Quale numero differisce meno da ((n+3)/2)^2
Dato un intero positivo n, quale tra i seguenti numeri differisce meno da n + 3 2 2 ?
- (A) (n + 2)2
- (B) (n + 1)2
- (C) (n + 1)(n + 2)
- (D) n2 + 2
- (E) n2 + 9 4
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Which number differs less than ((n+3)/2)^2
Given a positive integer n, which of the following numbers differs less from n + 3 2 2?
- (A) (n + 2)2
- (B) (n + 1)2
- (C) (n + 1)(n + 2)
- (D) n2 + 2
- (E) n2 + 9 4
Answer: C src_archimede_2022_triennio__Q01
Angolo al vertice con quattro punti su lati del triangolo
ABC è un triangolo isoscele con AC = BC. Si scelgono due punti A′, A′′ sul lato AC e un punto B′ sul lato BC in modo tale che AB = BA′ = A′B′ = B′A′′ = A′′C. Qual è l’ampiezza dell’angolo ?
- (A) 18°
- (B) 15°
- (C) 24°
- (D) 20°
- (E) 30°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Angle to the top with four points on the sides of the triangle
ABC is an isosceles triangle with AC = BC. Two points A′, A′′ on the AC side and one point B′ on the BC side are chosen so that AB = BA′ = A′B′ = B′A′′ = A′′C. What is the width of the angle ?
- (A) 18°
- (B) 15°
- (C) 24°
- (D) 20°
- (E) 30°
Answer: D src_archimede_2022_triennio__Q02
Numeri di 4 cifre con 3 cifre uguali e una diversa
Gabriele nota che il numero 2022 si scrive con 3 cifre uguali e una quarta cifra differente dalle altre 3. Quanti sono in tutto i numeri naturali di 4 cifre che si scrivono con 3 cifre uguali e una quarta cifra differente dalle altre 3?
- (A) 324
- (B) 315
- (C) 243
- (D) 216
- (E) 288
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Four-digit numbers with three equal digits and a different one
Gabriele notes that the number 2022 is written with 3 equal digits and a fourth digit different from the other 3. How many of all the four-digit natural numbers are written with three equal digits and a fourth digit different from the other three?
- (A) 324
- (B) 315
- (C) 243
- (D) 216
- (E) 288
Answer: A src_archimede_2022_triennio__Q03
Frazione della classe con voto sotto 6 date le medie
Il professore ha appena riportato i compiti corretti in una classe. La media di tutti i voti ricevuti è uguale a 6; il voto medio dei compiti che hanno preso almeno 6 è uguale a 7, mentre il voto medio degli altri è uguale a 4. Quale porzione della classe ha preso meno di 6?
- (A) 1/4
- (B) 1/3
- (C) 2/5
- (D) 3/8
- (E) 2/7
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Grade fraction with grade below 6 average values
The professor just returned the correct assignments to a classroom. The average score of all the votes received is equal to 6; the average score of the tasks that have taken at least 6 is equal to 7, while the average score of the others is equal to 4. What portion of the class took less than six?
- (A) 1/4
- (B) 1/3
- (C) 2/5
- (D) 3/8
- (E) 2/7
Answer: B src_archimede_2022_triennio__Q04
Probabilita di cubetto con due facce dipinte
Laura dipinge di blu l’intera superficie di un cubo di legno, poi lo taglia suddividendolo in 63 = 216 cubetti uguali. Mescolando i cubetti ed estraendone uno a caso, qual è la probabilità che Laura ne trovi uno che abbia esattamente due facce dipinte di blu?
- (A) 8/27
- (B) 1/6
- (C) 1/4
- (D) 4/9
- (E) 2/9
Topic: Probabilita e statistica, Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Probability of a cube with two painted faces
Laura paints the entire surface of a wooden cube in blue, then cuts it into 63 = 216 equal cubes. By mixing the cubes and pulling one out at random, what are the odds that Laura will find one that has exactly two blue faces?
- (A) 8/27
- (B) 1/6
- (C) 1/4
- (D) 4/9
- (E) 2/9
Answer: E src_archimede_2022_triennio__Q05
Perimetro di un sotto-parallelogramma da perimetri dati
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0.6);
\coordinate (C) at (5.2,3.4);
\coordinate (D) at (1.2,2.8);
\coordinate (P) at (2.6,1.6);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\coordinate (Aq) at (1.95,0.29);
\coordinate (Cq) at (3.25,3.11);
\coordinate (Dq) at (0.65,1.51);
\coordinate (Bq) at (4.45,1.69);
\draw (Aq)--(Cq);
\draw (Dq)--(Bq);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[above right] at (P) {$P$};
\node[below] at (Aq) {$A'$};
\node[right] at (Bq) {$B'$};
\node[above] at (Cq) {$C'$};
\node[left] at (Dq) {$D'$};
\node at (1.55,1.05) {$31$};
\node at (1.9,2.1) {$49$};
\node at (3.6,2.2) {$42$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Considerato un parallelogramma ABCD, le rette parallele ai lati passanti per un punto interno P intersecano i lati in A′, B′, C′ e D′, come in figura. I perimetri (in metri) dei parallelogrammi D′AA′P, C′DD′P e B′CC′P sono quelli indicati in figura. Quanti metri misura il perimetro del parallelogramma A′BB′P? A B C D P A′ B′ C′ D′ 31 49 42
- (A) 24
- (B) 22
- (C) 26
- (D) 28
- (E) 27
Topic: Geometria piana Metodo: monovarianti Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Perimeter of a sub-parallelogram from data perimeter
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0.6);
\coordinate (C) at (5.2,3.4);
\coordinate (D) at (1.2,2.8);
\coordinate (P) at (2.6,1.6);
\draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\coordinate (Aq) at (1.95,0.29);
\coordinate (Cq) at (3.25,3.11);
\coordinate (Dq) at (0.65,1.51);
\coordinate (Bq) at (4.45,1.69);
\draw (Aq)--(Cq);
\draw (Dq)--(Bq);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[above right] at (P) {$P$};
\node[below] at (Aq) {$A'$};
\node[right] at (Bq) {$B'$};
\node[above] at (Cq) {$C'$};
\node[left] at (Dq) {$D'$};
\node at (1.55,1.05) {$31$};
\node at (1.9,2.1) {$49$};
\node at (3.6,2.2) {$42$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Considered an ABCD parallelogram, the lines parallel to the sides passing through an inner point P intersect the sides in A′, B′, C′ and D′, as shown in Figure 1. The perimeters (in meters) of parallelograms D′AA′P, C′DD′P and B′CC′P are as shown in Figure 1. How many metres does the perimeter of the parallelogram A′BB′P measure? A B C D P A′ B′ C′ D′ 31 49 42
- (A) 24
- (B) 22
- (C) 26
- (D) 28
- (E) 27
Answer: A src_archimede_2022_triennio__Q06
Coppie (a,b) con a divisore di b e a+2b=1010
Quante sono le coppie di interi positivi (a, b) tali che a sia un divisore di b ed inoltre si abbia a + 2b = 1010 ?
- (A) 503
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
- (E) 504
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Pairs (a,b) with a divisor of b and a+2b=1010
How many pairs of positive integers (a, b) are such that a is a divisor of b and additionally a + 2b = 1010 ?
- (A) 503
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 3
- (E) 504
Answer: D src_archimede_2022_triennio__Q07
Angolo BAD con rombo costruito su triangolo isoscele
Esternamente a un triangolo isoscele ABC (con AC = BC), si costruisce un rombo BCDE, dove = 96°. Qual è l’ampiezza dell’angolo ?
- (A) 54°
- (B) 36°
- (C) 42°
- (D) 48°
- (E) i dati forniti non sono sufficienti
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
BAD angle with rim constructed on an isosceles triangle
Externally to an ABC isosceles triangle (with AC = BC), a BCDE rhomboid is constructed, where = 96°. What is the width of the angle ?
- (A) 54°
- (B) 36°
- (C) 42°
- (D) 48°
- (E) the data provided are insufficient
Answer: C src_archimede_2022_triennio__Q08
Numero di passi per raggiungere 30 metri di distanza
Mentre pensa ad un problema di matematica, Francesco cammina come al solito avanti e indietro, facendo 1 passo in avanti, 2 indietro, 3 in avanti, 4 indietro e così via (con passi tutti di 60 cm). Appena raggiunge i 30 metri di distanza dal punto di partenza, finalmente risolve il problema. Quanti passi avrà fatto in tutto?
- (A) 50
- (B) 5150
- (C) 1275
- (D) 5050
- (E) 4950
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Somme telescopiche Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Number of steps to reach a distance of 30 metres
While thinking about a mathematical problem, Francesco walks as usual back and forth, taking 1 step forward, 2 back, 3 forward, 4 back and so on (all with steps of 60 cm). As soon as he reaches 30 meters away from the starting point, he finally solves the problem. How many steps has he taken in all?
- (A) 50
- (B) 5150
- (C) 1275
- (D) 5050
- (E) 4950
Answer: E src_archimede_2022_triennio__Q09
Ultimo numero della 120-esima riga saltando multipli di 5
La tabella qui a fianco, con 7 colonne ed infinite righe che proseguono all’ingiù, viene riempita inserendo nelle caselle i numeri naturali, in ordine crescente, saltando tutti i multipli di 5. Con quale numero termina la 120- esima riga? 1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 14 16 17
- (A) 1049
- (B) 1051
- (C) 1052
- (D) 839
- (E) 841
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Last number of the 120th row by leaping multiples of 5
The table right next to it, with 7 columns and infinite rows that go on and on, is filled in by entering the boxes the natural numbers, in increasing order, by skipping all the multiples of 5. What number does the 120th line end with? 1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 14 16 17
- (A) 1049
- (B) 1051
- (C) 1052
- (D) 839
- (E) 841
Answer: A src_archimede_2022_triennio__Q10
Porzione di lago assistita dal porto piu esteso
Lungo la costa di un lago circolare ci sono tre porti. Su una mappa, i porti sono collocati in tre posizioni A, B, C e, misurando gli angoli, si trova che = 57°, = 48°, = 75°. In caso di emergenza, i soccorsi all’interno del lago vengono prestati dal porto più vicino. Quale porzione del lago è assistita dal porto che deve soccorrere la superficie più estesa?
- (A) 5/12
- (B) 11/30
- (C) 41/120
- (D) 7/18
- (E) 9/25
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Lake portion assisted by the largest port
There are three ports along the shore of a circular lake. On a map, the ports are placed in three positions A, B, C and, by measuring the angles, it is found that = 57°, = 48°, = 75°. In case of emergency, rescue within the lake is provided by the nearest port. What portion of the lake is assisted by the harbour that needs to save the widest surface area?
- (A) 5/12
- (B) 11/30
- (C) 41/120
- (D) 7/18
- (E) 9/25
Answer: B src_archimede_2022_triennio__Q11
Coppie ordinate (m,n) con m<=n e mcm uguale a 1515
Quante sono le coppie ordinate di numeri naturali (m, n), con m ⩽n, il cui minimo comune multiplo è uguale a 1515 ?
- (A) 12
- (B) 13
- (C) 14
- (D) 11
- (E) 10
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Ordered pairs (m,n) with m<=n and mcm equal to 1515
How many pairs of ordered natural numbers (m, n), with m ⩽n, whose least common multiple is equal to 1515?
- (A) 12
- (B) 13
- (C) 14
- (D) 11
- (E) 10
Answer: C src_archimede_2022_triennio__Q12
Stato finale del gioco delle caramelle con invariante
Alberto e Barbara hanno due sacchetti, che contengono rispettivamente 2022 e 999 caramelle. In qualsiasi momento, uno dei due può mangiare una caramella dal proprio sacchetto (senza dover rispettare turni o criteri di alternanza), a condizione che, in tal caso, regali un’altra caramella all’altra persona, che la mette nel proprio sacchetto. Dopo un po’ di tempo, nessuno dei due può più mangiare caramelle. Si può affermare che, a questo punto, …
- (A) sono rimasti entrambi senza caramelle
- (B) Alberto ha una caramella, Barbara nessuna
- (C) Barbara ha una caramella, Alberto nessuna
- (D) hanno entrambi una caramella
- (E) uno dei due (non si può prevedere chi) ha una caramella, l’altro nessuna
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Final state of the game of candy with invariant
Alberto and Barbara have two bags, containing 2022 and 999 candy respectively. At any time, one of the two may eat a candy from his own bag (without having to take turns or alternate criteria), provided that, in this case, he gives another candy to the other person, who puts it in his own bag. After a while, neither of them can eat candy anymore. It can be said that, at this point, . .
- (A) They both ran out of candy.
- (B) Alberto has a candy bar, Barbara has none.
- (C) Barbara has a candy bar, Alberto has none.
- (D) They both have candy.
- (E) One of the two (you can’t predict who) has a candy, the other one has none.
Answer: D src_archimede_2022_triennio__Q13
Numero di k con polinomio avente radice intera positiva
Indicare quanti sono i valori k ∈R per i quali il polinomio p(x) = x2 −kx + 36 ha almeno una radice intera positiva che sia minore di 1000.
- (A) 3
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 999
- (E) 995
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Number of k with positive integer root polynomial
Indicate how many values k ∈R are for which the polynomial p(x) = x2 −kx + 36 has at least one positive integer root less than 1000.
- (A) 3
- (B) 1
- (C) 2
- (D) 999
- (E) 995
Answer: E src_archimede_2022_triennio__Q14
Probabilita che la tombola finisca all’89-esimo numero
Luca e Carlo giocano uno contro l’altro a tombola (senza altri avversari). Ciascuno ha una cartella con 15 numeri; le due cartelle non hanno numeri in comune. Qual è la probabilità che la partita si concluda proprio all’89-esimo numero estratto?
- (A) 9/178
- (B) 5/178
- (C) 5/89
- (D) 1/18
- (E) 1/36
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Probability of the tomb ending at 89th number
Luca and Carlo play against each other in a tombola (without other opponents). Each has a folder with 15 numbers; the two folders have no numbers in common. What is the probability that the match will end at the 89th extract?
- (A) 9/178
- (B) 5/178
- (C) 5/89
- (D) 1/18
- (E) 1/36
Answer: C src_archimede_2022_triennio__Q15
Area di triangolo interno con lati paralleli a distanza 2
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (C) at (7,0);
\coordinate (B) at (2.2,3.6);
\coordinate (Ap) at (1.0,0.7);
\coordinate (Bp) at (2.45,2.85);
\coordinate (Cp) at (4.55,0.95);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (Ap)--(Bp)--(Cp)--cycle;
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[above] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[below left] at (Ap) {$A'$};
\node[above] at (Bp) {$B'$};
\node[below right] at (Cp) {$C'$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Nel triangolo acutangolo ABC, i lati AB e BC misurano 17 m e 25 m, l’altezza BH misura 15 m. Consideriamo il triangolo A′B′C′, contenuto in ABC, i cui lati sono paralleli a quelli di ABC e si trovano a 2 m di distanza da questi. Quanti m2 misura l’area di A′B′C′? A B C A′ B′ C′
- (A) 315/2
- (B) 280/3
- (C) 140
- (D) 105
- (E) 126 311
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Inner triangle area with parallel sides at a distance of 2
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (C) at (7,0);
\coordinate (B) at (2.2,3.6);
\coordinate (Ap) at (1.0,0.7);
\coordinate (Bp) at (2.45,2.85);
\coordinate (Cp) at (4.55,0.95);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (Ap)--(Bp)--(Cp)--cycle;
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[above] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[below left] at (Ap) {$A'$};
\node[above] at (Bp) {$B'$};
\node[below right] at (Cp) {$C'$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the triangle ABC, the sides AB and BC measure 17 m and 25 m, the height BH 15 m. Consider the triangle A′B′C′, contained in ABC, whose sides are parallel to those of ABC and are 2 m away from them. How many m2 does the area of A′B′C′ measure? A B C A′ B′ C′
- (A) 315/2
- (B) 280/3
- (C) 140
- (D) 105
- (E) 126 311
Answer: B src_archimede_2022_triennio__Q16