Cifra delle unita di 2023^(2022^2021)
Qual è la cifra delle unità del numero 2023(20222021)?
- (A) 3
- (B) 9
- (C) 7
- (D) 1
- (E) 5
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
This is the total number of units in the Union.
What is the number of units of the number 2023(20222021)?
- (A) 3
- (B) 9
- (C) 7
- (D) 1
- (E) 5
Answer: D src_archimede_2022_biennio__Q01
In quale scatolina va la 2022-esima perlina
Giulia ha un sacco di perline e 5 scatoline colorate dove sistemarle: ne mette 2 nella scatolina gialla, 2 nella scatolina blu, poi 3 in quella rossa, 3 in quella verde e 3 in quella bianca, dopo di che ricomincia con la stessa regola. Com’è la scatolina dove metterà la 2022-esima perlina?
- (A) gialla
- (B) blu
- (C) rossa
- (D) verde
- (E) bianca
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
*In which box is the 2022th pearl *
Giulia has a lot of pearls and 5 colored boxes to put them in: she puts 2 in the yellow box, 2 in the blue box, then 3 in the red box, 3 in the green box and 3 in the white box, after which she starts again with the same rule. What’s the box like where you’re gonna put your 2022th pearl?
- (A) yellow
- (B) Blue
- (C) Red
- (D) Green
- (E) white
Answer: C src_archimede_2022_biennio__Q02
Angolo al vertice di triangolo isoscele con punto sul lato
ABC è un triangolo isoscele con AC = BC. Si sceglie un punto A′ sul lato AC in modo tale che AB = BA′ = A′C. Qual è l’ampiezza dell’angolo ?
- (A) 30°
- (B) 36°
- (C) 40°
- (D) 45°
- (E) 60°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Angle to the top of an isosceles triangle with a point on the side
ABC is an isosceles triangle with AC = BC. A point A′ on the AC side shall be chosen so that AB = BA′ = A′C. What is the width of the angle ?
- (A) 30°
- (B) 36°
- (C) 40°
- (D) 45°
- (E) 60°
Answer: B src_archimede_2022_biennio__Q03
Numeri di 4 cifre con 3 cifre uguali (non 0) e uno 0
Gabriele nota che il numero 2022 si scrive con 3 cifre uguali (diverse da 0) e una cifra 0. Quanti sono in tutto i numeri naturali di 4 cifre che si scrivono con 3 cifre uguali (diverse da 0) e una cifra 0?
- (A) 21
- (B) 22
- (C) 24
- (D) 25
- (E) 27
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Four-digit numbers with three equal digits (not 0) and one 0
Gabriele notes that the number 2022 is written with 3 equal digits (different from 0) and a digit 0. How many are all four-digit natural numbers that are written with three equal digits (different from 0) and a digit 0?
- (A) 21
- (B) 22
- (C) 24
- (D) 25
- (E) 27
Answer: E src_archimede_2022_biennio__Q04
Distanza dal punto di partenza dopo 100 passi avanti
Mentre pensa ad un problema di matematica, Francesco cammina come al solito avanti e indietro, facendo 1 passo in avanti, 2 indietro, 3 in avanti, 4 indietro e così via. Nel momento in cui, per la prima volta, gli capita di fare 100 passi consecutivi in avanti, finalmente risolve il problema. A quanti metri distanza si troverà dal punto di partenza (tenuto conto che ogni passo è di 60 cm)?
- (A) 29,40
- (B) 30
- (C) 30,60
- (D) 31,20
- (E) 31,80
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Distance from the starting point after 100 steps forward
While thinking about a math problem, Francesco walks back and forth as usual, taking one step forward, two back, three forward, four back and so on. The moment, for the first time, he takes 100 consecutive steps forward, he finally solves the problem. How many meters will it be from the starting point (given that each step is 60 cm)?
- (A) 29,40
- (B) 30
- (C) 30,60
- (D) 31,20
- (E) 31,80
Answer: B src_archimede_2022_biennio__Q05
Minima somma di due numeri con mcm uguale a 240
Sapendo che il minimo comune multiplo tra due numeri naturali è uguale a 240, qual è il più piccolo valore possibile della loro somma?
- (A) 34
- (B) 32
- (C) 31
- (D) 30
- (E) 38
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Minimum sum of two numbers with mcm equal to 240
Knowing that the least common multiple between two natural numbers is equal to 240, what is the smallest possible value of their sum?
- (A) 34
- (B) 32
- (C) 31
- (D) 30
- (E) 38
Answer: C src_archimede_2022_biennio__Q06
Perimetro parallelogramma da perimetri di sotto-parallelogrammi
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (4,3);
\coordinate (D) at (1,3);
\coordinate (P) at (2.0,1.2);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\coordinate (Ap) at (1.6,0);
\coordinate (Cp) at (2.6,3);
\coordinate (Dp) at (0.4,1.2);
\coordinate (Bp) at (3.4,1.2);
\draw (Ap)--(Cp);
\draw (Dp)--(Bp);
\fill (P) circle (1.2pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[below] at (Ap) {$A'$};
\node[above] at (Cp) {$C'$};
\node[left] at (Dp) {$D'$};
\node[right] at (Bp) {$B'$};
\node[above right] at (P) {$P$};
\node at (1.0,0.6) {$29$};
\node at (1.5,2.1) {$47$};
\node at (3.0,2.1) {$38$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Considerato un parallelogramma ABCD, le rette parallele ai lati passanti per un punto interno P intersecano i lati in A′, B′, C′ e D′, come in figura. I perimetri (in metri) dei parallelogrammi D′AA′P, C′DD′P e B′CC′P sono quelli indicati in figura. Quanti metri misura il perimetro del parallelogramma ABCD? A B C D P A′ B′ C′ D′ 29 47 38
- (A) 78
- (B) 63
- (C) 72
- (D) 114
- (E) 67
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
*Parallelogram perimeter from subparallelogram perimeter *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (4,3);
\coordinate (D) at (1,3);
\coordinate (P) at (2.0,1.2);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\coordinate (Ap) at (1.6,0);
\coordinate (Cp) at (2.6,3);
\coordinate (Dp) at (0.4,1.2);
\coordinate (Bp) at (3.4,1.2);
\draw (Ap)--(Cp);
\draw (Dp)--(Bp);
\fill (P) circle (1.2pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[below] at (Ap) {$A'$};
\node[above] at (Cp) {$C'$};
\node[left] at (Dp) {$D'$};
\node[right] at (Bp) {$B'$};
\node[above right] at (P) {$P$};
\node at (1.0,0.6) {$29$};
\node at (1.5,2.1) {$47$};
\node at (3.0,2.1) {$38$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Considered an ABCD parallelogram, the lines parallel to the sides passing through an inner point P intersect the sides in A′, B′, C′ and D′, as shown in Figure 1. The perimeters (in metres) of the parallelograms D′AA′P, C′DD′P and B′CC′P are as shown in Figure 1. How many metres does the perimeter of the ABCD parallelogram measure? A B C D P A′ B′ C′ D′ 29 47 38
- (A) 78
- (B) 63
- (C) 72
- (D) 114
- (E) 67
Answer: E src_archimede_2022_biennio__Q07
Volume di mattoncino da tre possibili altezze di pila
Su un tavolo ci sono due mattoncini di legno uguali, a forma di parallelepipedo. Clara li vuole impilare uno sull’altro, facendo in modo che le due facce a contatto siano tra loro differenti. Così facendo, l’altezza complessiva della pila può essere o 22 cm o 30 cm o 32 cm. Quanti cm3 misura il volume di un mattoncino?
- (A) 2400
- (B) 2700
- (C) 3000
- (D) 2800
- (E) 1800
Topic: Geometria solida Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Volume of brick from three possible heights of pile
On a table there are two identical wooden bricks, shaped like parallel pipes. Clara wants to stack them on top of each other, making the two faces in contact different from each other. Thus, the overall height of the pile can be either 22 cm or 30 cm or 32 cm. How many cubic centimetres is the volume of a brick?
- (A) 2400
- (B) 2700
- (C) 3000
- (D) 2800
- (E) 1800
Answer: A src_archimede_2022_biennio__Q08
Numero nella casella centrale-destra di tabella 3x3
In una tabella 3 × 3 sono scritti tutti i numeri naturali da 1 a 9. Si sa che: il prodotto dei numeri nella riga in alto è 84; il prodotto dei numeri nella colonna di sinistra è 16; la somma dei numeri nella riga centrale è uguale alla somma dei numeri nella riga più in basso; il prodotto dei numeri in una delle due diagonali è dispari. Quale numero è scritto nella casella di destra della riga centrale? ?
- (A) 5
- (B) 4
- (C) 9
- (D) 6
- (E) 3
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Number in the centre-right box of table 3x3
In a table 3 × 3 all natural numbers from 1 to 9 are written. We know that: the product of the numbers in the top row is 84; the product of the numbers in the left column is 16; the sum of the numbers in the middle row is equal to the sum of the numbers in the bottom row; the product of the numbers in one of the two diagonals is odd. What number is written in the box to the right of the middle line? ?
- (A) 5
- (B) 4
- (C) 9
- (D) 6
- (E) 3
Answer: B src_archimede_2022_biennio__Q09
Terne distinte a|b|c|12 catena di divisori
Quante sono le terne di numeri naturali tra loro distinti (a, b, c) tali che il numero a sia un divisore di b, il numero b sia un divisore di c ed il numero c sia un divisore di 12?
- (A) 6
- (B) 7
- (C) 8
- (D) 10
- (E) 9
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
- Distinguished from the total number of dividers in the * chain
How many sets of natural numbers are distinct from each other (a, b, c) such that the number a is a divisor of b, the number b is a divisor of c and the number c is a divisor of 12?
- (A) 6
- (B) 7
- (C) 8
- (D) 10
- (E) 9
Answer: D src_archimede_2022_biennio__Q10
Numeri di 3 cifre con almeno una cifra uguale a 4
Quanti sono i numeri naturali di 3 cifre dove almeno una delle cifre è uguale a 4?
- (A) 252
- (B) 196
- (C) 180
- (D) 225
- (E) 216
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Three-digit numbers with at least one digit equal to 4
How many three-digit natural numbers are there where at least one of the digits is equal to four?
- (A) 252
- (B) 196
- (C) 180
- (D) 225
- (E) 216
Answer: A src_archimede_2022_biennio__Q11
Probabilita di cubetto con una faccia dipinta
Laura dipinge di blu l’intera superficie di un cubo di legno, poi lo taglia suddividendolo in 63 = 216 cubetti uguali. Mescolando i cubetti ed estraendone uno a caso, qual è la probabilità che Laura ne trovi uno che abbia esattamente una faccia dipinta di blu?
- (A) 9/24
- (B) 32/81
- (C) 1/2
- (D) 1/3
- (E) 4/9
Topic: Probabilita e statistica, Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Probability of a cube with a painted face
Laura paints the entire surface of a wooden cube in blue, then she cuts it into 63 = 216 equal cubes. By mixing the cubes and pulling one out at random, what are the odds that Laura will find one that has exactly the face painted blue?
- (A) 9/24
- (B) 32/81
- (C) 1/2
- (D) 1/3
- (E) 4/9
Answer: E src_archimede_2022_biennio__Q12
Ultimo numero della centesima riga saltando multipli di 5
La tabella qui a fianco, con 7 colonne ed infinite righe che proseguono all’ingiù, viene riempita inserendo nelle caselle i numeri naturali, in ordine crescente, saltando tutti i multipli di 5. Con quale numero termina la centesima riga? 1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 14 16 17
- (A) 876
- (B) 874
- (C) 877
- (D) 701
- (E) 699
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Last number of the hundredth line by leaping multiples of 5
The table right next to it, with 7 columns and infinite rows continuing down, is filled in boxes with the natural numbers, in increasing order, skipping all the multiples of 5. What number does the hundredth line end with? 1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 14 16 17
- (A) 876
- (B) 874
- (C) 877
- (D) 701
- (E) 699
Answer: B src_archimede_2022_biennio__Q13
Quali misure di altezze sono impossibili per un triangolo
Un maestro ha assegnato il compito di disegnare sul quaderno un triangolo ABC a piacere, tracciare le tre altezze AA′, BB′, CC′ e misurarne le rispettive lunghezze. Cinque alunni hanno trovato le misure riportate nelle risposte sottostanti. Chi di loro ha sicuramente sbagliato qualcosa?
- (A) AA′ = 4 cm BB′ = 6 cm CC′ = 8 cm
- (B) AA′ = 3 cm BB′ = 4 cm CC′ = 6 cm
- (C) AA′ = 3 cm BB′ = 4 cm CC′ = 8 cm
- (D) AA′ = 4 cm BB′ = 6 cm CC′ = 9 cm
- (E) AA′ = 3 cm BB′ = 6 cm CC′ = 8 cm
Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
What height measurements are impossible for a triangle
A teacher assigned the task of drawing on the notebook an ABC triangle at will, tracing the three heights AA′, BB′, CC′, and measuring their respective lengths. Five pupils found the measurements in the answers below. Which one of them is sure to have done something wrong?
- (A) AA′ = 4 cm BB′ = 6 cm CC′ = 8 cm
- (B) AA′ = 3 cm BB′ = 4 cm CC′ = 6 cm
- (C) AA′ = 3 cm BB′ = 4 cm CC′ = 8 cm
- (D) AA′ = 4 cm BB′ = 6 cm CC′ = 9 cm
- (E) AA′ = 3 cm BB′ = 6 cm CC′ = 8 cm
Answer: E src_archimede_2022_biennio__Q14
Probabilita di nessuna tombola dopo 89 estrazioni
Lucia e Carla giocano una contro l’altra a tombola (senza altri avversari). Ciascuna ha una cartella con 15 numeri; le due cartelle hanno precisamente 4 numeri in comune. Qual è la probabilità che, dopo 89 numeri estratti, nessuna delle due abbia ancora fatto tombola?
- (A) 2/45
- (B) 3/89
- (C) 1/15
- (D) 1/30
- (E) 1/90
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Probability of no cavities after 89 extractions
Lucia and Carla play against each other in a bowl game (without any other opponents). Each folder has 15 numbers; the two folders have precisely 4 numbers in common. What is the probability that after 89 numbers were extracted, none of the two have ever made it?
- (A) 2/45
- (B) 3/89
- (C) 1/15
- (D) 1/30
- (E) 1/90
Answer: A src_archimede_2022_biennio__Q15
Area di triangolo DEG da punti medi successivi
Nel triangolo ABC, i lati AB e AC misurano rispettivamente 10 m e 17 m, l’altezza AH misura 8 m e l’angolo bA è ottuso. Indicando con D il punto medio di AB, con E il punto medio di BD, con F il punto medio di AC e con G il punto medio di AF, quanti m2 misura l’area del triangolo DEG?
- (A) 9/2
- (B) 19/4
- (C) 21/4
- (D) 25/4
- (E) 11/2 211
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
DEG triangle area from the following midpoints
In the triangle ABC, the sides AB and AC measure 10 m and 17 m respectively, the height AH measures 8 m and the angle bA is curved. If the mean point of AB is D, the mean point of BD is E, the mean point of AC is F and the mean point of AF is G, how many m2 does the area of the DEG triangle measure?
- (A) 9/2
- (B) 19/4
- (C) 21/4
- (D) 25/4
- (E) 11/2 211
Answer: C src_archimede_2022_biennio__Q16