- (A) 37/4
- (B) 19/2
- (C) 32/5
- (D) 8/5
- (E) 44/5
Answer: A src_archimede_2021_triennio_online__Q03
Cavalieri e furfanti in file all’ufficio postale
Nell’isola dove vivono solo cavalieri (che dicono sempre il vero) e furfanti (che dicono sempre il falso), l’ufficio postale è piuttosto affollato. Ci sono quattro file agli sportelli: una con 9 persone, una con 11, una con 12 e una con 10 persone. Ognuno dei presenti (tranne i primi tre di ciascuna fila) dice questa frase: “tra le persone davanti a me nella mia fila ci sono almeno tre furfanti”. Quanti sono in tutto i cavalieri all’ufficio postale?
- (A) non si può stabilire
- (B) 21
- (C) 30
- (D) 26
- (E) 34
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Knights and thieves in the mail at the post office
On an island where only knights (who always tell the truth) and crooks (who always tell the lies) live, the post office is quite crowded. There are four lines at the gates: one with 9 people, one with 11, one with 12 and one with 10 people. Each of the present (except the first three in each row) says this sentence: Among the people in front of me in my row there are at least three thieves. How many knights are there at the post office?
- (A) It is not possible to establish
- (B) 21
- (C) 30
- (D) 26
- (E) 34
Answer: C src_archimede_2021_triennio_online__Q04
Perimetro di esagono circoscritto a una circonferenza
L’esagono ABCDEF è circoscritto a una circonferenza. I suoi lati AB, BC, CD, EF misurano, rispettivamente, 31 m, 15 m, 26 m, 19 m. Qual è il perimetro dell’esagono?
- (A) 152 m
- (B) 154 m
- (C) 150 m
- (D) 146 m
- (E) 148 m
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Hexagon perimeter circumscribed at one circumference
The ABCDEF axis is bounded by a circumference. Its sides AB, BC, CD and EF measure, respectively, 31 m, 15 m, 26 m and 19 m. What is the perimeter of the hexagon?
- (A) 152 m
- (B) 154 m
- (C) 150 m
- (D) 146 m
- (E) 148 m
Answer: A src_archimede_2021_triennio_online__Q05
Probabilita che due compagni finiscano nella stessa aula
Mira e Dino, compagni di banco, sono iscritti ai Giochi di Archimede. I 50 partecipanti, con un sorteggio, vengono sistemati 35 in un’aula e 15 in un’altra. Qual è la probabilità che Mira e Dino finiscano nella stessa aula?
- (A) 3/5
- (B) 5/8
- (C) 1/2
- (D) 4/7
- (E) 7/12
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Probability of two comrades ending up in the same classroom
Mira and Dino, fellow gamblers, are enrolled in the Games of Archimedes. The 50 participants are drawn, 35 in one room and 15 in another. What are the odds that Mira and Dino end up in the same room?
- (A) 3/5
- (B) 5/8
- (C) 1/2
- (D) 4/7
- (E) 7/12
Answer: D src_archimede_2021_triennio_online__Q06
Interi n con n^6+2n^5 multiplo di 49, somma di due
Consideriamo i numeri interi positivi n tali che n6 + 2n5 sia multiplo di 49. Supponendo di aver disposto tali valori n in ordine crescente, indicare la somma tra il 2°e il 7°di questi numeri.
- (A) 53
- (B) 59
- (C) 81
- (D) 61
- (E) 74
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Interies n with n^6+2n^5 multiplied by 49, sum of two
Let’s consider the positive integers n such that n6 + 2n5 is a multiple of 49. Assuming you have these values in ascending order, indicate the sum between the 2° and the 7° of these numbers.
- (A) 53
- (B) 59
- (C) 81
- (D) 61
- (E) 74
Answer: D src_archimede_2021_triennio_online__Q07
Area triangolo PQR da aree di sotto-triangoli con ceviane
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (P) at (0,0);
\coordinate (R) at (6,0);
\coordinate (Q) at (2.6,3.6);
\coordinate (S) at (1.43,1.98);
\coordinate (T) at (4.47,1.62);
\coordinate (I) at (3.27,1.18);
\draw (P)--(Q)--(R)--cycle;
\draw (R)--(S);
\draw (P)--(T);
\fill (I) circle (1.4pt);
\node[above] at (Q) {$Q$};
\node[left] at (P) {$P$};
\node[right] at (R) {$R$};
\node[left] at (S) {$S$};
\node[right] at (T) {$T$};
\node[above left] at (I) {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Nel triangolo PQR, i punti S e T appartengono, nell’ordine, ai lati PQ e QR. Detto I il punto d’intersezione dei segmenti RS e PT, le aree dei triangoli PIR, RIT e SIP misurano rispettivamente 3 mm2, 5 mm2 e 1 mm2. Qual è l’area del triangolo PQR? P Q R S T I
- (A) 18 mm2
- (B) 27 mm2
- (C) 24 mm2
- (D) 21 mm2
- (E) 20 mm2
Topic: Geometria piana Metodo: Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
*PQR triangular area from sub-triangular areas with cevial *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (P) at (0,0);
\coordinate (R) at (6,0);
\coordinate (Q) at (2.6,3.6);
\coordinate (S) at (1.43,1.98);
\coordinate (T) at (4.47,1.62);
\coordinate (I) at (3.27,1.18);
\draw (P)--(Q)--(R)--cycle;
\draw (R)--(S);
\draw (P)--(T);
\fill (I) circle (1.4pt);
\node[above] at (Q) {$Q$};
\node[left] at (P) {$P$};
\node[right] at (R) {$R$};
\node[left] at (S) {$S$};
\node[right] at (T) {$T$};
\node[above left] at (I) {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the PQR triangle, the points S and T belong, in order, to the sides PQ and QR. Given the intersection point of the RS and PT segments, the areas of the PIR, RIT and SIP triangles measure 3 mm2, 5 mm2 and 1 mm2 respectively. What is the area of the PQR triangle? P Q R S T I
- (A) 18 mm2
- (B) 27 mm2
- (C) 24 mm2
- (D) 21 mm2
- (E) 20 mm2
Answer: C src_archimede_2021_triennio_online__Q08
Parole infinite su A,B evitando certe terne di lettere
Emanuela scrive delle parole usando solo le lettere A e B, rispettando queste condizioni: ciascuna parola non può contenere nessuna delle sequenze di tre lettere consecutive AAA, BBB, ABA, BBA. Quante sono le parole di lunghezza infinita (ossia che proseguono illimitatamente verso destra) che Emanuela potrebbe scrivere?
- (A) nessuna
- (B) 4
- (C) 2
- (D) 3
- (E) infinite
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Infinite words on A,B avoiding certain letters *
Emanuela writes words using only the letters A and B, respecting these conditions: each word cannot contain any of the sequences of three consecutive letters AAA, BBB, ABA, BBA. How many words of infinite length (i.e., continuing unlimitedly to the right) could Emanuel write?
- (A) None of them.
- (B) 4
- (C) 2
- (D) 3
- (E) Endless
Answer: A src_archimede_2021_triennio_online__Q09
Angolo ADM in parallelogramma con punti conciclici
In un parallelogramma ABCD dove bA = 84°, siano M un punto sul lato AB e N un punto sul lato BC tali che MC = CD e DM = MN. I punti C, D, M, N appartengono a una stessa circonferenza. Qual è l’ampiezza dell’angolo
ADM ?
- (A) 33°
- (B) 24°
- (C) 27°
- (D) 30°
- (E) 36°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Adm angle in parallelogram with conic points
In an ABCD parallelogram where bA = 84°, M is a point on the AB side and N is a point on the BC side such that MC = CD and DM = MN. The points C, D, M, N belong to the same circumference. What is the width of the angle \ ADM ?
- (A) 33°
- (B) 24°
- (C) 27°
- (D) 30°
- (E) 36°
Answer: C src_archimede_2021_triennio_online__Q10
Funzione con due simmetrie, somma di valori
La funzione a valori reali f soddisfa le uguaglianze f(x) = f(2021 −x) e f(x + 10) = f(2010 −x), per qualsiasi numero reale x. Sapendo che f(2) + f(3) + f(4) = 4, qual è il valore di f(16) + f(17) + f(18) + f(19) ?
- (A) non si può stabilire
- (B) 19
- (C) 15/4
- (D) 9/2
- (E) 16/3
Topic: successioni Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Function with two symmetries, sum of values
The real-valued function f satisfies the equations f(x) = f(2021 −x) and f(x + 10) = f(2010 −x), for any real number x. If we know that f(2) + f(3) + f(4) = 4, what is the value of f(16) + f(17) + f(18) + f(19) ?
- (A) It is not possible to establish
- (B) 19
- (C) 15/4
- (D) 9/2
- (E) 16/3
Answer: E src_archimede_2021_triennio_online__Q11
Valori di k con polinomio avente radice doppia dell’altra
Consideriamo i valori reali k tali che il polinomio p(x) = x2 −(k + 1)x + (k + 2) abbia una radice che è doppia dell’altra. Indicare la somma di tutti questi valori k.
- (A) 1/2
- (B) 7/4
- (C) 5/2
- (D) 23/2
- (E) 19/2 Giochi di Archimede 2021 - GARA TRIENNIO CODICE PROVA 1021 - RISPOSTE ESATTE
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
*Values of k with a polynomial with double root of the other *
Consider real k such that the polynomial p(x) = x2 −(k + 1)x + (k + 2) has a root that is double the other. Indicate the sum of all these values k.
- (A) 1/2
- (B) 7/4
- (C) 5/2
- (D) 23/2
- (E) I’m not going to be able to do this.
Answer: C src_archimede_2021_triennio_online__Q12