Somma 1..2024 con un numero saltato, multiplo di 5
Quale angolo convesso formano le due lancette di un orologio alle ore 1 : 20 (supponendo che si muovano entrambe a velocità costante)?
- (A) 75°
- (B) 80°
- (C) 90°
- (D) 72°
- (E) 84°
Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
sum 1..2024 with a number skipped, multiple of 5
What convex angle do the two hands of a clock form at 1:20 (assuming they both move at a constant speed)?
- (A) 75°
- (B) 80°
- (C) 90°
- (D) 72°
- (E) 84°
Answer: B src_archimede_2024_triennio__Q01
Cavalieri e furfanti, voti di vantaggio minimo del vincitore
Roberta ha molti biglietti colorati, ciascuno contenuto dentro una bustina: si sa che 22 sono rossi, 17 verdi, 13 gialli, 20 azzurri. Prende alcune bustine a caso, senza aprirle (i colori dei biglietti non si vedono dall’esterno). Quante deve prenderne, come minimo, per essere certa di trovare almeno 3 biglietti di un colore ed altri 3 di un altro colore (diverso dal primo)?
- (A) 29
- (B) 16
- (C) 26
- (D) 25
- (E) 27
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Knights and crooks, minimum points of advantage of the winner
Roberta has many colored tickets, each contained in a pocket: 22 are red, 17 are green, 13 are yellow, 20 are blue. He picks up some pockets at random, without opening them (the colours of the tickets are not visible from the outside). How many tickets do you have to take at least to make sure you find at least 3 tickets of one color and 3 tickets of another color (different from the first)?
- (A) 29
- (B) 16
- (C) 26
- (D) 25
- (E) 27
Answer: C src_archimede_2024_triennio__Q02
Coppie (m,n) intere che risolvono n^2+2024n+2024m=2024
Carla, con molta pazienza, sta scrivendo per esteso il numero 1000300 + 759. Quante cifre dovrà scrivere in tutto?
- (A) 959
- (B) 300
- (C) 30059
- (D) 3059
- (E) 901
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Total pairs (m,n) which solve n^2+2024n+2024m=2024
Carla, with a lot of patience, is typing out the number 1000300 + 759. How many digits will he have to write in all?
- (A) 959
- (B) 300
- (C) 30059
- (D) 3059
- (E) 901
Answer: B src_archimede_2024_triennio__Q03
Triangolo rettangolo, circonferenza circoscritta, misura PA
Nel triangolo isoscele DEF, dove DE = EF, l’angolo “ E è di 32°. L’altezza uscente da D e la bisettrice uscente da F si intersecano nel punto I. Qual è l’ampiezza dell’angolo convesso ’ DIF ?
- (A) 129°
- (B) 126°
- (C) 128°
- (D) 127°
- (E) 130°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Rectangular triangle, circumscribed circumference, measurement of PA
In the isosceles triangle DEF, where DE = EF, the angle E is 32°. The height from D and the beam from F intersect at point I. What is the width of the convex angle DIF ?
- (A) 129°
- (B) 126°
- (C) 128°
- (D) 127°
- (E) 130°
Answer: C src_archimede_2024_triennio__Q04
Interi k con q(k)=0 per composizione 2024 volte di p(x)
Filippo vorrebbe scrivere sotto forma di numero decimale la frazione 8 13 . Quale cifra occuperà il millesimo posto dopo la virgola?
- (A) 6
- (B) 1
- (C) 3
- (D) 5
- (E) 8
Topic: Algebra, successioni Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
*Interi k with q(k) = 0 for composition 2024 times p(x) *
Philip would like to write in decimal form the fraction 8 13 . What number will take the thousandth place after the comma?
- (A) 6
- (B) 1
- (C) 3
- (D) 5
- (E) 8
Answer: C src_archimede_2024_triennio__Q05
Somma divisori di 18000 la cui scrittura termina per 50
Indicare qual è la somma di tutti i numeri reali x per i quali vale l’uguaglianza 2x + 1 · 4x2 −7x −10 (x3 −2)4 + 1 = 0
- (A) 0
- (B) 5 4
- (C) 7 2
- (D) 9 4
- (E) −1 2
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
sum of 18000 divisors whose writing ends in 50
Indicate the sum of all real numbers x for which the equality 2x + 1 · 4x2 −7x −10 · (x3 −2)4 + 1 = 0
- (A) 0
- (B) 5 4
- (C) 7 2
- (D) 9 4
- (E) −1 2
Answer: D src_archimede_2024_triennio__Q06
Tre punti nello spazio, esistenza P con rette perpendicolari
Elisa ha disegnato una piramide come quella qui a fianco. Nelle caselle in basso scriverà cinque numeri scelti tra 1, 2, 3, 4, 5, 6 (cinque numeri differenti, in un ordine qualsiasi). Poi riempirà le altre caselle scrivendo in ciascuna di esse la somma dei due numeri sottostanti. Qual è la differenza tra il numero più grande ed il numero più piccolo che Elisa potrebbe scrivere nella casella in cima alla piramide?
- (A) 48
- (B) 36
- (C) 32
- (D) 42
- (E) 52
Topic: Geometria solida Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Three points in space, existence of P with perpendicular lines
Elisa drew a pyramid like the one right next to it. In the boxes below, you will write five numbers chosen from 1, 2, 3, 4, 5, 6 (five different numbers, in any order). Then fill in the other boxes by writing in each of them the sum of the two numbers below. What is the difference between the largest number and the smallest number Elisa could write in the box at the top of the pyramid?
- (A) 48
- (B) 36
- (C) 32
- (D) 42
- (E) 52
Answer: C src_archimede_2024_triennio__Q07
Massimo b con forma quadratica a/x^2+b/xy+c/y^2 non negativa
Quanti sono, tra i numeri interi che vanno da 1 a 2024, quelli che sono, al tempo stesso, multipli sia di 21 che di 28, ma non sono multipli di 15?
- (A) 20
- (B) 23
- (C) 24
- (D) 21
- (E) 19
Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Maximum b with square shape a/x^2+b/xy+c/y^2 not negative
How many of the whole numbers from 1 to 2024 are simultaneously multiples of both 21 and 28, but not multiples of 15?
- (A) 20
- (B) 23
- (C) 24
- (D) 21
- (E) 19
Answer: C src_archimede_2024_triennio__Q08
Colorazioni 5x5 rosso/blu con vincolo sui lati condivisi
Giulio sta cercando i numeri interi n tali che il valore assoluto di (n −2)(n −20) sia un numero primo. Qual è la somma di tutti questi numeri n?
- (A) 36
- (B) 40
- (C) 32
- (D) 21
- (E) 44
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
5x5 colours red/blue with binding on the shared sides
Julius is looking for integers n such that the absolute value of (n −2)(n −20) is a prime number. What’s the sum of all these n numbers?
- (A) 36
- (B) 40
- (C) 32
- (D) 21
- (E) 44
Answer: A src_archimede_2024_triennio__Q09
Cifre 0 finali del massimo prodotto di interi distinti somma 2024
Paola deve reimpostare il pin del suo cellulare, costituito da una sequenza di 4 cifre (ciascuna delle quali può essere una qualsiasi cifra da 0 a 9). Per memorizzarlo, farà in modo che vi compaiano esattamente due diverse cifre. Quanti sono i possibili pin che Paola ha a sua disposizione?
- (A) 480
- (B) 560
- (C) 540
- (D) 630
- (E) 720
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Final figures 0 for the maximum product of distinct integers sum 2024
Paola has to reset her cell phone’s pin, which consists of a 4-digit sequence (each of which can be any number from 0 to 9). To memorize it, it’ll make sure you have exactly two different digits. How many pins does Paola have at her disposal?
- (A) 480
- (B) 560
- (C) 540
- (D) 630
- (E) 720
Answer: D src_archimede_2024_triennio__Q10
Inserire 1..10 in 13 caselle con vincolo di ordine verticale
Nel rettangolo ABCD, i punti E, F, G, H, I, L suddividono i lati in 2 oppure 3 parti uguali, come in figura. Le aree dei triangoli OIL, ODE, OAF (espresse in mm2) sono quelle indicate in figura. Di quanti mm2 è l’area del triangolo OGH ? O A B C D E F G H I L 14 17 11 ?
- (A) 8
- (B) 12
- (C) 9
- (D) 11
- (E) 10
Topic: Combinatoria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
Insert 1.10 in 13 vertical-ordered boxes
In the rectangle ABCD, the points E, F, G, H, I, L divide the sides into 2 or 3 equal parts, as shown in the figure. The areas of the OIL, ODE, OAF triangles (expressed in mm2) are those shown in the figure. How many mm2 is the area of the OGH triangle ? O A B C D E F G H I L 14 17 11 ?
- (A) 8
- (B) 12
- (C) 9
- (D) 11
- (E) 10
Answer: D src_archimede_2024_triennio__Q11
Area regione entro 3 dal perimetro di quadrilatero circoscritto
In un grande lago ci sono 50 isole, numerate da 2 a 51. Due diverse isole sono collegate da un ponte se e solo se uno dei rispettivi numeri divide l’altro. Per ogni isola, il relativo distretto è costituito dall’isola stessa e tutte quelle da essa raggiungibili tramite una sequenza di ponti. Quanti sono in tutto i distretti?
- (A) 6
- (B) 7
- (C) 1
- (D) 2
- (E) 5
Topic: Geometria piana Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Region area within 3 from the circumscribed quadrilateral perimeter
There are 50 islands in a large lake, numbered from 2 to 51. Two different islands are connected by a bridge if and only if one of the respective numbers divides the other. For each island, its district consists of the island itself and all those from which it can be reached by a series of bridges. How many are in all the districts?
- (A) 6
- (B) 7
- (C) 1
- (D) 2
- (E) 5
Answer: E src_archimede_2024_triennio__Q12
Area dell’unione di due esagoni regolari con diagonali coincidenti
La circonferenza ω passa per il vertice D del rettangolo ABCD ed è tangente ai lati AB e BC nei punti P e Q. I segmenti AP e CQ misurano, nell’ordine, 3 m e 4 m. Quanti m2 misura l’area del rettangolo ABCD ? A B C D P Q ω
- (A) 72
- (B) 75
- (C) 80
- (D) 84
- (E) 81
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 29 Fonte: apri PDF p.4
Area of union of two regular hexagons with parallel diagonals
The circumference ω passes through the vertex D of the rectangle ABCD and is tangent to the sides AB and BC at points P and Q. The AP and CQ segments measure, in the order, 3 m and 4 m. How many m2 does the area of the rectangle ABCD measure ? A B C D P Q ω
- (A) 72
- (B) 75
- (C) 80
- (D) 84
- (E) 81
Answer: 29 src_archimede_2024_triennio__Q13
Massimo numero di dadi a 14 facce distinti per rotazione
Sara vuole fare una camminata lungo il bordo di un parco di forma quadrata, i cui lati misurano 1 km ciascuno. Partendo da un vertice V , con un lancio di moneta sceglie casualmente in quale direzione andare e percorre un intero lato del quadrato. Ogni volta che raggiunge un vertice, fa un nuovo lancio di moneta per scegliere la direzione. Se la camminata sarà di 4 km, qual è la probabilità che si concluda proprio nel vertice V da cui era partita?
- (A) 5/16
- (B) 1/8
- (C) 1/2
- (D) 1/4
- (E) 3/8
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 26880 Fonte: apri PDF p.4
Maximum number of 14-sided dice per spin
Sara wants to take a walk along the edge of a square-shaped park, whose sides measure one kilometer each. Starting from a vertex V, with a coin toss, you randomly choose which direction to go in and walk across an entire side of the square. Every time he reaches a peak, he makes a new coin toss to choose the direction. If the walk is four kilometers, what is the probability that it will end at the very summit V from which it started?
- (A) 5/16
- (B) 1/8
- (C) 1/2
- (D) 1/4
- (E) 3/8
Answer: 26880 src_archimede_2024_triennio__Q14
a|b e a+1|b+1, dimostrazione
Alberto e Barbara fanno una gara di braccio di ferro in questo modo: all’inizio hanno entrambi 1 punto; ad ogni sfida, chi vince guadagna tanti punti quanti ne ha l’avversario in quel momento, mentre chi perde mantiene il punteggio che aveva. Dopo un certo numero di sfide, Barbara ha 9000 punti. Quale, tra i seguenti, potrebbe essere il punteggio di Alberto?
- (A) 5005
- (B) 4114
- (C) 3130
- (D) 3003
- (E) 7117
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.5
*a and a+b of the sample *
Alberto and Barbara make an iron-armed race this way: at the beginning they both have 1 point; at each challenge, the winner earns as many points as the opponent has at the time, while the loser maintains the score they had. After a number of challenges, Barbara has 9,000 points. Which of the following could be Alberto’s score?
- (A) 5005
- (B) 4114
- (C) 3130
- (D) 3003
- (E) 7117
src_archimede_2024_triennio__Q15
Triangolo, bisettrice e circonferenze, triangolo isoscele e similitudini
Considerato un trapezio PQRS, dove il lato PQ è parallelo a RS, sia T il punto della diagonale QS tale che RT sia parallelo a SP. Le aree dei triangoli QRT e RST misurano, nell’ordine, 6 e 4 m2. Quanti m2 misura l’area dell’intero trapezio PQRS ? P Q R S T 6 4
- (A) 30
- (B) 35
- (C) 32
- (D) 36
- (E) 27 311
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Triangle, bisector and circumference, isosceles triangle and similarities
Considering a PQRS trapezoid, where the PQ side is parallel to RS, T is the point of the QS diagonal such that RT is parallel to SP. The areas of the QRT and RST triangles are measured in the order of 6 and 4 m2. How many m2 is the area of the entire PQRS trapezoid ? P Q R S T 6 4
- (A) 30
- (B) 35
- (C) 32
- (D) 36
- (E) 27 311
src_archimede_2024_triennio__Q16
Suddivisione di stringhe 0/1 in blocchi, conteggio stringhe
ESERCIZIO DIMOSTRATIVO
Data una stringa di cifre 0 e 1, Giacomo vorrebbe dividerla in blocchi da 2 o 3 cifre consecutive in modo da soddisfare una delle seguenti due condizioni:
(1) in ogni blocco, ogni (eventuale) cifra 0 compare a sinistra di ogni (eventuale) cifra 1. I blocchi consentiti sono cioè ;
(2) in ogni blocco, ogni (eventuale) cifra 0 compare a destra di ogni (eventuale) cifra 1. I blocchi consentiti sono cioè .
Per esempio, per la stringa la suddivisione non va bene, perché i blocchi non sono né tutti del tipo (1), né tutti del tipo (2). La suddivisione invece va bene, perché tutti i blocchi sono del tipo (1).
(a) Siano interi maggiori o uguali a 0, con . Dimostrare che la stringa costituita da cifre 0 seguite da cifre 1 si può dividere in blocchi come affermato da Giacomo.
(b) Sia un intero. Dimostrare che il numero di stringhe di cifre 0 e 1 di lunghezza per cui Giacomo non può effettuare una suddivisione come sopra è .
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.9
Subdivision of 0/1 strings into blocks, counting of strings
This is the first time I’ve seen this.
Given a string of digits 0 and 1, Giacomo would like to divide it into blocks of 2 or 3 consecutive digits in order to satisfy one of the following two conditions:
(1) in each block, each (if any) digit 0 appears to the left of each (if any) digit 1. The blocks allowed are ;
(2) in each block, each (if any) digit 0 appears to the right of each (if any) digit 1. The blocks allowed are .
For example, for the string the subdivision is not correct, because the blocks are neither all of type (1), nor all of type (2). The subdivision is good, because all blocks are type (1).
(a) integers greater than or equal to 0, with . Show that the string consisting of digits 0 followed by digits 1 can be divided into blocks as stated by James.
(b) either as a whole. Demonstrate that the number of strings of digits 0 and 1 of length for which Giacomo not can perform a subdivision as above is .