Probabilita stesso numero con dado a 6 e dado a 20 facce
Dario lancia un dado a 6 facce, numerate da 1 a 6, mentre Silvia lancia un dado a 20 facce, numerate da 1 a 20. Qual è la probabilità che facciano lo stesso numero?
- (A) 1/120
- (B) 1/6
- (C) 1/20
- (D) 3/10
- (E) 1/14
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Probable same number with 6 face dice and 20 face dice
Darius throws a six-sided dice, numbered from 1 to 6, while Silvia throws a 20-sided dice, numbered from 1 to 20. What’s the probability that they’re doing the same number?
- (A) 1/120
- (B) 1/6
- (C) 1/20
- (D) 3/10
- (E) 1/14
Answer: C src_archimede_2023_biennio__Q01
Numeri di 3 cifre multipli di 4 con cifre 1,2,5,8
Quanti numeri di 3 cifre sono multipli di 4 e si possono scrivere senza usare altre cifre al di fuori di 1, 2, 5, 8?
- (A) 16
- (B) 18
- (C) 12
- (D) 10
- (E) 14
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Three-digit numbers multiplied by four with digits 1,2,5,8
How many 3-digit numbers are multiples of 4 and you can write without using any other digits other than 1, 2, 5, 8?
- (A) 16
- (B) 18
- (C) 12
- (D) 10
- (E) 14
Answer: A src_archimede_2023_biennio__Q02
Angolo B in triangolo con AC=CD e AD=DB
In un triangolo ABC, sia D un punto sul lato BC tale che AC = CD. Sapendo che AD = DB e che bC = 16°, qual è l’ampiezza dell’angolo bB?
- (A) 32°
- (B) 40°
- (C) 36°
- (D) 38°
- (E) 41°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Angle B in a triangle with AC=CD and AD=DB
In an ABC triangle, be D a point on the BC side such that AC = CD. Knowing that AD = DB and that bC = 16°, what is the width of the angle bB?
- (A) 32°
- (B) 40°
- (C) 36°
- (D) 38°
- (E) 41°
Answer: E src_archimede_2023_biennio__Q03
Modi di disporre quaderni colorati a blocchi
Alberto vuole riordinare uno scaffale della sua libreria, dove ci sono 3 quaderni verdi, 2 blu e 2 rossi. Li vuole disporre in modo che i quaderni dello stesso colore stiano tutti vicini tra loro, senza altri colori in mezzo. In quanti modi Alberto può disporre in fila, da sinistra verso destra, i suoi 7 quaderni sullo scaffale?
- (A) 36
- (B) 144
- (C) 48
- (D) 96
- (E) 576
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Mode of arranging block colored notebooks
Alberto wants to rearrange a shelf in his bookstore, where there are 3 green notebooks, 2 blue and 2 red. He wants to arrange them so that notebooks of the same color are all next to each other, with no other colors in between. How many ways can Albert line up his seven notebooks on the shelf, from left to right?
- (A) 36
- (B) 144
- (C) 48
- (D) 96
- (E) 576
Answer: B src_archimede_2023_biennio__Q04
Valore di a4-a1 in progressione aritmetica
Una sequenza di 6 numeri a1, a2, a3, a4, a5, a6 è stata scelta in modo da avere a2 −a1 = a3 −a2 = a4 −a3 = a5 −a4 = a6 −a5. Sapendo che a1 +a2 +a3 = 7 e a4+a5+a6 =19, indicare qual è il valore di a4 −a1.
- (A) 2
- (B) 6
- (C) 3
- (D) 1
- (E) 4
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Value of a4-a1 in arithmetic progression
A sequence of 6 numbers a1, a2, a3, a4, a5, a6 has been chosen so that a2 −a1 = a3 −a2 = a4 −a3 = a5 −a4 = a6 −a5. Knowing that a1 + a2 + a3 = 7 and a4 + a5 + a6 =19, indicate what the value of a4 − a1 is.
- (A) 2
- (B) 6
- (C) 3
- (D) 1
- (E) 4
Answer: E src_archimede_2023_biennio__Q05
Quante affermazioni su potenze di 2 sono vere
Dati i numeri x = 2(46) e y = 2(65), consideriamo le 4 affermazioni seguenti: (1) x è un quadrato perfetto; (2) x è un divisore di y; (3) y è un quadrato perfetto; (4) y è un cubo perfetto. Tra le 4 affermazioni precedenti, quante sono quelle vere?
- (A) solo 3
- (B) tutte e 4
- (C) solo 2
- (D) solo 1
- (E) nessuna
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
How many statements on powers of 2 are true
Given the numbers x = 2(46) and y = 2(65), consider the following 4 statements: (1) x is a perfect square; (2) x is a divisor of y; (3) y is a perfect square; (4) y is a perfect cube. Of the four above statements, how many are true?
- (A) Only three
- (B) All four .
- (C) Only two
- (D) only 1
- (E) None of them.
Answer: B src_archimede_2023_biennio__Q06
Angolo AFE con catena di bisettrici nel triangolo
Nel triangolo ABC, dove = 58°e = 54°, le semirette CD, DE, EF sono bisettrici, rispettivamente, degli angoli , , . Qual è l’ampiezza dell’angolo ? A B C D E F
- (A) 83°
- (B) 80°
- (C) 82°
- (D) 81°
- (E) 84°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
AFE angle with chain of beams in the triangle
In the triangle ABC, where = 58° and = 54°, the semicircles CD, DE, EF are bisected respectively by the angles , , . What is the width of the angle ? A B C D E F
- (A) 83°
- (B) 80°
- (C) 82°
- (D) 81°
- (E) 84°
Answer: A src_archimede_2023_biennio__Q07
Colorazioni della striscia con multipli di 3 blu
Martina ha una striscia di carta quadrettata, con quadretti di lato 1 centimetro, lunga 2023 cm. Vuole segnare ogni tacca dei centimetri, da 0 fino a 2023, con uno dei suoi tre pennarelli colorati (rosso, giallo e blu). Farà in modo che i multipli di 3, incluso 0, siano tutti segnati di blu e che non ci siano tacche vicine dello stesso colore. In quanti diversi modi Martina potrà realizzare la colorazione?
- (A) 21349
- (B) 32023
- (C) 2675
- (D) 32024
- (E) 2674
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Trip colours with multiples of 3 blue
Martina has a square strip of paper, with side squares of 1 centimeter, length 2023 cm. He wants to mark every inch height, from 0 to 2023, with one of his three colored pinheads (red, yellow and blue). It’ll make sure that the multiples of 3, including 0, are all marked in blue and that there are no nearby tiles of the same color. How many different ways will Martina be able to achieve the coloring?
- (A) 21349
- (B) 32023
- (C) 2675
- (D) 32024
- (E) 2674
Answer: C src_archimede_2023_biennio__Q08
Quale espressione e sicuramente positiva date disuguaglianze
Si sa che a < b < c < d sono numeri reali diversi da 0 e che 1 c < 1 b < 1 a < 1 d . Quale delle seguenti quantità è sicuramente positiva?
- (A) −2a −3b −c + d
- (B) 2a −3b −c + 2d
- (C) −a + 4b −c + 3d
- (D) 4a + 2b + 3c −d
- (E) 3a + 2b + c + 4d
Topic: Disuguaglianze Metodo: Analisi per casi, Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
What an expression and certainly positive given inequalities
We know that a < b < c < d are real numbers other than 0 and that 1 c < 1 b < 1 a < 1 d . Which of the following is definitely positive?
- (A) −2a −3b −c + d
- (B) 2a −3b −c + 2d
- (C) −a + 4b −c + 3d
- (D) 4a + 2b + 3c −d
- (E) 3a + 2b + c + 4d
Answer: A src_archimede_2023_biennio__Q09
Minimo numero di paggi tra 11 abitanti in cerchio
In un’isola, ciascun abitante può essere un cavaliere, che dice sempre il vero, oppure un furfante, che mente sempre, oppure un paggio, libero di mentire o dire il vero. Per le leggi dell’isola, se più di 5 persone si riuniscono, fra loro dev’esserci almeno un cavaliere. Un giorno, 11 abitanti sono disposti in cerchio ed ognuno esclama: ”vicino a me ci sono un cavaliere ed un furfante”. Quanti sono, come minimo, i paggi tra le 11 persone in cerchio?
- (A) 4
- (B) 0
- (C) 3
- (D) 2
- (E) 1
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Minimum number of wages per 11 inhabitants in a circle
On an island, every inhabitant can be a knight, who always tells the truth, or a cunning man, who always lies, or a payman, free to lie or tell the truth. Under the island’s laws, if more than five people gather, there must be at least one knight among them. One day, 11 inhabitants are arranged in a circle and each shouts: “Near me is a knight and a con man”. How much is the minimum wage among the 11 people in a circle?
- (A) 4
- (B) 0
- (C) 3
- (D) 2
- (E) 1
Answer: E src_archimede_2023_biennio__Q10
Coppie intere (x,y) con x^2 y^3 = 7xy
Quante sono le coppie ordinate di numeri interi (x, y), con −20 ⩽x ⩽20 e −20 ⩽y ⩽20, tali che x2y3 = 7xy ?
- (A) 82
- (B) 81
- (C) 83
- (D) 80
- (E) 84
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Integressive pairs (x,y) with x^2 y^3 = 7xy
How many pairs of whole numbers (x, y) are ordered with −20 ⩽x ⩽20 and −20 ⩽y ⩽20, such that x2y3 = 7xy ?
- (A) 82
- (B) 81
- (C) 83
- (D) 80
- (E) 84
Answer: C src_archimede_2023_biennio__Q11
Punto su sponda di biliardo per imbucare con rimbalzo
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.018]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (280,0);
\coordinate (C) at (280,140);
\coordinate (D) at (0,140);
\coordinate (P) at (228,70);
\coordinate (X) at (124,0);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw[dashed] (P) -- (X) -- (D);
\fill (P) circle (3);
\node[above right] at (P) {$P$};
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Francesca gioca su un biliardo di dimensioni 280 × 140 cm. La palla si trova nel punto P, equidistante ripetto alle sponde AB e CD, a distanza 52 cm dalla sponda BC. Francesca vuole mandare la palla in buca nell’angolo D, con una traiettoria come quella tracciata in figura (la palla rimbalza formando angoli uguali con la sponda AB). A quanti cm da B occorre colpire la sponda AB per realizzare la traiettoria? A B C D P
- (A) 120
- (B) 128
- (C) 124
- (D) 130
- (E) 126
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
*Billboard edge point for bouncing *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.018]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (280,0);
\coordinate (C) at (280,140);
\coordinate (D) at (0,140);
\coordinate (P) at (228,70);
\coordinate (X) at (124,0);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw[dashed] (P) -- (X) -- (D);
\fill (P) circle (3);
\node[above right] at (P) {$P$};
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Francesca plays on a billiards player measuring 280 × 140 cm. The ball is located at the point P, equidistant repeated at the edges AB and CD, 52 cm from the edge BC. Francesca wants to send the ball into the hole in the D-angle, with a trajectory similar to that traced in the figure (the ball bounces forming equal angles with the shore AB). How many centimeters from B do you need to hit the AB shore to make the trajectory? A B C D P
- (A) 120
- (B) 128
- (C) 124
- (D) 130
- (E) 126
Answer: B src_archimede_2023_biennio__Q12
Triangoli isosceli con vertici di poligono regolare 25-gono
Considerato un poligono regolare P di 25 lati, stabilire quanti sono i triangoli isosceli che si possono costruire usando tre vertici del poligono P.
- (A) 285
- (B) 275
- (C) 250
- (D) 225
- (E) 300
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Isosceles triangles with regular 25-zone polygon vertices
Considering a regular polygon P of 25 sides, determine how many isosceles triangles can be constructed using three vertices of the polygon P.
- (A) 285
- (B) 275
- (C) 250
- (D) 225
- (E) 300
Answer: E src_archimede_2023_biennio__Q13
Quadratini attraversati dalla diagonale di rettangolo 83x120
Dopo aver disegnato un rettangolo di dimensioni 83×120 cm, Riccardo lo suddivide in 83·120 = 9960 quadratini di 1 cm2, poi traccia una diagonale del rettangolo. Quanti quadratini vengono attraversati dalla diagonale?
- (A) 120
- (B) 181
- (C) 183
- (D) 202
- (E) 193
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: congruenze Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Squares crossed by the diagonal of the rectangle 83x120
After drawing a rectangle measuring 83×120 cm, Riccardo divides it into 83·120 = 9960 squares of 1 cm2, then draws a diagonal of the rectangle. How many squares do you cross from the diagonal?
- (A) 120
- (B) 181
- (C) 183
- (D) 202
- (E) 193
Answer: D src_archimede_2023_biennio__Q14
Passeggiate di 6 metri che tornano alla tana (senza inversione)
Una tartaruga fa ogni tanto una passeggiata, partendo dalla propria tana. La passaggiata è formata da tratti rettilinei di un metro, sempre in una delle direzioni Nord, Sud, Ovest, Est. Quando cambia direzione, può ruotare solo di 90°(non può voltarsi ed invertire la marcia). Quante sono le possibili passeggiate di 6 metri, al termine delle quali la tartaruga si trova di nuovo nella tana?
- (A) 40
- (B) 54
- (C) 36
- (D) 32
- (E) 48
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
*6 metres walk back to the pit (without reversing) *
A turtle occasionally takes a walk, starting from its own lair. The pass is made up of one metre straight sections, always in one of the directions North, South, West, East. When it changes direction, it can rotate only 90°(it cannot turn and reverse the motion). How many six-meter walks are possible, at the end of which the turtle is back in the ditch?
- (A) 40
- (B) 54
- (C) 36
- (D) 32
- (E) 48
Answer: A src_archimede_2023_biennio__Q15
Area triangolo A’B’C’ in triangolo rettangolo dato
Considerato un triangolo rettangolo ABC, avente cateti AB = 30 mm e BC = 40 mm, sia A′ il punto medio del lato BC e siano B′, C′ i punti sui lati AC e AB tali che AB′ = AC′ = 5 mm. Quanti mm2 misura l’area del triangolo A′B′C′ ? A B C A′ C′ B′
- (A) 75
- (B) 70
- (C) 80
- (D) 90
- (E) 72 211
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Area triangle A’B’C’ in the given rectangle triangle
Considering a right triangle ABC, having catates AB = 30 mm and BC = 40 mm, both A′ the middle point of the BC side and B′, C′ the points on the AC sides and AB such that AB′ = AC′ = 5 mm. How many mm2 does the area of the triangle A′B′C′ measure? A B C A′ C′ B′
- (A) 75
- (B) 70
- (C) 80
- (D) 90
- (E) 72 211
Answer: B src_archimede_2023_biennio__Q16