Conta interi a 3 cifre con scambio cifre differenza 18
Missione che conta L’agente segreto James Bound ha appena completato brillantemente l’ultima missione affidatagli. In essa doveva contare quanti sono i numeri interi positivi di esattamente tre cifre tali che, scambiando tra loro la seconda e la terza cifra contate da sinistra, la differenza (in valore assoluto) tra il numero di partenza e il numero ottenuto con lo scambio sia pari a 18. Quanti ne ha contati? Ad esempio, 331 e 313 vanno bene perché |331−313| = 18 e vanno contati come distinti.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0144 Fonte: apri PDF p.1
*Tri-digit integer with exchange of 18 digits difference *
Secret agent James Bound has just brilliantly completed his last assignment. In it he had to count the number of positive integers of exactly three digits such that, exchanging between them the second and third digits counted from the left, the difference (in absolute value) between the starting number and the number obtained by the exchange is equal to 18. How many did you count? For example, 331 and 313 are good because ∙331−313 is equal to 18 and should be counted as distinct.
Answer: 0144 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q01
Somma quadrati pari meno quadruplo somma quadrati
Licenza di… Bound ha numero identificativo 007, dove il doppio zero significa “licenza di risolvere”. Ha acquisito tale identificativo sommando i quadrati dei primi 30 numeri interi positivi pari e sottraendo da questi il quadruplo della somma dei quadrati dei primi 29 numeri interi positivi. Quanto ha ottenuto?
Topic: Algebra Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 3600 Fonte: apri PDF p.1
Sum of squares equal to less four times sum of squares
License of… Bound has the identification number 007, where double zero means license to solve. He obtained this identifier by adding the squares of the first 30 positive integers equal and subtracting from them four times the sum of the squares of the first 29 positive integers. How much did you get?
Answer: 3600 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q02
Regioni in un quadrato con perpendicolari da 40 punti
Dividendo La direttrice del MI(6), meglio nota come N, attende che l’agente Bound torni e faccia rapporto. Nel mentre disegna un quadrato, sceglie un punto all’interno e traccia le perpendicolari ai lati del quadrato passanti per quel punto. Sceglie poi un secondo punto, che non sia sulle perpendicolari già tracciate, e traccia le perpendicolari ai lati passanti per il secondo punto. Ripete questa operazione, sempre scegliendo punti non su segmenti già tracciati, fino a che ha tracciato le perpendicolari dal 40-esimo punto. Quante regioni si sono formate nel quadrato?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 1681 Fonte: apri PDF p.1
Regions in a square with perpendiculars of 40 points
Dividing The Director of MI6), better known as N, waits for Agent Bound to come back and report. While drawing a square, he chooses a point inside and traces the perpendiculars to the sides of the square passing through that point. It then chooses a second point, which is not on the perpendiculars already drawn, and draws the perpendiculars to the passing sides for the second point. Repeat this operation, always choosing points not on already mapped segments, until you have mapped the perpendiculars from the 40th point. How many regions have formed in the square?
Answer: 1681 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q03
Pentagono con quadrato e triangolo isoscele, trovare AE
Logo malvagio L’acerrimo nemico di James Bound, e dell’umanità, è un’organizzazione nota come SPECTRAL THEOREM. Il suo logo è un pentagono convesso ABCDE, tale che ABCD sia un quadrato di lato 10 e ADE sia un triangolo isoscele (con base AD). Sapendo che l’area del triangolo BDE è pari a 17 32 dell’area di ABCDE, quanto vale AE?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0013 Fonte: apri PDF p.1
Pentagon with square and triangle isosceles, find AE
The last enemy of James Bound, and of humanity, is an organization known as SPECTRAL THEOREM. Its logo is a convex pentagon ABCDE, such that ABCD is a square of side 10 and ADE is an isosceles triangle (based on AD). Knowing that the area of the triangle BDE is equal to 17 32 of the area of ABCDE, how much is AE?
Answer: 0013 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q04
Coppie con resti distinti dividendo per 2..100
L’inizio della collaborazione Talvolta James Bound si avvale della collaborazione dell’agente segreto francese René Mathieu. La prima volta fu quando insieme risolsero il seguente quesito: in quanti modi si possono scegliere due numeri tra 1 e 100 tali che, divisi per ogni numero tra 2 e 100, diano sempre resti distinti?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0099 Fonte: apri PDF p.1
Pairs with distinct remains divided by 2,100
James Bound sometimes makes use of the collaboration of French secret agent René Mathieu. The first time was when together they solved the following question: How many ways can two numbers between 1 and 100 be chosen that, divided by each number between 2 and 100, always give distinct remains?
Answer: 0099 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q05
2025-esimo intero con somma cifre divisibile per 10
Auto scattanti L’agente segreto Bound, si sa, ha una predilezione per le Aston Martin Gardner. Ora guida l’ultimo modello, la cui potenza è esagerata! Scrivendo in ordine crescente tutti gli interi positivi la cui somma delle cifre sia divisibile per 10, il numero di cavalli dell’auto sarebbe uguale al 2025-esimo numero scritto. Quanti cavalli ha l’auto?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0251 Fonte: apri PDF p.1
2025th integer with digits divisible by 10
Secret agent Bound, you know, has a crush on the Aston Martin Gardners. Now he drives the latest model, whose power is exaggerated! Writing in increasing order all positive integers whose sum of digits is divisible by 10, the number of horses in the car would be equal to the 2025th written number. How many horses does the car have?
Answer: 0251 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q06
Minimo turni per banco con k^2+kn uguale a 6384
Gioco d’azzardo Per questioni di lavoro, James Bound si reca spesso al casinò matematico. Il gioco che sta osservando in questo momento inizia con k2 dollari sul banco, con k intero positivo. Ad ogni turno si aggiungono sul banco k dollari (ad esempio dopo il primo turno ci sono k2 +k dollari). Qual è il minimo numero di turni dopo il quale sul banco ci sono esattamente 6384 dollari?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0008 Fonte: apri PDF p.1
Minimum turn per bench with k^2+kn equal to 6384
For business reasons, James Bound often goes to the math casino. The game you’re watching right now starts with k2 dollars on the bench, with k positive. At each turn, k dollars are added to the bank (for example, after the first round there are k2 + k dollars). What’s the minimum number of shifts after which there’s exactly $6,384 on the bench?
Answer: 0008 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q07
Area triangolo ABC con circonferenza e rapporti dati
Area d’entrata L’accesso al casinò matematico è esclusivo e riservato agli agenti segreti matematici. All’ingresso sono disegnati una circonferenza di raggio 15, un suo diametro BC e un punto A esterno alla circonferenza. La circonferenza interseca i segmenti AB e AC rispettivamente in D ed E. È noto che BD = 1 3AB e CE = 1 4AC. Per entrare al casinò, bisogna dire quanto vale l’area di ABC. Qual è la risposta? Gara a Squadre 2025 – Semifinale 1 – Testi dei problemi – 1/2
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0540 Fonte: apri PDF p.1
Area ABC triangle with circumference and data ratios
Access to the mathematical casino is exclusive and reserved for mathematical secret agents. At the entrance a circumference of 15 radii, its diameter BC and an outer point A to the circumference are drawn. The circumference intersects segments AB and AC in D and E respectively. BD = 1 3AB and CE = 1 4AC are known. To enter the casino, you have to say how much the ABC area is worth. What’s the answer? Team competition 2025 Semifinal 1 Problem tests 1/2
Answer: 0540 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q08
Probabilità solitario figurine bloccato su griglia 2x3
Solitario finito male Il leader della SPECTRAL THEOREM (per tutti: il cattivo) gioca ad un solitario con il suo gattone bianco sulle gambe. Deve inserire in ogni casella di una griglia 2×3, inizialmente vuota, una figurina che lo raffigura a capo del mondo (le figurine sono tutte uguali). La prima figurina viene posizionata casualmente; dalla seconda in poi il leader sceglie casualmente una casella che abbia almeno un vertice in comune con la casella in cui ha inserito la figurina precedente. Dopo aver inserito alcune figurine, ma non tutte, il leader si rende conto che non ci sono più caselle adiacenti a quella scelta subito prima. Infastidito, il gatto se ne va. Qual era la probabilità che il gatto se ne andasse? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Teoria dei grafi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0064 Fonte: apri PDF p.2
Lonely probability of figures locked on a 2x3 grid
The leader of the SPECTRAL THEOREM plays a loner with his white cat on his legs. He must insert in each box of a grid 2×3, initially empty, a figure representing him at the head of the world (the figures are all the same). The first figure is placed randomly; from the second the leader randomly chooses a box that has at least one vertex in common with the box in which he placed the previous figure. After inserting a few figures, but not all, the leader realizes that there are no boxes adjacent to that choice right away. He’s upset, the cat’s leaving. What was the probability that the cat would leave? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 0064 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q09
Triangoli rettangoli con area uguale a 5 volte perimetro
Spie innamorate Anche James Bound è stato innamorato! In gioventù ha conosciuto la matematica Vesper Lynear, che lo ha conquistato risolvendo quasi all’istante il seguente quesito: quanti sono i triangoli rettangoli fra loro non congruenti, con lunghezze dei cateti intere positive e che hanno aree numericamente uguali a 5 volte il loro perimetro?
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0006 Fonte: apri PDF p.2
Rectangular triangles with an area equal to 5 times the perimeter
Spies in love. Even James Bound has been in love! As a young man, he met Vesper Lynear, a mathematician who conquered him by solving almost instantly the following question: how many non-conforming rectangular triangles are there, with lengths of positive whole catheters and having areas numerically equal to 5 times their perimeter?
Answer: 0006 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q10
Coppie (n,d) con condizione su divisori primi
Informatori e depistatori James deve districarsi tra gli indizi dei veri informatori e quelli dei depistatori. Gli indizi a lui forniti sono tutti diversi e sono tutte le possibili coppie di numeri naturali (n,d) dove n è un numero a due cifre e d ̸= 1 è un suo divisore. James è riuscito a capire che gli indizi veri si possono scovare calcolando il prodotto tra n e d diviso per il prodotto dei divisori primi di n e il prodotto dei divisori primi di d: (n,d) è un vero indizio solo se questa operazione dà come risultato n. Quanto vale la somma di tutti gli n+d degli indizi veri?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0578 Fonte: apri PDF p.2
Couples (n,d) with condition on prime divisors
Whistleblowers and trackers James needs to distinguish between the clues of the real whistleblowers and those of the trackers. The clues given to him are all different and are all possible pairs of natural numbers (n,d) where n is a two-digit number and d =1 is its divisor. James was able to understand that the true indices can be obtained by calculating the product of n and d divided by the product of the prime divisors of n and the product of the prime divisors of d: (n,d) is a true indication only if this operation gives the result n. How much is the sum of all the n+d of the true indices?
Answer: 0578 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q11
Probabilità esattamente due agenti dicono verità con dado
Spie da poker face Nel mondo degli agenti segreti non ci si può mai fidare di nessuno. In una stanza ci sono 6 agenti segreti e un dado equo a 6 facce, numerate con gli interi da 0 a 5 (compresi). Ciascun agente, in ordine, lancia il dado ed esclama: «Prima di me, esattamente k agenti hanno detto la verità!», dove k è il risultato del lancio del dado. Qual è la probabilità che esattamente due di loro dicano la verità? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Probabilita e statistica, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8677 Fonte: apri PDF p.2
Probability of exactly two agents telling the truth with dice
In the world of secret agents, you can never trust anyone. In a room there are 6 secret agents and a six-sided dice, numbered with integers from 0 to 5 (included). Each agent, in order, throws the dice and exclaims: Before me, exactly k agents told the truth!, where k is the result of throwing the dice. What is the probability that exactly two of them are telling the truth? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 8677 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q12
Due circonferenze intersecanti, prodotto AX·YD
Circonferenze per trappola Bound e Mathieu vogliono ideare una trappola per catturare un adepto della SPECTRAL THEOREM. Per mimare la situazione, disegnano sul pavimento due circonferenze: Γ di centro O e raggio 4m, e ∆di centro O′ e raggio R > 4m. Le due circonferenze si intersecano in A e B, il segmento OO′ interseca Γ in C, mentre la retta OB interseca ∆in B e D. Bound si accorge che i segmenti CO′ e AD si intersecano, e si mette proprio nel loro punto di intersezione X, mentre Mathieu si mette in un punto Y sul segmento DX. Detta F l’intersezione di Y C con Γ distinta da C, risulta che
Y FO =
DOX e XO′ = 3m. Perché la trappola sia infallibile, Bound e Mathieu devono determinare il valore (in metri quadri) del prodotto AX ·Y D. Quanto vale tale prodotto?
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0012 Fonte: apri PDF p.2
Two intersecting circles, product AX·YD
Bound and Mathieu want to devise a trap to capture a spectral theorist. To mimic the situation, two circumferences are drawn on the floor: Γ of centre O and radius 4m, and ∆ of centre O′ and radius R > 4m. The two circumferences intersect in A and B, the segment OO′ intersects Γ in C, while the straight OB intersects ∆in B and D. Bound notices that the segments CO′ and AD intersect, and puts himself right at their intersection point X, while Mathieu puts himself at a Y point on the segment DX. If the intersection of Y C with Γ is distinct from C, then \ Y FO = \ DOX and XO′ = 3m. For the trap to be infallible, Bound and Mathieu must determine the value (in square metres) of the product AX ·Y D. How much is that product worth?
Answer: 0012 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q13
Operazione star iterata su razionali da 2 a 99
La spia che mi amava Inaspettatamente, Vesper Lynear ha spezzato il cuore di James Bound. Egli aveva definito l’operazione ⋆sui numeri razionali in questo modo: per ogni x,y razionali positivi, x⋆y = x+y 1+(xy). Aveva poi impostato come codice della propria cassaforte il risultato di (…((2 ⋆3) ⋆4)…) ⋆99, ma una volta aperta aveva scoperto che Vesper aveva trafugato il contenuto e se n’era andata. Che risultato ha inserito Vesper? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Algebra, successioni Metodo: Somme telescopiche Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 9900 Fonte: apri PDF p.2
Operation to be iterated on rational numbers from 2 to 99
The spy who loved me Unexpectedly, Vesper Lynear broke James Bound’s heart. He had defined the operation ⋆his rational numbers this way: for every positive rational x,y, x⋆y = x+y 1+xy). He had then set the result of (…(((2 ⋆3) ⋆4)…) ⋆99 as the code of his safe, but once he opened it he discovered that Vesper had stolen the contents and had gone. What result did Vesper put in? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 9900 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q14
Primi p,q con pq=83333, calcolare p+2q
Accesso al quartier generale Il quartier generale del MI(6), come tutti i servizi segreti, ha un ingresso la cui porta si apre inserendo un codice. Esso è uguale al risultato di p+2q, dove p e q sono numeri primi, con p < q tali che pq = 83333. Quale codice va inserito per aprire la porta?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1165 Fonte: apri PDF p.2
Primes p,q with pq=83333, calculate p+2q
Access to the headquarters The headquarters of the MI6), like all intelligence services, has an entrance whose door is opened by entering a code. It is equal to the result of p+2q, where p and q are prime numbers, with p < q such that pq = 83333. What code do you need to enter to open the door?
Answer: 1165 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q15
Volume di un antiprisma quadrato lato 10 altezza 30
La morte può attendere Il cattivo pregusta il dominio sul mondo dopo aver rinchiuso James Bound in una cella a forma di antiprisma quadrato. Senza squadre né compasso, non può misurare i lati. Inaspettatamente, il gatto bianco del cattivo si rivela quale agente segreto del MI(6) e comunica a Bound che la cella ha lato di base lungo 10m e altezza 30m, consentendogli di liberarsi. Il cattivo commenta laconico: «Chi avrebbe mai detto che un animale domestico fosse un agente segreto!?». Qual è il volume (in m3) della cella? Si ricorda che un antiprisma quadrato è un poliedro che ricorda un prisma quadrato, ma in cui una delle basi viene ruotata di 45 gradi attorno all’asse del prisma. Di conseguenza, la superficie laterale non è composta da quattro rettangoli, bensì da otto triangoli isosceli, i cui lati sono formati collegando ciascun vertice delle basi ai due più vicini vertici dell’altra base. Gara a Squadre 2025 – Semifinale 1 – Testi dei problemi – 2/2
XXVI Gara Nazionale a Squadre Semifinale 1 – Venerdì 9 Maggio 2025 Ministero dell’Istruzione e del Merito Soluzioni Nr. Problema
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 3414 Fonte: apri PDF p.2
Volume of a square antibody side 10 height 30
Death can wait for the evil wizard to rule the world after locking James Bound in a cell shaped like a square prism. Without teams or a compass, he can’t measure the sides. Unexpectedly, the villain’s white cat turns out to be an MI6 secret agent and informs Bound that the cell has a base side 10m long and 30m high, allowing him to free himself. The bad guy comments laconically: Who would have thought a pet was a secret agent!?. What is the volume (in m3) of the cell? A square prism is a polyhedron that resembles a square prism, but in which one of the bases is rotated 45 degrees around the prism’s axis. Consequently, the lateral surface is not composed of four rectangles, but of eight isosceles, the sides of which are formed by connecting each vertex of the bases to the two nearest vertices of the other base. Team competition 2025 Semi-final 1 Problem tests 2/2
XXVI National Semifinal Team Competition 1 Friday 9 May 2025 Ministry of Education and Merit Solutions Nr. The problem
Answer: 3414 src_archimede_2025_squadre_semifinale1__Q16