Scacchiera 9x10 colorata, massimo caselle rosse
Le caselle di una scacchiera 9 × 10 sono colorate di rosso, verde o blu. Ogni quadrato 3 × 3 della scacchiera contiene esattamente tre caselle rosse, tre verdi e tre blu. Quante sono al massimo le caselle rosse?
- (A) 32
- (B) 34
- (C) 36
- (D) 39
- (E) 40
Topic: Combinatoria Metodo: parita, Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Coloured 9x10 chessboard, maximum red box size
The boxes of a chessboard 9 × 10 are red, green or blue. Each square 3 × 3 of the chessboard contains exactly three red, three green and three blue boxes. How many red boxes are there at most?
- (A) 32
- (B) 34
- (C) 36
- (D) 39
- (E) 40
Answer: C src_archimede_2023_2livello__Q01
Biglie colorate, condizioni ‘tranne’, totale biglie
In un sacchetto ci sono delle biglie di vari colori. Si sa che tutte le biglie tranne 6 sono gialle, tutte le biglie tranne 7 sono rosse, tutte le biglie tranne 10 sono blu. Inoltre, c’è almeno una biglia blu e potrebbero esserci anche biglie di colori diversi da giallo, rosso e blu. Quante biglie contiene il sacchetto?
- (A) Non è possibile determinarlo
- (B) 11
- (C) 12
- (D) 20
- (E) 23
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Colored bags, ‘except’ conditions, total bags
In a bag, there are balls of various colors. You know, all but six beans are yellow, all but seven beans are red, all but 10 beans are blue. In addition, there is at least one blue ball and there may also be balls of colours other than yellow, red and blue. How many balls is in the bag?
- (A) It is not possible to determine
- (B) 11
- (C) 12
- (D) 20
- (E) 23
Answer: B src_archimede_2023_2livello__Q02
Cuore da due cerchi e tangenti, area ombreggiata
Alice disegna un cuore sul quaderno di matematica come segue: prima disegna due circonferenze di raggio 1cm e centri O1, O2, tangenti esternamente. Chiamata r la tangente comune alle due circonferenze passante per il punto di contatto, sceglie poi un punto P su r in modo che si abbia ÿ O1PO2 = 60°e traccia le tangenti alle due circonferenze passanti per P. Quanto vale l’area del cuore ottenuto (ovvero l’area ombreggiata in figura) in cm2? O1 O2 P
- (A) 2 √ 3 + 4 3π
- (B) √ 3 + π
- (C) 7 3π
- (D) 3 2 + 2π
- (E) Nessuna delle precedenti
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Heart with two circles and tangents, shaded area
Alice draws a heart on the mathematical notebook as follows: first she draws two circles of radius 1 cm and centers O1, O2, tangent externally. Called r the common tangent to the two circles passing through the contact point, then choose a point P over r so that you have ÿ O1PO2 = 60° and trace the tangents to the two circles passing through P. What is the area of the heart obtained (i.e. the area shaded in the figure) in cm2? O1 O2 P
- (A) 2 √ 3 + 4 3π
- (B) √ 3 + π
- (C) 7 3π
- (D) 3 2 + 2π
- (E) None of the above
Answer: A src_archimede_2023_2livello__Q03
Griglia 4x4 con 1,2,3, somme righe/colonne divisibili 3
Marina riempie le caselle di una griglia 4 × 4 scrivendo dentro ciascuna il numero 1, il numero 2 o il numero 3. Quanti sono i modi di riempire la griglia tali che la somma di ogni riga e la somma di ogni colonna siano divisibili per 3?
- (A) 38 −1
- (B) 38
- (C) 2 · 38
- (D) 39
- (E) Nessuna delle precedenti
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
4x4 grid with 1,2,3, sums of rows/columns divisible by 3
Marina fills the boxes of a grid of 4 × 4 with the number 1, number 2 or number 3 in each. How many ways are there to fill the grid so that the sum of each row and the sum of each column is divisible by 3?
- (A) 38 −1
- (B) 38
- (C) 2 · 38
- (D) 39
- (E) None of the above
Answer: D src_archimede_2023_2livello__Q04
Due rettangoli con diagonale comune, area sovrapposizione
Lucio ha due carte identiche di forma rettangolare con lati lunghi 6 e 9; le appoggia sul tavolo in modo che abbiano una diagonale in comune ma non risultino precisamente sovrapposte. Qual è l’area della porzione della prima carta che è coperta dalla seconda?
- (A) 27
- (B) 36
- (C) 37
- (D) 38
- (E) 39
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
Two rectangles with a common diagonal, overlapping area
Lucius has two identical rectangular-shaped cards with long sides 6 and 9; he supports them on the table so that they have a diagonal in common but are not precisely overlapping. What is the area of the portion of the first paper that is covered by the second?
- (A) 27
- (B) 36
- (C) 37
- (D) 38
- (E) 39
Answer: E src_archimede_2023_2livello__Q05
Divisori propri di 10^2024+1 della forma 10^n+1
Si consideri il numero N = 1000 … 0001 che consiste nella cifra uno seguita da 2023 zeri, a loro volta seguiti dalla cifra uno. Quanti sono i divisori propri di N (ovvero, i divisori strettamente compresi fra 1 ed N) che si scrivono anch’essi come una cifra 1 seguita da un qualche numero positivo di zeri, seguiti a loro volta da una cifra 1?
- (A) 3
- (B) 5
- (C) 12
- (D) 14
- (E) 16
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
- Owners of 10^2024+1 of the form 10^n+1 *
Consider the number N = 1000 … 0001 consisting of the number one followed by 2023 zeros, which in turn are followed by the number one. How many proper divisors of N (i.e., the strictly understood divisors between 1 and N) are also written as a digit 1 followed by some positive number of zeros, followed in turn by a digit 1?
- (A) 3
- (B) 5
- (C) 12
- (D) 14
- (E) 16
Answer: A src_archimede_2023_2livello__Q06
Espressione razionale prima per quattro n, somma
Per esattamente quattro valori interi di n compresi fra 1 e 10, estremi inclusi, l’espressione n9 + 3n+1n6 + 33n rappresenta un numero primo. Quanto vale la somma di questi quattro valori di n?
- (A) 12
- (B) 16
- (C) 18
- (D) 22
- (E) 25
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Rational expression first by four n, sum
For exactly four integer values of n between 1 and 10, extremes included, the expression n9 + 3n+1n6 + 33n represents a prime number. What is the sum of these four values of n?
- (A) 12
- (B) 16
- (C) 18
- (D) 22
- (E) 25
Answer: B src_archimede_2023_2livello__Q07
Cubo, piano per 6 punti medi, volume tra due piani
Dato un cubo di lato 10, consideriamo un piano che passi per esattamente 6 dei punti medi dei suoi spigoli; chiamiamo tali punti A, B, C, D, E, F e supponiamo che i lati dell’esagono ABCDEF giacciano ciascuno su una faccia del cubo. Consideriamo poi un secondo piano contenente il segmento AB e perpendicolare alla faccia contenente AB. Quanto vale il volume della porzione del cubo contenuta fra i due piani?
- (A) 250
- (B) 1000 3
- (C) 375
- (D) 1625 3
- (E) Non esiste un piano con le proprietà richieste
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Cube, plane for 6 mean points, volume between two planes
Given a cube on side 10, let’s consider a plane that passes through exactly 6 of the middle points of its vertices; let’s call those points A, B, C, D, E, F and let’s assume that the sides of the ABCDEF hexagon lie each on one side of the cube. Let’s consider a second plane containing the AB segment and perpendicular to the face containing AB. What is the volume of the portion of the cube contained between the two floors?
- (A) 250
- (B) 1000 3
- (C) 375
- (D) 1625 3
- (E) There is no plan with the required properties.
Answer: C src_archimede_2023_2livello__Q08
Successione cifre, coppie iniziali con a_2023=9
La successione an è costruita nel modo seguente: a1, a2 sono interi compresi fra 1 e 9 (estremi inclusi); per n ≥3, se la somma fra an−1 e an−2 consta di una sola cifra, allora tale somma è il valore di an; se invece an−1 + an−2 ha più di una cifra, la somma delle sue cifre sarà il valore di an (ad esempio, se a4 = 7 e a5 = 8, allora a6 = 6 in quanto 7 + 8 = 15 e 1 + 5 = 6). Quante sono le scelte possibili della coppia (a1, a2) tali che si abbia a2023 = 9?
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 9
- (D) 27
- (E) 81
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Succession numbers, initial pairs with a_2023=9
The an sequence is constructed as follows: a1, a2 are integers between 1 and 9 (extremes included); for n ≥3, if the sum between an−1 and an−2 consists of a single digit, then that sum is the value of an; if instead an−1 + an−2 has more than one digit, the sum of its digits will be the value of an (e.g., if a4 = 7 and a5 = 8, then a6 = 6 as 7 + 8 = 15 and 1 + 5 = 6). How many possible choices of the pair (a1, a2) do you have if a2023 = 9?
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 9
- (D) 27
- (E) 81
Answer: C src_archimede_2023_2livello__Q09
Parallelogramma, bisettrice su punto medio, lunghezza AM
Sia ABCD un parallelogramma tale che la bisettrice uscente da B interseca il lato CD nel suo punto medio M. Il lato BC è lungo 6, e la diagonale AC è lunga 14. Determinare la lunghezza di AM.
- (A) 2 √ 19
- (B) 14 −3 √ 3
- (C) 4 √ 5
- (D) 9
- (E) 2 √ 22
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.4
Parallelogram, centered beacons, length AM
Either ABCD is a parallelogram such that the bisector coming out of B intersects the CD side at its midpoint M. The BC side is length 6, and the AC diagonal is length 14. Determine the length of AM.
- (A) 2 √ 19
- (B) 14 −3 √ 3
- (C) 4 √ 5
- (D) 9
- (E) 2 √ 22
Answer: C src_archimede_2023_2livello__Q10
Coppie (m,n) la cui frazione inizia con 3,14
Archimede ben sapeva che π ≈3,1416 può essere approssimato per eccesso dalla frazione 22/7 ≈ 3,1429 e che almeno le prime due cifre dopo la virgola sono corrette. Per quante coppie di interi (m, n), con 1 < n < 100, si ha che la scrittura decimale della frazione m n inizia proprio con 3,14?
- (A) 14
- (B) 21
- (C) 48
- (D) 50
- (E) Nessuna delle precedenti
Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.4
Pairs (m,n) whose fraction begins with 3,14
Archimedes well knew that π ≈3,1416 can be approximated by excess from the fraction 22/7 ≈ 3,1429 and that at least the first two digits after the comma are correct. For how many pairs of integers (m, n), with 1 < n < 100, do we have the decimal writing of the fraction m n starting right with 3.14?
- (A) 14
- (B) 21
- (C) 48
- (D) 50
- (E) None of the above
Answer: C src_archimede_2023_2livello__Q11
Assegnazioni ballerine/ballerini, 13 segmenti non incrocianti
Una complicata coreografia prevede una fila di 7 ballerine equispaziate su un palcoscenico piano; di fronte a quella delle ballerine vi è una fila identica, parallela, di altrettanti ballerini. La coreografa vuole assegnare a ciascuna ballerina alcuni ballerini in modo che, tracciando sul palcoscenico il segmento che unisce la posizione di ciascuna ballerina a quella dei ballerini a lei assegnati, non vi siano segmenti che si intersecano se non negli estremi. Vuole inoltre che il numero totale di segmenti tracciati sia 13. Quanti sono i possibili modi di effettuare le assegnazioni che soddisfano queste proprietà?
- (A) 128
- (B) 343
- (C) 486
- (D) 924
- (E) 1716 Problemi a risposta numerica – 5 punti
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
Dancer/dancer assignments, 13 non-crossing segments
A complicated choreography involves a row of 7 dancers equipsed on a stage plane; in front of that of the dancers there is an identical line, parallel, of as many dancers. The choreographer wants to assign some dancers to each dancer so that, by tracing on stage the segment that unites the position of each dancer to that of the dancers assigned to her, there are no segments that intersect except at the ends. It also wants the total number of segments traced to be 13. How many possible ways of making allocations that satisfy these properties?
- (A) 128
- (B) 343
- (C) 486
- (D) 924
- (E) 1716 Problems with numerical answers 5 points
Answer: D src_archimede_2023_2livello__Q12
Soggiorno rettangolare, presa a distanza 5m, area massima
Il soggiorno della casa di Filippo ha pianta rettangolare. Filippo ha notato che se attacca l’aspirapolvere alla presa vicino alla porta d’ingresso riesce a pulire tutto il pavimento: questo vuol dire che tutti i punti del pavimento sono a distanza minore di 5m dal punto della parete dove si trova la presa. Quanto vale, al massimo, l’area del soggiorno (in m2)?
Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 25 Fonte: apri PDF p.4
Rectangular living room, taken from a distance of 5m, maximum area
Philip’s living room is rectangular. Filippo noted that if he attaches the vacuum cleaner to the socket near the entrance door he can clean the entire floor: this means that all the floor points are less than 5m away from the wall where the socket is located. What is the maximum value of the living area (in m2)?
Answer: 25 src_archimede_2023_2livello__Q13
2023 persone in fila, affermazioni su furfanti, quanti
Su un’isola ci sono 2023 persone in fila indiana, ciascuna delle quali è un furfante o un cavaliere: i cavalieri dicono sempre la verità, mentre i furfanti mentono sempre. Se i è dispari, la persona in posizione i-esima esclama: “Ci sono almeno i furfanti”; se i è pari, la persona in posizione i-esima esclama: “Ci sono esattamente i furfanti”. Quanti sono i furfanti?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1348 Fonte: apri PDF p.4
2023 people in line, claims on thieves, how many
On one island there are 2023 Indian people in line, each of whom is a con man or a knight: the knights always tell the truth, while the con men always lie. If they are odd, the person in the eighth position exclaims: There are at least thieves; if they are even, the person in the eighth position exclaims: There are exactly thieves. How many thieves are there?
Answer: 1348 src_archimede_2023_2livello__Q14
Trapezio isoscele, bisettrici, AB=AP sse condizione
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Sia ABCD un trapezio isoscele di base maggiore AB tale che la bisettrice dell’angolo in D passi per B. Supponiamo che la bisettrice dell’angolo in A intersechi il lato BC nel punto P. Dimostrare che AB = AP se e solo se la bisettrice di ÷ PAD passa per C.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.5
*Isosceles trapezoid, bisectriform, AB=AP with condition *
Demonstrative Exercise Whether ABCD is an isosceles trapezoid of base major AB such that the angle bisector in D passes through B. Let’s say that the intersection of the angle in A intersects the side of BC at the point P. Demonstrate that AB = AP if and only if the biset of ÷ PAD passes through C.
src_archimede_2023_2livello__Q15
Numeri doppiamente reversibili, tipi 2 e 3
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Un intero positivo n si dice doppiamente reversibile di tipo ℓse esistono due basi consecutive b e b + 1 tali che n sia rappresentato da numeri palindromi di ℓcifre sia in base b che in base b + 1. Ad esempio, 104 è doppiamente reversibile di tipo 3 perch´e 10410 = 4045 = 2526. (a) Dimostrare che non esistono numeri doppiamente reversibili di tipo 2. (b) Dimostrare che esistono infiniti numeri doppiamente reversibili di tipo 3.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.7
Doubly reversible numbers, types 2 and 3
A positive integer n is said to be twice reversible of type l if there are two consecutive bases b and b + 1 such that n is represented by numeric palindromes on both base b and base b + 1. For example, 104 is double reversible type 3 because 10410 = 4045 = 2526. (a) Demonstrate that there are no double reversible type 2 numbers. (b) Demonstrate that there are infinitely many double reversibles of type 3.
src_archimede_2023_2livello__Q16
Insiemi labirintici in tabella 2n x 2n, perimetro e limiti
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Data una tabella 2n×2n, un sottoinsieme S delle sue caselle è detto labirintico se ha le seguenti proprietà: • da ogni casella di S è possibile spostarsi in ogni altra casella di S muovendosi solo da caselle di S a caselle di S adiacenti (in orizzontale o verticale, cioè che abbiano un lato in comune con la casella di provenienza); • non è possibile, partendo da una casella di S, tornare alla stessa casella muovendosi solo verso caselle di S adiacenti e senza mai attraversare due volte lo stesso lato. (a) Dimostrare che se S è labirintico allora non può avere più di 3n2 caselle; (b) Esibire un insieme di 12 caselle labirintico per n = 2. (c) Chiamiamo perimetro di S il numero di lati adiacenti ad almeno una casella di S, ma non a due caselle di S. Se S è labirintico e consta di k caselle, quanto vale il suo perimetro? (d) Dimostrare che non esiste un insieme di 300 caselle labirintico se n = 10.
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi, Induzione Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.9
Labyrinth sets in Table 2n x 2n, perimeter and limits
DEMOSTRATIVE EXERCISE Given a table 2n×2n, a subset S of its boxes is said to be labyrinthine if it has the following properties: • from each S box it is possible to move to any other S box by moving only from S boxes to adjacent S boxes (horizontal or vertical, i.e. having a side in common with the box of origin); • it is not possible, starting from an S box, to return to the same box by moving only to adjacent S boxes and never crossing the same side twice. (a) Demonstrate that if S is labyrinthine then it cannot have more than 3n2 boxes; (b) Exhibit a set of 12 labyrinthine boxes for n = 2. (c) We call the perimeter of S the number of sides adjacent to at least one S box, but not to two S boxes. If S is labyrinthine and consists of k boxes, how much is its perimeter? (d) Demonstrate that there is no set of 300 labyrinth boxes if n = 10.