Parcheggio per minimizzare cammino, insieme punti
Viale Marconi è lungo 800m; a 200m da un estremo c’è un parchimetro, a 100m dall’estremo opposto c’è un negozio di vestiti. Astolfo vuole parcheggiare la sua macchina, prendere un biglietto al parchimetro, tornare alla macchina per esporlo sul parabrezza, visitare il negozio e infine ritornare alla macchina. Inoltre è pigro e quindi vuole camminare il meno possibile; dove deve parcheggiare per farlo? Indicare l’insieme dei punti del viale che minimizzano la distanza che Astolfo deve percorrere a piedi.
- (A) Il punto davanti al parchimetro
- (B) Il punto davanti al negozio
- (C) Il punto medio tra il parchimetro e il negozio
- (D) Tutti i punti del viale
- (E) Tutti i punti del tratto di viale compreso tra il parchimetro e il negozio.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Packing to minimize travel, together points
Viale Marconi is 800m long; 200m from one end there is a parking meter, 100m from the opposite end there is a clothing store. Astolfo wants to park his car, get a ticket to the parking meter, return to the car to display it on the windshield, visit the store, and finally return to the car. Besides, he is lazy and therefore wants to walk as little as possible; where does he have to park to do so? Indicate the total number of points on the sidewalk that minimize the distance Astolfo must walk.
- (A) The point in front of the parking meter
- (B) The spot in front of the store
- (C) The midpoint between the parking meter and the store
- (D) All points of the avenue
- (E) All points on the sidewalk between the parking meter and the store.
Answer: E src_archimede_2022_2livello__Q01
Somma prime 2022 cifre di 57/111
Il risultato della divisione di 57 per 111 è un numero della forma 0, … con infinite cifre dopo la virgola. Quanto vale la somma delle prime 2022 cifre dopo la virgola?
- (A) 3033
- (B) 4044
- (C) 5055
- (D) 6066
- (E) 7077
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
sum of first 2022 figures of 57/111
The result of dividing 57 by 111 is a number of the form 0, … with infinite numbers after the comma. What is the sum of the first 2022 digits after the comma?
- (A) 3033
- (B) 4044
- (C) 5055
- (D) 6066
- (E) 7077
Answer: D src_archimede_2022_2livello__Q02
Quattro cerchi tangenti, raggio del quarto
Tre circonferenze di raggio unitario sono tangenti tra loro e una quarta circonferenza è tangente a tutte e tre, e non le racchiude. Quanto vale il raggio della quarta circonferenza?
- (A) √ 3+1 24
- (B) 1 8
- (C) √ 3 12
- (D) 2 √ 3 3 −1
- (E) √ 3−1 4
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
*Four tangent circles, radius of the fourth *
Three unit radius circles are tangent to each other and a fourth circle is tangent to all three, and does not enclose them. How much is the radius of the fourth circumference?
- (A) √ 3+1 24
- (B) 1 8
- (C) √ 3 12
- (D) 2 √ 3 3 −1
- (E) √ 3−1 4
Answer: D src_archimede_2022_2livello__Q03
Polinomio con p(a)+p(b)+p(c)=p(674), valore p(2022)
Il polinomio p(x) ha la seguente proprietà: per ogni terna di interi a, b, c tali che a+b+c = 2022 si ha che p(a) + p(b) + p(c) = p(674). Si sa inoltre che p(0) = −2696. Quanto vale p(2022)?
- (A) −2696
- (B) 674
- (C) 5392
- (D) 8088
- (E) Non è possibile determinarlo con i dati forniti.
Topic: Algebra Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
*Polynomial with p(a) + p(b) + p(c) = p(674), value of p(2022) *
The polynomial p(x) has the following property: for each set of integers a, b, c such that a+b+c = 2022 we have that p(a) + p(b) + p(c) = p(674). It is also known that p(0) = −2696. How much is it worth?
- (A) −2696
- (B) 674
- (C) 5392
- (D) 8088
- (E) It is not possible to determine this with the data provided.
Answer: C src_archimede_2022_2livello__Q04
Tre divisori di 30 con MCD consecutivi primi
Lucia vuole scrivere tre interi positivi a, b, c in modo che ognuno di essi sia un divisore di 30 e che i massimi comuni divisori fra due termini consecutivi (cioè MCD(a, b) e MCD(b, c)) siano numeri primi. In quanti modi può farlo?
- (A) 69
- (B) 72
- (C) 105
- (D) 27
- (E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Three 30 divisors with first consecutive MCDs
Lucia wants to write three positive integers a, b, c so that each of them is a divisor of 30 and that the maximum common divisors between two consecutive terms (i.e. MCD(a, b) and MCD(b, c)) are prime numbers. How many ways can you do that?
- (A) 69
- (B) 72
- (C) 105
- (D) 27
- (E) None of the above.
Answer: C src_archimede_2022_2livello__Q05
Triangolo isoscele, due altezze, area
Sia ABC un triangolo isoscele con AB = AC. L’altezza uscente da A misura 15 mentre l’altezza uscente da B misura 24. Quanto vale l’area di ABC?
- (A) 180
- (B) 300
- (C) 240 √ 2
- (D) 200 √ 3
- (E) 320
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Isosceles triangle, two heights, area
So ABC is an isosceles triangle with AB = AC. The height out of A is 15 and the height out of B is 24. How much is the ABC area?
- (A) 180
- (B) 300
- (C) 240 √ 2
- (D) 200 √ 3
- (E) 320
Answer: B src_archimede_2022_2livello__Q06
Giustapposizione di x e y uguale a 7xy, somma x+y
Alla lavagna è scritta la moltiplicazione x × y, dove x e y sono numeri interi positivi di tre cifre. Nicolò, un po’ sbadato, non ha notato il simbolo di moltiplicazione e ricopia sul suo quaderno il numero di sei cifre ottenuto giustapponendo x e y. L’insegnante, passando fra i banchi, fa notare a Nicolò che il numero da lui scritto è uguale a 7 volte il prodotto xy. Quanto vale la somma x + y?
- (A) 125
- (B) 286
- (C) 312
- (D) 487
- (E) 513
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Setting of x and y equal to 7xy, sum of x+y
On the board is written the multiplication x × y, where x and y are three-digit positive integers. Nicolás, a bit sloppy, did not notice the symbol of multiplication and copied on his notebook the six-digit number obtained by juxtaposing x and y. The teacher, passing between the benches, notices Nicolò that the number he writes is equal to 7 times the product xy. How much is the sum of x plus y?
- (A) 125
- (B) 286
- (C) 312
- (D) 487
- (E) 513
Answer: B src_archimede_2022_2livello__Q07
Palla Riemanniana, tabella azioni, valore k
In una partita di palla Riemanniana si affrontano due squadre; in ogni momento, ciascuna schiera in campo k > 1 giocatrici. Alla fine di ogni azione viene assegnato un punto a una delle due squadre; inoltre, ciascuna squadra può effettuare un numero arbitrario di sostituzioni prima che abbia inizio l’azione successiva. Alice e Barbara fanno parte della squadra delle Geodetiche. Alla fine della partita di oggi, Alice osserva che, mentre lei era in campo, le Geodetiche hanno vinto
7 azioni in più di quante ne abbiano perse. Quando Barbara era in campo, invece, hanno perso 2 azioni in più di quante ne abbiano vinte. Ciascuna delle altre giocatrici delle Geodetiche ha partecipato a tante azioni vincenti quante perdenti. Quanto vale k?
- (A) 3
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 9
- (E) I dati non sono sufficienti per determinarlo.
Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
This is the total amount of the loan.
In a Riemannian football match, two teams face each other; at any given time, each row in the field k > 1 players. At the end of each action, a point is awarded to one of the two teams; in addition, each team can make an arbitrary number of substitutions before the next action begins. Alice and Barbara are part of the Geodetic team. At the end of today’s game, Alice notes that while she was on the field, Geodetic won
7 more shares than they lost. When Barbara was on the field, they lost two more shares than they won. Each of the other Geodetic players has participated in as many winning actions as losing. How much is k?
- (A) 3
- (B) 5
- (C) 6
- (D) 9
- (E) There’s not enough data to determine that.
Answer: B src_archimede_2022_2livello__Q08
Successione ricorsiva, minimo n con a_n divisibile per 2022
Poniamo a1 = 1 e, per ogni n ≥2, an = n(a1 + a2 + · · + an−1). Qual è il più piccolo valore di n per cui an è divisibile per 2022?
- (A) 47
- (B) 289
- (C) 337
- (D) 2022
- (E) 2023
Topic: successioni Metodo: congruenze, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Recurring succession, minimum n with a_n divisible by 2022
Let’s put a1 = 1 and, for every n ≥2, an = n(a1 + a2 + · · + an−1). What is the smallest value of n by which an is divisible by 2022?
- (A) 47
- (B) 289
- (C) 337
- (D) 2022
- (E) 2023
Answer: C src_archimede_2022_2livello__Q09
Potenze di 2 da 1 a 2^100 che iniziano per 1
Maddalena scrive su un foglio tutte le potenze di 2 da 1 a 2100 (estremi inclusi). Quanti dei numeri che ha scritto iniziano per 1?
- (A) 28 o meno
- (B) 29
- (C) 30
- (D) 31
- (E) 32 o più.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Points of 2 from 1 to 2^100 starting with 1
Maddalena writes on a sheet all the powers of 2 from 1 to 2100 (extremes included). How many of the numbers you wrote start with 1?
- (A) 28 or less
- (B) 29
- (C) 30
- (D) 31
- (E) 32 or more.
Answer: D src_archimede_2022_2livello__Q10
Famiglie di πcchi, possibilità totale dopo 7 nidiate
I πcchi sono animali che vivono in famiglie di 1, 2 o 3 individui. Originariamente fu importata in Italia una famiglia di 3 πcchi. Una famiglia di n πcchi si riproduce crescendo di 2n −2 nuovi individui, formando un totale di 3n −2, e dividendosi in nuove famiglie (non necessariamente due famiglie con lo stesso numero di individui si dividono allo stesso modo). Tutte le famiglie si riproducono contemporaneamente ad ogni nidiata. Per esempio, dopo la prima nidiata ci sono per forza sette πcchi, che potrebbero essere divisi in tre famiglie di due e una di uno, o in una di tre e due di due, o in sette di uno, eccetera. Quante sono le possibilità per il numero totale di πcchi dopo la settima nidiata?
- (A) 129
- (B) 253
- (C) 27
- (D) 27+37+1 2
- (E) 37
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
*Families of π chicks, total possibility after 7 nesting *
π chi are animals that live in families of 1, 2 or 3 individuals. A family of 3 π chi were originally imported into Italy. A family of n π which reproduces by increasing 2n −2 new individuals, forming a total of 3n −2, and dividing into new families (not necessarily two families with the same number of individuals divide equally). All families reproduce simultaneously at each nest. For example, after the first nest there are necessarily seven π chi, which could be divided into three families of two and one of one, or into one of three and two of two, or into seven of one, etc. What are the chances for the total number of π chi after the seventh nesting?
- (A) 129
- (B) 253
- (C) 27
- (D) 27+37+1 2
- (E) 37
Answer: B src_archimede_2022_2livello__Q11
Triangolo dentro esagono, lunghezza percorsa dal vertice
Sia dato un esagono regolare di lato 1. Consideriamo un triangolo equilatero di lato 1 dentro all’esagono, con due vertici vincolati al perimetro dell’esagono. Muoviamo il triangolo equilatero in modo che uno dei due vertici vincolati compia esattamente un giro lungo il perimetro dell’esagono. Quant’è la lunghezza percorsa dal vertice non vincolato?
- (A) π/2
- (B) π √ 3 3
- (C) 8 √ 3 −12
- (D) (4 √ 3 −6)π
- (E) Nessuna delle precedenti. Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Triangle inside hexagon, length of route from the vertex
Give a regular hexagon on side 1. Consider an equilateral triangle of side 1 inside the hexagon, with two vertices bound to the perimeter of the hexagon. So we move the equilateral triangle so that one of the two vertices that are bound makes exactly one spin along the perimeter of the hexagon. What is the length of the unbounded summit?
- (A) π/2
- (B) π √ 3 3
- (C) 8 √ 3 −12
- (D) (4 √ 3 −6)π
- (E) None of the above. Problems with numerical answer 5 points
Answer: C src_archimede_2022_2livello__Q12
Tavolo esagonale, tovaglia rettangolare, area tavolo
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\coordinate (A) at (-0.5,-0.866);
\coordinate (B) at (0.5,-0.866);
\coordinate (C) at (1,0);
\coordinate (D) at (0.5,0.866);
\coordinate (E) at (-0.5,0.866);
\coordinate (F) at (-1,0);
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (K) at (-0.5,0);
\coordinate (H) at (0.5,0);
\fill[gray!30] (A) -- (B) -- (D) -- (E) -- cycle;
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--cycle;
\draw (E)--(A) (D)--(B) (F)--(C) (A)--(D) (E)--(B);
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F,O,K,H} \fill (\p) circle (0.02);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[above left] at (E) {$E$};
\node[left] at (F) {$F$};
\node[below right] at (O) {$O$};
\node[below left] at (K) {$K$};
\node[below right] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Lucio compra un tavolo a forma di esagono regolare e una tovaglia rettangolare di area 1024 cm2 che ha lato minore pari al lato dell’esagono e copre esattamente la porzione di tavolo compresa fra due lati opposti. Quanto vale l’area del tavolo, espressa in cm2?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1536 Fonte: apri PDF p.2
Hexagonal table, rectangular tablecloth, table area
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\coordinate (A) at (-0.5,-0.866);
\coordinate (B) at (0.5,-0.866);
\coordinate (C) at (1,0);
\coordinate (D) at (0.5,0.866);
\coordinate (E) at (-0.5,0.866);
\coordinate (F) at (-1,0);
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (K) at (-0.5,0);
\coordinate (H) at (0.5,0);
\fill[gray!30] (A) -- (B) -- (D) -- (E) -- cycle;
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--cycle;
\draw (E)--(A) (D)--(B) (F)--(C) (A)--(D) (E)--(B);
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F,O,K,H} \fill (\p) circle (0.02);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[above left] at (E) {$E$};
\node[left] at (F) {$F$};
\node[below right] at (O) {$O$};
\node[below left] at (K) {$K$};
\node[below right] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Lucio purchases a regular hexagon table and a rectangular tablecloth with an area of 1024 cm2 which has a smaller side equal to the side of the hexagon and covers exactly the portion of table between two opposite sides. What is the area of the table, expressed in cm2?
Answer: 1536 src_archimede_2022_2livello__Q13
Interi n per cui somma di potenze semintere è intera
Quanti sono gli interi positivi n per cui 2022 + 1 2 n + 25 + 1 2 n è un numero intero?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.2
Interi n for which the sum of the seed potencies is integer
How many positive integers are n for which 2022 + 1 2 n + 25 + 1 2 n is an integer?
Answer: 6 src_archimede_2022_2livello__Q14
Numeri petalosi, fiore massimo, non divisibili per 13
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Un numero di tre cifre, diverse fra loro e non nulle (diciamo abc), si dice petaloso se esiste un intero n ≥1 tale che il numero cba 00 · · 0 | {z } n zeri sia multiplo di abc. Il più piccolo n che rende vera questa divisibilità è detto fiore di abc. Esempio. Il numero 132 è petaloso, in quanto 132 divide 23100. Siccome 23100/132 = 175 è intero ma 2310/132 = 17,5 non lo è, il fiore di 132 è 2. (a) Sia abc un numero di tre cifre (diverse fra loro e non nulle) della forma 2x ·3y ·5z con x, y, z interi non negativi e y ≤2. Dimostrare che abc è petaloso. (b) Quanto vale al massimo il fiore di un numero petaloso (di tre cifre)? (c) Sia abc un numero petaloso. Dimostrare che abc non è divisibile per 13.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
Petalose numbers, maximum flower, not divisible by 13
A number of three digits, different from each other and not zero (say abc), is said to be petalose if there exists an integer n ≥1 such that the number cba 00 · · 0 . The smallest n that makes this divisibility true is called an abc flower. I’ll give you an example. The number 132 is petallic, since 132 divides 23100. Since 23100/132 = 175 is an integer but 2310/132 = 17.5 is not, the flower of 132 is 2. (a) Whether abc is a number of three digits (different from each other and not zero) of the form 2x ·3y ·5z with x, y, z nonnegative integers and y ≤2. To prove that ABC is petal. (b) What is the maximum value of a flower of a petal-shaped (three-digit) number? (c) Whether or not a petalled number. Prove that abc is not divisible by 13.
src_archimede_2022_2livello__Q15
Triangolo, bisettrice, proiezioni, isoscele ADH
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABC un triangolo, sia r la bisettrice interna dell’angolo acuto
BAC e siano K la proiezione di B su r, L la proiezione di K su AB e D il simmetrico di B rispetto ad L. Chiamiamo infine H il piede dell’altezza del triangolo ABC uscente da B. Dimostrare che: (a) BH = 2LK; (b) KA biseca l’angolo
HKD; (c) il triangolo ADH è isoscele.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4
Triangle, beam, projections, isosceles ADH
Whether ABC is a triangle, whether r is the inner beam of the acute angle \ BAC and whether K is the projection of B on r, L is the projection of K on AB and D is the symmetrical of B with respect to L. Let’s call H the foot of the height of the ABC triangle coming out of B. Demonstrate that: (a) BH = 2LK; (b) KA bisects the angle \ HKD; (c) the triangle ADH is isosceles.
src_archimede_2022_2livello__Q16
Colorazione primo quadrante con semirette, monocromatico
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Il primo quadrante del piano cartesiano è l’insieme dei punti (x, y) con x e y numeri reali strettamente positivi (cioè x > 0, y > 0). Ciascun punto del primo quadrante è colorato di rosso o di blu. Inoltre, per ogni punto P = (x, y) del primo quadrante, tutti i punti sulla semiretta uscente da P con pendenza y (ovvero la semiretta avente origine in P e passante per il punto di coordinate (x + 1, 2y)) hanno lo stesso colore di P. Dimostrare che tutti i punti del primo quadrante hanno lo stesso colore.
Topic: Geometria analitica, Insiemi e funzioni Metodo: parita Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.5
Color first quadrant with semicircle, monochromatic
The first quadrant of the Cartesian plane is the set of points (x, y) with x and y strictly positive real numbers (i.e. x > 0, y > 0). Each point in the first quadrant is colored red or blue. In addition, for each point P = (x, y) of the first quadrant, all points on the semicircle exiting from P with slope y (i.e. the semicircle originating in P and passing through the coordinate point (x + 1, 2y)) have the same color as P. Prove that all points in the first quadrant have the same color.