Valore di a2-a1 in progressione aritmetica
Una sequenza di 6 numeri a1, a2, a3, a4, a5, a6 è stata scelta in modo da avere a2 −a1 = a3 −a2 = a4 −a3 = a5 −a4 = a6 −a5. Sapendo che a1 +a2 +a3 = 11 e a4+a5+a6 =32, indicare qual è il valore di a2 −a1.
- (A) 8 3
- (B) 5 3
- (C) 2
- (D) 7 3
- (E) 4 3
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Value of a2-a1 in arithmetic progression
A sequence of 6 numbers a1, a2, a3, a4, a5, a6 has been chosen so that a2 −a1 = a3 −a2 = a4 −a3 = a5 −a4 = a6 −a5. Knowing that a1 + a2 + a3 = 11 and a4 + a5 + a6 = 32, indicate what the value of a2 − a1 is.
- (A) 8 3
- (B) 5 3
- (C) 2
- (D) 7 3
- (E) 4 3
Answer: D src_archimede_2023_triennio__Q01
Quali affermazioni su potenze di 3 sono vere
Dati i numeri x = 3(94) e y = 27(93), consideriamo le 4 affermazioni seguenti: (1) x è un quadrato perfetto; (2) x·y è un quadrato e un cubo perfetto; (3) y è un quadrato perfetto; (4) x è un divisore di y. Tra le 4 affermazioni precedenti, quali sono vere?
- (A) la (4)
- (B) la (2)
- (C) la (1) e la (2)
- (D) tutte e 4
- (E) nessuna
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Any statements on powers of 3 are true
Given the numbers x = 3(94) and y = 27(93), consider the following 4 statements: (1) x is a perfect square; (2) x·y is a perfect square and cube; (3) y is a perfect square; (4) x is a divisor of y. Of the four above, which is true?
- (A) la (4)
- (B) la (2)
- (C) la (1) e la (2)
- (D) All four .
- (E) None of them.
Answer: B src_archimede_2023_triennio__Q02
Angolo A con B undici volte C nel triangolo
In un triangolo ABC, sia D un punto sul lato BC tale che AC = CD. Sapendo che AD = DB e che l’angolo “ B è 11 volte “ C, l’ampiezza dell’angolo bA è …
- (A) 128°
- (B) 129°
- (C) 131°
- (D) 130°
- (E) 132°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Angle A with B eleven times C in the triangle
In an ABC triangle, be D a point on the BC side such that AC = CD. Knowing that AD = DB and that the angle B is 11 times C, the width of the angle bA is…
- (A) 128°
- (B) 129°
- (C) 131°
- (D) 130°
- (E) 132°
Answer: E src_archimede_2023_triennio__Q03
Quante volte le lancette sono perpendicolari in un giorno
Quante volte, nell’arco di una giornata (da mezzanotte alla mezzanotte successiva), la lancetta delle ore e la lancetta dei minuti di un orologio (con un comune quadrante a 12 ore) si trovano disposte perpendicolarmente?
- (A) 44
- (B) 48
- (C) 24
- (D) 22
- (E) 46
Topic: Geometria piana Abilita: Stima e approssimazione Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
How many times are the tips perpendicular in a day
How many times, over the course of a day (from midnight to midnight) are the hour and minute clock (with a common 12-hour dial) perpendicular?
- (A) 44
- (B) 48
- (C) 24
- (D) 22
- (E) 46
Answer: A src_archimede_2023_triennio__Q04
Modi di disporre 8 quaderni colorati a blocchi
Barbara vuole riordinare uno scaffale della sua libreria, dove ci sono 2 quaderni verdi, 3 blu, 2 gialli e 1 rosso. Li vuole disporre in modo che i quaderni dello stesso colore stiano tutti vicini tra loro, senza altri colori in mezzo. In quanti modi Barbara può disporre in fila, da sinistra verso destra, i suoi 8 quaderni sullo scaffale?
- (A) 360
- (B) 144
- (C) 432
- (D) 96
- (E) 576
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
How to arrange 8 blocks of coloured notebooks
Barbara wants to tidy up a shelf in her bookstore, where there are two green notebooks, three blue, two yellow and one red. He wants to arrange them so that notebooks of the same color are all next to each other, with no other colors in between. How many ways can Barbara line up her eight notebooks from left to right on the shelf?
- (A) 360
- (B) 144
- (C) 432
- (D) 96
- (E) 576
Answer: E src_archimede_2023_triennio__Q05
Quale espressione e sicuramente positiva date disuguaglianze
Si sa che a < b < c < d sono numeri reali diversi da 0 e che 1 b < 1 a < 1 d < 1 c . Quale delle seguenti quantità è sicuramente positiva?
- (A) −a −2b −4c + 3d
- (B) 2a −b + 3c + 2d
- (C) −2a −3b −c + 2d
- (D) −a + 3b + 4c + 5d
- (E) a + 2b + 3c + 4d
Topic: Disuguaglianze Metodo: Analisi per casi, Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
What an expression and certainly positive given inequalities
We know that a < b < c < d are real numbers other than 0 and that 1 b < 1 a < 1 d < 1 c . Which of the following is definitely positive?
- (A) −a −2b −4c + 3d
- (B) 2a −b + 3c + 2d
- (C) −2a −3b −c + 2d
- (D) −a + 3b + 4c + 5d
- (E) a + 2b + 3c + 4d
Answer: C src_archimede_2023_triennio__Q06
Minimo numero di paggi tra 301 abitanti in cerchio
In un’isola, ciascun abitante può essere un cavaliere, che dice sempre il vero, oppure un furfante, che mente sempre, oppure un paggio, libero di mentire o dire il vero. Per le leggi dell’isola, se più di 10 persone si riuniscono, fra loro dev’esserci almeno un cavaliere. Un giorno, 301 abitanti sono disposti in cerchio ed ognuno esclama: ”vicino a me ci sono un cavaliere ed un furfante”. Quanti sono, come minimo, i paggi fra le 301 persone in cerchio?
- (A) 4
- (B) 0
- (C) 3
- (D) 2
- (E) 1
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Minimum number of wages per 301 inhabitants in a circle
On an island, every inhabitant can be a knight, who always tells the truth, or a cunning man, who always lies, or a payman, free to lie or tell the truth. According to the island’s laws, if more than 10 people gather, there must be at least one knight among them. One day, 301 inhabitants are arranged in a circle and each shouts, “There’s a knight and a con man near me”. How much is the minimum wage among the 301 people in a circle?
- (A) 4
- (B) 0
- (C) 3
- (D) 2
- (E) 1
Answer: D src_archimede_2023_triennio__Q07
Punto su sponda di biliardo per imbucare con rimbalzi
Francesco gioca su un biliardo di dimensioni 280 × 140 cm. La palla si trova nel centro del biliardo e Francesco la vuole mandare in buca nell’angolo B con una traiettoria come quella tracciata in figura (la palla rimbalza formando angoli uguali con ciascuna sponda). A quanti cm di distanza da A occorre colpire la sponda AB per realizzare la traiettoria? A B C D
- (A) 56
- (B) 64
- (C) 63
- (D) 70
- (E) 42
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Billboard edge point for bouncing *
Francesco plays on a billiards player measuring 280 × 140 cm. The ball is located in the center of the pool and Francis wants to send it into the hole in the B corner with a trajectory similar to that traced in the figure (the ball bounces forming equal angles with each edge). How many centimeters from A does it take to hit the AB shore to make the trajectory? A B C D
- (A) 56
- (B) 64
- (C) 63
- (D) 70
- (E) 42
Answer: A src_archimede_2023_triennio__Q08
Sequenze di 5 interi con abcde+15=0
Indicare quante sono le sequenze ordinate di 5 numeri interi (a, b, c, d, e) tali che a b c d e + 15 = 0.
- (A) 375
- (B) 400
- (C) 125
- (D) 320
- (E) 250
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Sequences of 5 integers with abcde+15=0
Indicate how many are the ordered sequences of 5 integers (a, b, c, d, e) such that a b c d e + 15 = 0.
- (A) 375
- (B) 400
- (C) 125
- (D) 320
- (E) 250
Answer: B src_archimede_2023_triennio__Q09
Colorazioni della striscia con multipli di 4 blu (4 colori)
Gabriele ha una striscia di carta quadrettata, con quadretti di lato 1 centimetro, lunga 2023 cm. Vuole segnare ogni tacca dei centimetri, da 0 fino a 2023, con uno dei suoi 4 pennarelli colorati (rosso, giallo, verde e blu). Farà in modo che i multipli di 4, incluso 0, siano tutti segnati di blu e che non ci siano tacche vicine dello stesso colore. In quanti diversi modi Gabriele potrà realizzare la colorazione?
- (A) 27 · 21505
- (B) 27 · 25505
- (C) 27 · 16505
- (D) 27 · 18505
- (E) 27 · 36505
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
*Trip colours with 4 blue multipliers (4 colours) *
Gabriele has a square strip of paper, with side squares of 1 centimeter, length 2023 cm. He wants to mark every inch height, from 0 to 2023, with one of his 4 colored pinheads (red, yellow, green and blue). It will make sure that the multiples of 4, including 0, are all marked in blue and that there are no nearby tiles of the same color. How many different ways will Gabriele be able to achieve the coloring?
- (A) 27 · 21505
- (B) 27 · 25505
- (C) 27 · 16505
- (D) 27 · 18505
- (E) 27 · 36505
Answer: A src_archimede_2023_triennio__Q10
Probabilita che la partita finisca 4 a 2
Tommaso e Claudia si sfidano lanciando varie volte una moneta: ogni volta che esce testa fa un punto Tommaso, quando esce croce fa un punto Claudia. Appena uno dei due arriva a 4, la partita finisce. Qual è la probabilità che la partita termini sul punteggio di 4 a 2 (per uno qualsiasi dei due)?
- (A) 15/32
- (B) 11/32
- (C) 25/64
- (D) 3/8
- (E) 5/16
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Probability of the game ending 4 to 2
Thomas and Claudia challenge each other by throwing a coin several times: each time he heads out, Thomas makes a point, when he crosses out, Claudia makes a point. As soon as one of the two gets to four, the game is over. What is the probability that the game ends on a score of 4 to 2 (for either of the two)?
- (A) 15/32
- (B) 11/32
- (C) 25/64
- (D) 3/8
- (E) 5/16
Answer: E src_archimede_2023_triennio__Q11
Angolo ACT con tangente parallela a un lato
Nel triangolo ABC, gli angoli hanno queste ampiezze: bA = 52°, “ B = 57°, “ C = 71°. La retta t, parallela al lato BC, è tangente alla circonferenza circoscritta al triangolo in un punto T dell’arco ˜ AB. Qual è l’ampiezza dell’angolo ’ ACT ? B C t T A B C T t
- (A) 6°
- (B) 8°
- (C) 7°
- (D) 10°
- (E) 9°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
ACT angle with tangent parallel to one side
In the triangle ABC, the angles have these amplitudes: bA = 52°, B = 57°, C = 71°. The straight t, parallel to the side BC, is tangent to the circumference circumscribed to the triangle at a point T of the arc AB. What is the width of the angle ACT ? B C t T A B C T t
- (A) 6°
- (B) 8°
- (C) 7°
- (D) 10°
- (E) 9°
Answer: C src_archimede_2023_triennio__Q12
Probabilita di tornare alla tana dopo 6 passi casuali
Una tartaruga fa ogni tanto una passeggiata, partendo dalla propria tana. La passaggiata è formata da tratti rettilinei di un metro, ogni volta in una direzione a caso tra Nord, Sud, Ovest, Est. Qual è la probabilità che, dopo una passeggiata di 6 metri, la tartaruga si trovi di nuovo nella tana?
- (A) 1/8
- (B) 13/128
- (C) 9/64
- (D) 9/128
- (E) 25/256
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Probability of returning to the pit after 6 random steps
A turtle occasionally takes a walk, starting from its own lair. The pass is made up of one metre straight sections, each in a random direction between North, South, West, East. What are the odds that after a six-meter walk, the turtle will find itself in the ditch again?
- (A) 1/8
- (B) 13/128
- (C) 9/64
- (D) 9/128
- (E) 25/256
Answer: E src_archimede_2023_triennio__Q13
Triangoli non scaleni con vertici di 21-gono regolare
Considerato un poligono regolare P di 21 lati, stabilire quanti sono i triangoli non scaleni che si possono costruire usando tre vertici del poligono P.
- (A) 210
- (B) 231
- (C) 196
- (D) 189
- (E) 203
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Non-scaled triangles with vertices of 21 regular zones
Considering a regular polygon P of 21 sides, determine how many non-scaling triangles can be constructed using three vertices of the polygon P.
- (A) 210
- (B) 231
- (C) 196
- (D) 189
- (E) 203
Answer: C src_archimede_2023_triennio__Q14
Quadratini attraversati dalla diagonale di rettangolo 78x114
Dopo aver disegnato un rettangolo di dimensioni 78 × 114 cm, Chiara lo suddivide in 78·114 = 8892 quadratini di 1 cm2, poi traccia una diagonale del rettangolo. Quanti quadratini vengono attraversati dalla diagonale?
- (A) 114
- (B) 186
- (C) 191
- (D) 162
- (E) 192
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Squares crossed by the diagonal of the rectangle 78x114
After drawing a rectangle measuring 78 × 114 cm, Chiara divides it into 78·114 = 8892 squares of 1 cm2, then draws a diagonal of the rectangle. How many squares do you cross from the diagonal?
- (A) 114
- (B) 186
- (C) 191
- (D) 162
- (E) 192
Answer: B src_archimede_2023_triennio__Q15
Area di quadrilatero curvilineo da quattro archi nel quadrato
Il quadrato ABCD ha lato pari a 1 dm. Quanti dm2 misura l’area del quadrilatero curvilineo EFGH, delimitato dagli archi di 4 circonferenze i cui centri sono i vertici di ABCD? F G H E F G H
- (A) 3π− √ 3 16
- (B) π− √ 3 4
- (C) √ 3 6
- (D) 1+ π 3 − √ 3
- (E) 2 − √ 3 311
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Area of four arcs curved quadrilateral in the square
The square ABCD has sides equal to 1 dm. How many dm2 does the area of the curved quadrilateral EFGH, bounded by the arcs of 4 circumferences whose centers are the vertices of ABCD, measure? F G H E F G H
- (A) 3π− √ 3 16
- (B) π− √ 3 4
- (C) √ 3 6
- (D) 1+ π 3 − √ 3
- (E) 2 − √ 3 311
Answer: D src_archimede_2023_triennio__Q16