Numeri pari di 3 cifre con centinaia > somma altre cifre
Sigla iniziale Poco più di tre giorni di gare e di spiaggia, e poi ricomincia la scuola. Sembrerebbe davvero una grave mancanza, sprecare il tempo che vola… Potremmo: trovarci al grattacielo, farci una nuotata, a beach volley fare una schiacciata o chiederci: quanti sono i numeri pari di 3 cifre con la proprietà che la cifra delle centinaia è strettamente maggiore della somma delle cifre delle decine e delle unità? Restate qui con ϕ-neas e Ferbmat: comincia il loro show! [ MAMMA, ϕ-NEAS E FERBMAT HANNO FATTO IL PROBLEMA INIZIALE! ]
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0095 Fonte: apri PDF p.7
Numbers equal to 3 digits with hundreds > sum of other digits
A little more than three days of racing and beach, and then school starts again. It would seem like a really big loss, wasting your time flying… We could go up to the skyscraper, swim, play beach volleyball, take a nap, or ask ourselves, how many three-digit numbers are equal to the property that the number of hundreds is narrowly greater than the sum of the numbers of the tens and the units? Stay here with φ-neas and Ferbmat, their show begins! [Mom, φ-NEAS and Ferbmat have made the initial problem! ]
Answer: 0095 src_archimede_2025_squadre_finale__Q01
Massimo spigoli percorso euleriano su icosaedro
Montagne russe ϕ-neas: «Ehi Ferbmat, so cosa faremo oggi: costruiremo delle montagne russe!» (Ferbmat approva silenziosamente). ϕ-neas: «I binari sono posti sugli spigoli di un icosaedro. Il vagone partirà da un vertice e dovrà seguire un percorso che non attraversi mai due volte lo stesso spigolo, arrivando in un vertice che non necessariamente sarà quello da cui è partito». Quanti spigoli, al massimo, potrà attraversare il vagone?
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0025 Fonte: apri PDF p.7
Maximum eulerian path widths on icosahedron
Russian mountains φ-neas: Hey Ferbmat, I know what we’re going to do today: we’re going to build Russian mountains! (Ferbmat approves silently). φ-neas: The tracks are placed on the stalks of an icosahedron. The car will start from a summit and must follow a route that never crosses the same ridge twice, reaching a summit that is not necessarily the one from which it started. How many people, at most, can you get through the car?
Answer: 0025 src_archimede_2025_squadre_finale__Q02
Somma cifre di n con 2025n cifre scritte da 1 a n
Messaggio romantico Mentre ϕ-neas e Ferbmat costruiscono le montagne russe, tan(dace) è al telefono con Stauchy, che cerca di convincerla a scrivere un messaggio romantico per Jermain. tan(dace) decide quindi di scrivere tutti i numeri interi da 1 fino a un certo intero n. Per rendere il tutto ancora più speciale, vuole che, al termine della scrittura del numero n, siano state utilizzate esattamente 2025·n cifre in totale. Quanto vale la somma delle cifre di n?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2043 Fonte: apri PDF p.7
sum of n digits with 2025n digits written from 1 to n
While φ-neas and Ferbmat build the Russian mountains, tan(dace) is on the phone with Stauchy, who tries to convince her to write a romantic message for Jermain. tan(dace) then decides to write all integers from 1 to a certain integer n. To make the whole thing even more special, he wants to have exactly 2025 digits in total used at the end of the writing of number n. How much is the sum of the digits of n?
Answer: 2043 src_archimede_2025_squadre_finale__Q03
Modi di disporre 8 torri non in presa stesso colore
C.E.S.E.N.A.T.I.C.O. ϕ-neas: «Ehi, dov’è Perryodico?». Perryodico, o meglio agente π, è impegnato nella sua missione quotidiana contro il Dr. DoofenSchwartz, che è riuscito a catturarlo! Dr. DoofenSchwartz: «Ti ho preso, Perryodico l’ornitorinco… Guarda la mia ultima invenzione: si chiama Collocare Efficientemente Su Elementi Non Allineati Torri In Colori Omologhi, in breve C.E.S.E.N.A.T.I.C.O.! Essa permette di collocare 8 torri degli scacchi su una classica scacchiera 8×8, in modo che stiano tutte su caselle dello stesso colore, senza che alcuna coppia di torri si trovi sulla stessa riga o sulla stessa colonna». Neanche il tempo di finire la frase, che Perryodico riesce a liberarsi. «Sventura a te, Perryodico l’ornitorinco!» urla DoofenSchwartz. In quanti modi è possibile effettuare la collocazione? Gara a Squadre 2025 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 1/4
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1152 Fonte: apri PDF p.7
How to arrange 8 towers not in the same colour
C.E.S.E.N.A.T.I.C.O. φ-neas: Hey, where’s Periodic?. Perryodico, or rather Agentπ, is engaged in his daily mission against Dr. DoofenSchwartz, who managed to catch him! Dr. DoofenSchwartz: I’ve got you, you little orchid. Look at my latest invention: it’s called Placing Effectively On Non-Aligned Elements Towers in Homologous Colors, in short, C.E.S.E.N.A.T.I.C.O.! It allows 8 towers of chess to be placed on a classic chessboard 8×8, so that they are all on boxes of the same color, without any pair of towers being on the same row or column. Not even time to finish the sentence, which Perryodico manages to get rid of. “Fate to you, Perryodic the Ornithorn!” cries DoofenSchwartz. In how many ways can placement be made? 2025 Team Competition National Final Problem Tests 1/4
Answer: 1152 src_archimede_2025_squadre_finale__Q04
Area minima esagono su reticolo con vincoli su lati
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (8,0);
\coordinate (C) at (12,3);
\coordinate (D) at (12,9);
\coordinate (E) at (8,9);
\coordinate (F) at (0,3);
\draw[fill=gray!30] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F} \fill (\p) circle (3pt);
\node[below left] at (A) {$A=(0,0)$};
\node[below] at (B) {$B=(8,0)$};
\node[right] at (C) {$C=(12,3)$};
\node[right] at (D) {$D=(12,9)$};
\node[above] at (E) {$E=(8,9)$};
\node[left] at (F) {$F=(0,3)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}La macchina del tempo Dopo aver costruito le montagne russe, ϕ-neas e Ferbmat si mettono alla prova creando un portale che permette di viaggiare nel tempo! Hanno tracciato il progetto della loro ultima creazione su un foglio. Sul foglio è disegnato il portale, che è un esagono convesso ABCDEF, con le seguenti annotazioni: I vertici dell’esagono si trovano in punti a coordinate intere (in metri). I lati dell’esagono hanno lunghezze intere (in metri), tutte diverse tra loro. I lati opposti dell’esagono sono paralleli. L’angolo ˆA è retto. Tre lati consecutivi dell’esagono misurano, in quest’ordine, 3m, 8m e 5m. Per evitare paradossi temporali, il portale deve avere la forma dell’esagono di area minima che soddisfa tutte queste condizioni. Quanti m2 misura l’area del portale?
Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Casework accurato Area: Geometria Risposta: 0078 Fonte: apri PDF p.8
Minimum exaggeration area on the lattice with side-boundary constraints
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (8,0);
\coordinate (C) at (12,3);
\coordinate (D) at (12,9);
\coordinate (E) at (8,9);
\coordinate (F) at (0,3);
\draw[fill=gray!30] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
\foreach \p in {A,B,C,D,E,F} \fill (\p) circle (3pt);
\node[below left] at (A) {$A=(0,0)$};
\node[below] at (B) {$B=(8,0)$};
\node[right] at (C) {$C=(12,3)$};
\node[right] at (D) {$D=(12,9)$};
\node[above] at (E) {$E=(8,9)$};
\node[left] at (F) {$F=(0,3)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}After building the Russian Mountains, φ-neas and Ferbmat put themselves to the test by creating a portal that allows time travel! They drew up the design of their latest creation on a sheet of paper. On the sheet is drawn the portal, which is a convex hexagon ABCDEF, with the following annotations: The vertices of the hexagon are in points of full coordinates (in meters). The sides of the hexagon have entire lengths (in meters), all different from each other. The opposite sides of the hexagon are parallel. The angle A is straight. Three consecutive sides of the axis measure, in this order, 3m, 8m and 5m. In order to avoid time paradoxes, the portal must be in the form of a minimum area hexagon that satisfies all these conditions. How many m2 is the area of the portal?
Answer: 0078 src_archimede_2025_squadre_finale__Q05
Somma primi della forma n^4-2023n^2+1
Normale Normale è il robot umanoide costruito dal Dr. DoofenSchwartz per essere il suo assistente personale. «Il mio nome è Normale. I nemici naturali dell’ornitorinco sono l’uomo… e i numeri primi esprimibili come n4 −2023n2 +1, con n intero» afferma Normale con voce robotica. Quanto vale la somma dei numeri primi nemici degli ornitorinchi? O degli ornitorinci? O degli ornituncoli… insomma, avete capito. Quanto vale?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4051 Fonte: apri PDF p.8
Prime sum of the form n^4-2023n^2+1
Normal Normal is the humanoid robot built by Dr. DoofenSchwartz to be his personal assistant. My name is Norma. The natural enemies of the scorpion are man… and prime numbers that can be expressed as n4 −2023n2 +1, with n integer states Normal with robotic voice. How much is the sum of the prime numbers of the enemies of the ornithorhinks? Or some ornithorins? Or the little ornaments. I mean, you got it. How much is it worth?
Answer: 4051 src_archimede_2025_squadre_finale__Q06
Polinomio con p(p(x))=p(x)+x^4+x^2+1, calcolare p(2025)
Regali inaspettati Il Dr. DoofenSchwartz decide di fare una sorpresa a sua figlia. Vanasse DoofenSchwartz: «Papà, che ci fai qui?». Dr. DoofenSchwartz: «Ho una sorpresa per te. È una cosa che hai sempre desiderato e chiesto mille volte. Nelle mie mani ho la chiave della tua…». Vanasse DoofenSchwartz: «… della mia nuova macchina?!». Dr. DoofenSchwartz: «No, della tua felicità! Dicevi che se ti avessi comprato un polinomio sarei stato un padre stupendo». (Il Dr. DoofenSchwartz ha infatti acquistato un polinomio p(x) a coefficienti reali tale che p(p(x)) = p(x)+x4 +x2 +1). Quanto vale p(2025)?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0626 Fonte: apri PDF p.8
*Polynomial with p(p(x))=p(x) +x^4+x^2+1, calculated p(2025) *
Unexpected gifts from Dr. DoofenSchwartz decides to surprise his daughter. Vanasse DoofenSchwartz: “Daddy, what are you doing here?” Dr. DoofenSchwartz: I have a surprise for you. It’s something you’ve always wanted and asked a thousand times. I have the key to your… I’m going to go with you. Doofen Schwartz: of my new car? Dr. DoofenSchwartz: No, of your happiness! You said if I bought you a polynomial, I’d be a great father. (Il Dr. DoofenSchwartz has in fact acquired a polynomial p(x) with real coefficients such that p(p(x)) = p(x) +x4 +x2 +1). How much is it worth?
Answer: 0626 src_archimede_2025_squadre_finale__Q07
Massimo numero 5 cifre distinte non nulle autodivisibile
Mathside Girls Le Mathside Girls sono un gruppo di brillanti studentesse che adorano risolvere problemi di matematica in compagnia e raccogliere distintivi svolgendo ogni tipo di attività. tan(dace) vuole diventare una di loro entro domani e, per riuscirci, deve guadagnare 50 distintivi in un solo giorno! Il cinquantesimo e ultimo distintivo è quello di consegna tortine. Per ottenerlo deve consegnare n tortine, dove n è il più grande intero positivo di 5 cifre, con tutte le cifre distinte tra loro e nessuna cifra nulla, tale che sia divisibile per ciascuna delle proprie cifre. Quante sono le tortine?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8136 Fonte: apri PDF p.8
Maximum number of 5 distinct non-zero digits self-divisible
Mathside Girls The Mathside Girls are a group of brilliant female students who love solving math problems in company and collecting badges by doing all kinds of activities. She wants to be one of them by tomorrow, and to do that, she has to earn 50 medals in one day! The 50th and last badge is the cake delivery badge. To obtain this, you must deliver n cakes, where n is the largest positive integer of 5 digits, with all the digits distinct from each other and no zero digits, such that it is divisible by each of its digits. How many cakes are there?
Answer: 8136 src_archimede_2025_squadre_finale__Q08
Probabilità monete tutte uguali con mosse inverti-monet
Inverti-monet-inator Stanco dei suoi insuccessi, il Dr. DoofenSchwartz crea il potente inverti-monet-inator! Lo testa nel suo laboratorio segreto dove si trova una griglia di 2025×2025 monete, ciascuna delle quali mostra T o C con uguale probabilità, indipendentemente dalle altre. Se fra due monete T (rispettivamente C) nella stessa riga o colonna ci sono solo monete C (rispettivamente T), l’inverti-monet-inator può capovolgere tutte le C (rispettivamente T). Ad esempio, se una riga contiene la sequenza TTCCCTTCT, è possibile effettuare la mossa T(TCCCT)TCT →T(TTTTT)TCT. Qual è la probabilità che DoofenSchwartz possa far mostrare la stessa faccia a tutte le monete, azionando opportunamente l’inverti-monet-inator un numero finito di volte? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0009 Fonte: apri PDF p.8
Probability of all coins equal to reverse currency movements
Invert-coin-inator Tired of his failures, Dr. DoofenSchwartz is creating the powerful inverse-coin-inator! He heads into his secret laboratory where he finds a grid of 2025×2025 coins, each of which shows T or C with equal probability, regardless of the others. If there are only C coins (T) between two T coins (C respectively) in the same row or column, the inverter-currency-inator can reverse all C (T respectively). For example, if a row contains the TTCCCTTCT sequence, you can make the move T(TCCCT) TTT →T(TTTTT) TTTT. What is the probability that DoofenSchwartz can make all currencies show the same face, by appropriately triggering the inverter-currency-inator a finite number of times? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 0009 src_archimede_2025_squadre_finale__Q09
Triangolo rettangolo con condizione su circocentro, AC
O.W.C.A. Maggiore MonoGraham: «Curl! Non c’è un attimo di pace… Il Dr. DoofenSchwartz ha costruito un triangolo-rettangol-inator, che genera triangoli rettangoli. Contatta subito tutti gli agenti della O.W.C.A.!». Curl: «Fatto! L’agente π non è contattabile. Tuttavia, l’agente δ ha scoperto che l’ultimo triangolo ABC creato da DoofenSchwartz è rettangolo in B, e che le tangenti alla circonferenza di diametro AC in B e C si incontrano in X. L’agente α ha invece scoperto che il circocentro del triangolo BCX giace sulla circonferenza di diametro AC». Maggiore MonoGraham: «Per disattivare il macchinario non ci resta che capire quanto misurano i lati AB e AC…». Curl: «L’agente γ mi ha appena comunicato che il lato AB misura 2025 metri, signore». Quanti metri misura AC? Gara a Squadre 2025 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 2/4
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4050 Fonte: apri PDF p.8
Rectangle with condition on circus, AC
O.W.C.A. Major MonoGraham: Curl! There is no moment of peace… Il Dr. DoofenSchwartz built a triangle-rectangle-inator, which generates rectangular triangles. Contact all O.W.C.A. agents immediately! Curl: Done! The agent π is not contactable. However, agent δ discovered that the last ABC triangle created by DoofenSchwartz is a rectangle in B, and that the tangents at the circumference of diameter AC in B and C meet in X. Instead, agent α discovered that the circumcenter of the triangle BCX lies on the circumference of diameter AC. Major MonoGraham: To disable the machinery, all we have to do is understand how much the sides AB and AC measure… Curl: Agent γ just told me that the AB side is 202 feet, sir. How many feet does AC measure? 2025 Team Competition National Final Problem Tests 2/4
Answer: 4050 src_archimede_2025_squadre_finale__Q10
Da relazione su a calcolare (a^3+1)/(a+1)^3
Il problema preferito di Belljeet Impegnati nella costruzione della macchina del tempo, ϕ-neas e Ferbmat non si accorgono che Belljeet è rimasto bloccato su un albero, ma per fortuna c’è qualcuno pronto ad aiutarlo! BuFourier: «Ehi, guarda qua! Ho una calcolatrice e il tuo problema preferito di matematica! Te lo ricordi? Parla di un numero reale a tale che a2 +1 23 = (a+1)2 11 ». Belljeet: «Certo! Chiedeva di trovare il valore di a3 +1 (a+1)3». Qual è la risposta al problema preferito di Belljeet? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0040 Fonte: apri PDF p.9
As a reference to the calculator (a^3+1)/(a+1)^3
Belljeet’s favorite problem The time machine builders, φ-neas and Ferbmat don’t realize Belljeet’s stuck in a tree, but luckily there’s someone ready to help him! Hey, look at this! I have a calculator and your favorite math problem! Do you remember that? It speaks of a real number such that a2 +1 23 = (a+1)2 11 . I’m sure you will. He asked to find the value of a3 +1 (a+1)3. What’s the answer to Belljeet’s favorite problem? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 0040 src_archimede_2025_squadre_finale__Q11
Somma medie 2025,abcd minimali con 10000 giudici
Gara di surf Stufi di viaggiare nel tempo, ϕ-neas e Ferbmat decidono di costruire un’intera spiaggia… in giardino! E con una spiaggia a disposizione, cosa c’è di meglio di una gara di surf? La prova di surf di ϕ-neas viene valutata da 10000 giudici, ciascuno dei quali esprime un voto che è un intero positivo. La media aritmetica dei voti ottenuti è M = 2025,abcd dove a, b, c, d sono, in quest’ordine, le uniche cifre decimali di M dopo la virgola. ϕ-neas osserva che, se i giudici fossero stati in numero inferiore a 10000, la media non avrebbe potuto essere uguale a M. Sia S la somma di tutti i possibili valori di M che ϕ-neas potrebbe aver ottenuto. Quanto vale S? Seconda parte: «Oh, eccoti qua, Perryodico!»
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2000 Fonte: apri PDF p.9
Mean sum of 2025,abcd minimum with 10000 judges
Time-traveling fools, φ-neas and Ferbmat decide to build an entire beach… In the garden! And with a beach available, what’s better than a surfing race? The φ-neas surfing test is evaluated by 10,000 judges, each of whom expresses a vote that is a positive integer. The arithmetic mean of the grades obtained is M = 2025,abcd where a, b, c, d are, in this order, the only decimal digits of M after the comma. φ-neas observes that if the judges had been fewer than 10000, the average could not have been equal to M. Both S the sum of all possible values of M and φ-neas could have obtained. How much is S worth? Part two: Oh, there you are, Perryodic!
Answer: 2000 src_archimede_2025_squadre_finale__Q12
Ultime quattro cifre di 1^7+2^7+…+2025^7
Buongiorno agente π Maggiore MonoGraham: «Buongiorno agente π, finalmente sei arrivato! Oggi abbiamo un incarico speciale per te. Il Dr. DoofenSchwartz ha costruito l’ennesimo macchinario! Fortunatamente, il dispositivo può essere disattivato inserendo come codice le ultime quattro cifre di 17 +27 +…+20257». Agente π: «Grrrllrrrll». Quale codice dovrà inserire l’agente π per disattivare il dispositivo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5625 Fonte: apri PDF p.9
The last four digits of 1^7+2^7+…+2025
Good morning officer, you’re finally here! We have a special assignment for you today. Il Dr. DoofenSchwartz has built the last machine! Fortunately, the device can be disabled by entering the last four digits of 17 +27 +…+20257 as code. This is the total amount of the contribution from the Union to the programme. What code will the agent π have to enter to disable the device?
Answer: 5625 src_archimede_2025_squadre_finale__Q13
Distanza BC da AE, AD, DM (mediana, bisettrice, altezza)
Sistema di tubi Come riesce Perryodico l’ornitorinco ad affrontare così tante missioni in così poco tempo? Per muoversi rapidamente tra la casa di ϕ-neas e Ferbmat (punto A), il quartier generale (punto B) e il laboratorio di DoofenSchwartz (punto C), Perryodico utilizza un elaborato sistema di tubi segreti. I tre punti chiave A, B, C formano un triangolo acutangolo. Per velocizzare ulteriormente gli spostamenti, Perryodico considera anche tre stazioni intermedie M, D, E, che sono rispettivamente il punto medio di BC, il piede della bisettrice uscente da A e il piede dell’altezza uscente da A. Sapendo che AE = 960m, AD = 1200m e DM = 1600m, quanti metri distano il quartier generale e il laboratorio di DoofenSchwartz?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4800 Fonte: apri PDF p.9
Distance BC from AE, AD, DM (median, biset, height)
How does the perryodic ornitorrinc cope with so many missions in such a short time? To move quickly between φ-neas’ house and Ferbmat (point A), headquarters (point B) and DoofenSchwartz’s lab (point C), Perryodico uses an elaborate system of secret pipes. The three key points A, B, C form an acute triangle. To further speed up the movements, Perryodico also considers three intermediate stations M, D, and E, which are respectively the middle point of BC, the foot of the beetle coming out of A and the foot of the height coming out of A. Knowing that AE = 960m, AD = 1200m and DM = 1600m, how many meters away are DoofenSchwartz’s headquarters and lab?
Answer: 4800 src_archimede_2025_squadre_finale__Q14
Differenza aree con triangolo simmetrico rispetto incentro
Danville Grazie al sistema di tubature, Perryodico l’ornitorinco arriva al laboratorio del Dr. DoofenSchwartz, che ha già creato una nuova invezione, l’invert-inator: quando viene puntato su un triangolo, crea il triangolo simmetrico a quello di partenza rispetto al proprio incentro. DoofenSchwartz vuole utilizzarlo sulla città di Danville, che ha la forma di un triangolo ABC di lati lunghi 13, 14 e 15km, per creare una nuova città, Ellivnad (un triangolo A′B′C′), perfettamente simmetrica di Danville rispetto all’incentro di Danville. Per sventare il piano, l’agente π deve calcolare la differenza, in km2, tra l’area del poligono convesso AC′BA′CB′ e l’area dell’intersezione tra Ellivnad e Danville. Quale valore deve trovare l’agente π per sventare il piano?
Topic: Geometria piana Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0112 Fonte: apri PDF p.9
Different areas with a symmetrical triangle to the centre
Thanks to the piping system, the orchid arrives at Dr. DoofenSchwartz, who has already created a new inversion, the inverter-inator: when it is pointed at a triangle, it creates the triangle symmetrical to the starting triangle relative to its center. DoofenSchwartz wants to use it on the town of Danville, which has the shape of an ABC triangle of 13, 14 and 15km long sides, to create a new town, Ellivnad (a triangle A′B′C′), perfectly symmetrical to Danville compared to the center of Danville. To unravel the plan, the agent π must calculate the difference, in km2, between the area of the convex polygon AC′BA′CB′ and the area of the intersection between Ellivnad and Danville. What value must the agent π find to defeat the plan?
Answer: 0112 src_archimede_2025_squadre_finale__Q15
Triangoli equiarea iterati 1000a/b, ultimo bastoncino
L’aiuola perfetta [⋆] ϕ-neas e Ferbmat vogliono costruire un’aiuola triangolare per metterci della sabbia. ϕ-neas prende un primo bastoncino da 15cm, Ferbmat uno da 13cm e IsAbel un terzo bastoncino da 14cm. Anche se il triangolo così ottenuto ha proprio l’area giusta per metterci la sabbia che hanno a disposizione, ϕ-neas non è soddisfatto. Chiede allora un quarto bastoncino che formi con gli ultimi due un nuovo triangolo, diverso da quello precedente, ma avente la stessa area. Per effetto del passaparola arrivano uno dopo l’altro 2025 bastoncini oltre ai tre iniziali: ogni volta il nuovo arrivato viene abbinato con gli ultimi due, mentre il bastoncino più vecchio viene scartato. I 2026 triangoli così provati sono tutti diversi, ma equivalenti: l’ultimo finalmente soddisfa ϕ-neas. Dette a la lunghezza dell’ultimo bastoncino che rende ϕ-neas soddisfatto e b la lunghezza del penultimo scartato, quanto vale 1000· a b? Gara a Squadre 2025 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 3/4
Topic: Geometria piana Metodo: monovarianti Area: Geometria Risposta: 6854 Fonte: apri PDF p.9
Iterated equilateral triangles 1000a/b, last rod
The perfect f-neas and Ferbmat want to build a triangular f-neas to put sand in. φ-neas takes a first 15cm stick, Ferbmat one 13cm and IsAbel a third 14cm stick. Even if the triangle thus obtained has the right area to put the sand they have at their disposal, φ-neas is not satisfied. He then asks for a fourth rod that forms a new triangle with the last two, different from the previous one, but having the same area. As a result of word-of-mouth, one after another 2025 sticks are added to the initial three: each time the newcomer is paired with the last two, while the older stick is discarded. The 2026 triangles thus tested are all different, but equivalent: the last finally satisfies φ-neas. Given the length of the last rod that satisfies φ-neas and b the length of the penultimate discarded, how much is 1000· a b? 2025 Team Competition National Final Problem Tests 3/4
Answer: 6854 src_archimede_2025_squadre_finale__Q16
Caselle reticolo toccate da circonferenza raggio 2025
Il compasso più grande del mondo IsAbel torna a far visita a ϕ-neas e Ferbmat. IsAbel: «Ehi, ragazzi. Che state facendo?». ϕ-neas: «Stiamo costruendo il compasso più grande del mondo!» (Ferbmat disegna per terra una griglia infinita con caselle quadrate di lato 1m e poi ϕ-neas posiziona la punta fissa del compasso in un vertice della griglia). ϕ-neas: «Ora traccio una circonferenza di raggio 2025m e coloro di rosso le caselle che hanno almeno un punto in comune con la circonferenza tracciata dal compasso (anche solo sul bordo della casella)». Quante caselle ha colorato di rosso ϕ-neas?
Topic: Geometria analitica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Metodo delle coordinate Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 6220 Fonte: apri PDF p.10
Radio-circumference-touched lattice shafts 2025
The world’s largest compass IsAbel returns to visit φ-neas and Ferbmat. - Hey, you guys. What are you doing? φ-neas: We’re building the world’s largest compass! (Ferbmat draws an infinite grid on the ground with square boxes of side 1m and then φ-neas places the fixed tip of the compass on a top of the grid). φ-neas: Now I draw a radius circumference of 2025m and those in red the boxes that have at least one point in common with the circumference drawn by the compass (even only on the edge of the box). How many boxes did you dye red with φ-neas?
Answer: 6220 src_archimede_2025_squadre_finale__Q17
|x+y| con x^2+3xy+5y^2=3149 e |x|,|y|<=40
Sfida matematica [⋆] Dopo che Belljeet è riuscito a scendere dall’albero, ϕ-neas e Ferbmat propongono a lui e a BuFourier una sfida. ϕ-neas: «Dovete scegliere ciascuno un numero intero il cui valore assoluto sia minore o uguale a 40. Vincerete se i due numeri scelti, che chiameremo x e y, rispettano la condizione scritta sulla lavagna». (Nel frattempo, Ferbmat ha scritto sulla lavagna x2 +3xy +5y2 = 3149). Belljeet: «Ho già calcolato quanto varrà |x+y| nel caso in cui dovessimo vincere!». Che numero ha calcolato Belljeet?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0007 Fonte: apri PDF p.10
- x^2+3xy+5y^2=3149 and
After Belljeet managed to get off the tree, φ-neas and Ferbmat propose a challenge to him and BuFourier. φ-neas: You must each choose an integer whose absolute value is less than or equal to 40. You’ll win if the two numbers you choose, which we’ll call x and y, meet the condition written on the board. (Meanwhile, Ferbmat wrote on the board x2 +3xy +5y2 = 3149). Belljeet: I’ve already calculated how much it’ll be worth in case we win! What number did Belljeet calculate?
Answer: 0007 src_archimede_2025_squadre_finale__Q18
Modi 8 torri non in presa 4 bianche 4 nere
C.E.S.E.N.A.T.I.C.N.O. Poiché l’invenzione C.E.S.E.N.A.T.I.C.O. si è rivelata un fallimento, il Dr. DoofenSchwartz ha deciso di perfezionarla per lanciare un’ultima sfida a Perryodico l’ornitorinco. Nasce così C.E.S.E.N.A.T.I.C.N.O., ovvero Collocare Efficientemente Su Elementi Non Allineati Torri In Colori Non Omologhi. A differenza della versione precedente, questa nuova invenzione permette di collocare 8 torri degli scacchi su una classica scacchiera 8×8, in modo che 4 siano su caselle bianche e 4 su caselle nere, senza che alcuna coppia di torri si trovi sulla stessa riga o sulla stessa colonna. In quanti modi è possibile effettuare questa collocazione?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0736 Fonte: apri PDF p.10
Mode 8 towers not included 4 white 4 black
C.E.S.E.N.A.T.I.C.N.O. Because the C.E.S.E.N.A.T.I.C.O. It turned out to be a failure. DoofenSchwartz decided to perfect it to launch a final challenge to Perryodic the Ornithorynco. This gives rise to C.E.S.E.N.A.T.I.C.N.O., which is to effectively place on non-aligned elements towers in non-homologous colors. Unlike the previous version, this new invention allows 8 chess towers to be placed on a classic 8×8 chessboard, so that 4 are on white boxes and 4 on black boxes, without any pair of towers on the same row or column. How many ways can this be done?
Answer: 0736 src_archimede_2025_squadre_finale__Q19
10000 volte prodotto radici reali di 16x^4-16x^3-4x+1
Radici re(g)ali L’estate sta finendo e ϕ-neas e Ferbmat hanno appena costruito una macchina capace di calcolare il prodotto delle radici reali di un polinomio. Per testarla, decidono di inserire il polinomio p(x) = 16x4 −16x3 −4x+1. Mentre la macchina sta elaborando il risultato, BuFourier esclama: «Radici reali? Allora devono avere una corona o qualcosa del genere, no?». (Improvvisamente, da un angolo del giardino compare Perryodico l’ornitorinco). ϕ-neas: «Oh, eccoti qua, Perryodico!». Detto r il risultato calcolato dalla macchina, quanto vale 10000·r?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2500 Fonte: apri PDF p.10
*10000 times real root product of 16x^4-16x^3-4x+1 *
Summer is coming to an end and φ-neas and Ferbmat have just built a machine capable of calculating the product of the real roots of a polynomial. To test it, they decide to insert the polynomial p(x) = 16x4 −16x3 −4x+1. While the machine is processing the result, BuFourier exclaims: Real radicals? So they must have a crown or something, right? (Suddenly, from a corner of the garden appears the Periodic ornitorinic). Oh, there you are, perryodic! Given the result calculated by the machine, what is the value of 10000?
Answer: 2500 src_archimede_2025_squadre_finale__Q20
Volume tetraedro da volumi di sotto-tetraedri
L’ultimo giorno d’estate [⋆] ϕ-neas: «È arrivato l’ultimo giorno d’estate, per cui dobbiamo creare un’opera memorabile! Che ne dici di un Tetraedro Gigante ABCD?». (Ferbmat fa cenno di sì e si mette al lavoro, segnando i punti X, Y , Z e W rispettivamente sugli spigoli AB, BC, CD e AD). ϕ-neas: «Perfetto! I piani ABZ, BCW, CDX e DAY passano tutti per uno stesso punto, proprio come da progetto». (tan(dace) prende il telefono e chiama la mamma). tan(dace): «Mammaaa! ϕ-neas e Ferbmat stanno costruendo un tetraedro gigante in giardino. Ti giuro, si vede chiaramente che i tetraedri AXCD e ABY D hanno volume rispettivamente di 1980 e 2070m3, mentre i tetraedri ABCZ e ABCW hanno volume uguale!». (La mamma arriva di corsa… ma, ovviamente, trova davanti a sé il solito giardino). Quanti m3 misura il volume del Tetraedro Gigante? Gara a Squadre 2025 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 4/4
XXVI Gara Nazionale a Squadre Finale Nazionale – Sabato 10 Maggio 2025 Ministero dell’Istruzione e del Merito Soluzioni Nr. Problema
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4050 Fonte: apri PDF p.10
*Volume of sub-tetrahedron by volume of sub-tetrahedron *
The last day of summer [⋆] φ-neas: The last day of summer has arrived, so we must create a memorable work! How about a giant tetrahedron ABCD? (Ferbmat signs yes and gets to work, marking the points X, Y, Z and W respectively on the AB, BC, CD and AD pins). I’m not going to say anything. The ABZ, BCW, CDX and DAY plans all go through the same point, just like project. (tan(dace) he takes the phone and calls his mom. I’m going to tell you something. φ-neas and Ferbmat are building a giant tetrahedron in the garden. I swear, you can clearly see that the AXCD and ABY D tetrahedra have volumes of 1980 and 2070m3 respectively, while the ABCZ and ABCW tetrahedra have the same volume! (Mommy comes running… But, of course, he finds the usual garden in front of him. How many cubic meters does the volume of the Giant Tetrahedron measure? Team competition 2025 National final Problem texts 4/4
XXVI National Final Team Competition Saturday 10 May 2025 Ministry of Education and Merit Solutions Nr. The problem
Answer: 4050 src_archimede_2025_squadre_finale__Q21