Naturali < 1000 con somma cifre 3
Quanti sono i numeri naturali minori di 1000 nei quali la somma delle cifre è 3?
- (A) 10
- (B) 9
- (C) 8
- (D) 7
- (E) 6
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Natural < 1000 with a sum of 3 digits *
How many natural numbers are less than 1000 where the sum of the digits is 3?
- (A) 10
- (B) 9
- (C) 8
- (D) 7
- (E) 6
Answer: A src_archimede_2025_biennio_rec__Q01
Euro persi minimi pagando scarpe con buoni
Mario vuole comprare un paio di scarpe che costano 117 e, avendo a disposizione un buono acquisto da 50 e, cinque buoni da 20 e, otto da 5 e e uno da 1 e. Se il valore dei buoni supera il prezzo del prodotto, la differenza non viene rimborsata. Quanti euro del valore dei buoni andranno perduti, come minimo, per pagare interamente le scarpe con i suoi buoni acquisto?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 4
- (D) 3
- (E) 2
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Minimum losses by paying for shoes with vouchers
Mario wants to buy a pair of shoes that cost 117 and, having at his disposal a voucher for 50 and, five vouchers for 20 and, eight for 5 and and one for 1 and. If the value of the vouchers exceeds the price of the product, the difference shall not be refunded. How much of the value of the vouchers will be lost, at least, to pay for the shoes entirely with your vouchers?
- (A) 0
- (B) 1
- (C) 4
- (D) 3
- (E) 2
Answer: D src_archimede_2025_biennio_rec__Q02
Angolo D in quadrilatero con punto E e lati uguali
Nel quadrilatero convesso ABCD, si conoscono le ampiezze degli angoli interni bA = 70°e bB = 109°. Esiste inoltre un punto E sul lato DA tale che AB = AE, BC = BE, EC =ED. Qual è l’ampiezza dell’angolo bD ? A E B C D
- (A) 61°
- (B) 60°
- (C) 59°
- (D) 62°
- (E) 58°
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Angle D in a rectangle with point E and equal sides
In the convex quadrilateral ABCD, the amplitudes of the interior angles bA = 70° and bB = 109° are known. There is also a point E on the DA side such that AB = AE, BC = BE, EC = ED. What is the width of the angle bD ? A E B C D
- (A) 61°
- (B) 60°
- (C) 59°
- (D) 62°
- (E) 58°
Answer: C src_archimede_2025_biennio_rec__Q03
Massimo di a+5b con ab=12 naturali
Sapendo che a e b sono dei numeri naturali il cui prodotto è uguale a 12, quale può essere, come minimo, il valore di a + 5b?
- (A) 17
- (B) 16
- (C) 19
- (D) 15
- (E) 23
Topic: Algebra Metodo: Principio di estremalita Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Maximum of a+5b with ab=12 natural
Knowing that a and b are natural numbers whose product is equal to 12, what is the minimum value of a + 5b?
- (A) 17
- (B) 16
- (C) 19
- (D) 15
- (E) 23
Answer: B src_archimede_2025_biennio_rec__Q04
Quale espressione è certamente dispari
Se n è un qualsiasi numero intero, quale tra i seguenti è certamente dispari?
- (A) 7n3+34
- (B) 5n4+35
- (C) 7n3+45
- (D) 5n4+84
- (E) 8n3+75
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Which expression is certainly odd
If n is any integer, which of the following is certainly odd?
- (A) 7n3+34
- (B) 5n4+35
- (C) 7n3+45
- (D) 5n4+84
- (E) 8n3+75
Answer: E src_archimede_2025_biennio_rec__Q05
Area triangolo EDA in parallelogramma con E su AB
In un parallelolgramma ABCD, si prende il punto E sul lato AB in modo che BE sia il triplo di AE. Si sa che i lati AB e BC misurano, nell’ordine, 19 e 23 m e che l’area del triangolo CDE è di 180 m2. Quanti m2 misura l’area del triangolo EDA? A B C D E ?
- (A) 48
- (B) 36
- (C) 54
- (D) 45
- (E) 60
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
area of triangle EDA parallel to E on AB
In an ABCD parallelogram, take the point E on the AB side so that BE is triple AE. It is known that the sides AB and BC measure, in the order, 19 and 23 m and that the area of the CDE triangle is 180 m2. How many m2 does the area of the EDA triangle measure? A B C D E ?
- (A) 48
- (B) 36
- (C) 54
- (D) 45
- (E) 60
Answer: D src_archimede_2025_biennio_rec__Q06
Max intersezioni tra 3 circonferenze e 3 rette
Maria disegna 3 diverse circonferenze e 3 diverse linee rette. Complessivamente, quanti punti d’intersezione ci possono essere, al massimo, tra le varie linee che ha tracciato?
- (A) 24
- (B) 18
- (C) 27
- (D) 22
- (E) 21
Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Max intersections between 3 circumferences and 3 lines
Mary draws 3 different circles and 3 different straight lines. Overall, how many intersection points can there be, at most, between the various lines you have drawn?
- (A) 24
- (B) 18
- (C) 27
- (D) 22
- (E) 21
Answer: C src_archimede_2025_biennio_rec__Q07
Valore di espressione con potenze di 3 e 28
Indicare il valore di 9 + 1 3 2026 32024 3 + 1 9 2025
- (A) 28
- (B) 1
- (C) nessuno degli altri 4
- (D) 24
- (E) 1/3
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Expression value with powers of 3 and 28
Indicate the value of 9 + 1 3 2026 32024 · 3 + 1 9 2025
- (A) 28
- (B) 1
- (C) None of the other 4
- (D) 24
- (E) 1/3
Answer: A src_archimede_2025_biennio_rec__Q08
Interi 1000-3000 con cifra 7 esattamente una volta
Tra tutti i numeri interi che vanno da 1000 a 3000, quanti sono quelli nei quali la cifra 7 compare esattamente una volta?
- (A) 600
- (B) 486
- (C) 512
- (D) 450
- (E) 576
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Interies 1000-3000 with digit 7 exactly once
Of all the whole numbers from 1000 to 3000, how many of them do the number 7 appear exactly once?
- (A) 600
- (B) 486
- (C) 512
- (D) 450
- (E) 576
Answer: B src_archimede_2025_biennio_rec__Q09
Lunghezza UV tra archi nella diagonale del quadrato
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\coordinate (D) at (0,0);
\coordinate (E) at (1,0);
\coordinate (F) at (1,1);
\coordinate (G) at (0,1);
\draw (D)--(E)--(F)--(G)--cycle;
\draw (D)--(F);
\draw (G)--(E);
\draw (D) arc (270:360:1);
\draw (G) arc (90:0:1);
\node at (0.62,0.62) {$V$};
\node at (0.38,0.38) {$U$};
\node[above left] at (G) {$G$};
\node[above right] at (F) {$F$};
\node[below left] at (D) {$D$};
\node[below right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Preso un quadrato DEFG di lato 1m, si tracciano i quarti di circonferenza di centri D e F aventi per estremi gli altri due vertici del quadrato. Si traccia quindi la diagonale DF, che interseca i due archi nei punti U e V . Quanti metri misura il segmento UV ? D E F G U V
- (A) √ 2 2
- (B) √ 2−3 4
- (C) 9 16
- (D) 2− √ 2
- (E) 1 2
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
UV length between arcs in the square diagonal
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\coordinate (D) at (0,0);
\coordinate (E) at (1,0);
\coordinate (F) at (1,1);
\coordinate (G) at (0,1);
\draw (D)--(E)--(F)--(G)--cycle;
\draw (D)--(F);
\draw (G)--(E);
\draw (D) arc (270:360:1);
\draw (G) arc (90:0:1);
\node at (0.62,0.62) {$V$};
\node at (0.38,0.38) {$U$};
\node[above left] at (G) {$G$};
\node[above right] at (F) {$F$};
\node[below left] at (D) {$D$};
\node[below right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Taking a DEFG square of 1 m side, the quarters of the circumference of centers D and F with the other two vertices of the square at their extremes are plotted. The DF diagonal, which intersects the two arcs at points U and V, is then plotted. How many meters does the UV segment measure ? D E F G U V
- (A) √ 2 2
- (B) √ 2−3 4
- (C) 9 16
- (D) 2− √ 2
- (E) 1 2
Answer: D src_archimede_2025_biennio_rec__Q10
Estrazioni minime per coppia con somma 22
Una scatola contiene 20 foglietti, numerati da 1 a 20. Dario ne estrae alcuni a caso, contemporaneamente. Quanti ne deve estrarre, come minimo, per essere certo di trovare almeno una coppia di numeri la cui somma faccia 22?
- (A) 9
- (B) 11
- (C) 12
- (D) 13
- (E) 10
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Minimum extractions per pair with sum of 22
A box contains 20 sheets, numbered 1 to 20. Darius extracts a few at once. How many of them does he have to extract, at least, to make sure he finds at least one pair of numbers whose sum is 22?
- (A) 9
- (B) 11
- (C) 12
- (D) 13
- (E) 10
Answer: C src_archimede_2025_biennio_rec__Q11
Ordini d’arrivo gara cuochi con vincoli (6 cuochi)
Ad una gara di cucina partecipano 6 cuochi, indicati con A, B, C, D, E, F. Secondo le previsioni della vigilia, il cuoco A è ritenuto più bravo di B, il quale è più bravo di C, che a sua volta è più bravo di D. Si ritiene inoltre che A sia più bravo anche di E. Se tutte le previsioni venissero rispettate, supponendo non possano esservi cuochi a pari merito, quanti sarebbero i possibili ordini d’arrivo della gara?
- (A) 18
- (B) 20
- (C) 21
- (D) 16
- (E) 24
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
*Coming orders for bound cooks (6 cooks) *
Six cooks, indicated by A, B, C, D, E, F, take part in a cooking competition. According to the forecasts of the evening, the cook A is considered to be better than B, who is better than C, who in turn is better than D. It is also believed that A is better than E. If all the forecasts were met, assuming that there could be no equally qualified chefs, how many possible orders would be placed for the competition?
- (A) 18
- (B) 20
- (C) 21
- (D) 16
- (E) 24
Answer: E src_archimede_2025_biennio_rec__Q12
Probabilità MCD con 42 maggiore di 10
Elena sta giocando a tombola ed estrae un numero dal sacchetto (i numeri vanno da 1 a 90). Qual è la probabilità che il Massimo Comune Divisore tra il numero estratto ed il numero 42 risulti maggiore di 10?
- (A) 7/90
- (B) 1/9
- (C) 1/15
- (D) 4/45
- (E) 1/10
Topic: Probabilita e statistica Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Probability of MCD with 42 greater than 10
Elena’s playing dice and pulling a number out of the bag (numbers range from 1 to 90). What is the probability that the maximum common divisor between the extracted number and the number 42 is greater than 10?
- (A) 7/90
- (B) 1/9
- (C) 1/15
- (D) 4/45
- (E) 1/10
Answer: D src_archimede_2025_biennio_rec__Q13
Primi il cui quadrato divide il prodotto 31..51
Sia K = 31 · 32 · 33 · · · 50 · 51 il prodotto dei numeri interi da 31 a 51. Quanti sono i numeri primi il cui quadrato divide K? ((tenere presente che il numero 1 non è primo))
- (A) 10
- (B) 8
- (C) 7
- (D) 5
- (E) 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
First whose square divides the product 31..51
Whether K = 31 · 32 · 33 · 50 · 51 the product of integers 31 to 51. How many prime numbers are the squares of which divide K? (please note that number 1 is not prime)
- (A) 10
- (B) 8
- (C) 7
- (D) 5
- (E) 6
Answer: E src_archimede_2025_biennio_rec__Q14
Disposizioni di 3 coppie di fratelli accanto
Tre coppie di fratelli si siedono su una panchina. Ciascuno vuole stare accanto al proprio fratello. In quanti modi possono disporsi da sinistra verso destra?
- (A) 48
- (B) 45
- (C) 50
- (D) 36
- (E) 42
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Distribution of 3 pairs of siblings next to each other
Three pairs of brothers sit on a bench. Everyone wants to be by their brother’s side. How many ways can they go from left to right?
- (A) 48
- (B) 45
- (C) 50
- (D) 36
- (E) 42
Answer: A src_archimede_2025_biennio_rec__Q15
Misura PC’ da distanze di P dai lati (somma altezze)
Nel triangolo ABC i lati AB e BC misurano 10 cm, il lato CA misura 12 cm. Preso un punto P all’interno del triangolo, si tracciano da P i segmenti PA′, PB′ e PC′, perpendicolari ai lati. Le lunghezze di PA′ e PB′ sono, nell’ordine, 3 e 2 cm. Quanti cm misura il segmento PC′ ? A B C P A′ B′ C′
- (A) 4
- (B) 21/5
- (C) 39/10
- (D) 18/5
- (E) 5 411
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
*Measurement PC’ from distances of P from the sides (sum of heights) *
In the triangle ABC the sides AB and BC measure 10 cm, the CA side measures 12 cm. Taking a point P within the triangle, the segments PA′, PB′ and PC′, perpendicular to the sides, are plotted from P. The lengths of PA′ and PB′ are, in order, 3 and 2 cm. How many cm is the PC′ segment? A B C P A′ B′ C′
- (A) 4
- (B) 21/5
- (C) 39/10
- (D) 18/5
- (E) 5 411
Answer: B src_archimede_2025_biennio_rec__Q16