Colorazioni griglia 3x3 con numero dispari di verdi per riga/colonna
Quale angolo convesso formano le due lancette di un orologio alle ore 1 : 20 (supponendo che si muovano entrambe a velocità costante)?
- (A) 75°
- (B) 80°
- (C) 90°
- (D) 72°
- (E) 84°
Topic: Combinatoria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
3x3 grid colours with odd number of greens per row/column
What convex angle do the two hands of a clock form at 1:20 (assuming they both move at a constant speed)?
- (A) 75°
- (B) 80°
- (C) 90°
- (D) 72°
- (E) 84°
Answer: D src_archimede_2025_triennio__Q01
Coordinate della formica dopo 2025 giorni di passi a spirale
Roberta ha molti biglietti colorati, ciascuno contenuto dentro una bustina: si sa che 22 sono rossi, 17 verdi, 13 gialli, 20 azzurri. Prende alcune bustine a caso, senza aprirle (i colori dei biglietti non si vedono dall’esterno). Quante deve prenderne, come minimo, per essere certa di trovare almeno 3 biglietti di un colore ed altri 3 di un altro colore (diverso dal primo)?
- (A) 29
- (B) 16
- (C) 26
- (D) 25
- (E) 27
Topic: Algebra Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Coordinates of the ant after 2025 days of spiral steps
Roberta has many colored tickets, each contained in a pocket: 22 are red, 17 are green, 13 are yellow, 20 are blue. He picks up some pockets at random, without opening them (the colours of the tickets are not visible from the outside). How many tickets do you have to take at least to make sure you find at least 3 tickets of one color and 3 tickets of another color (different from the first)?
- (A) 29
- (B) 16
- (C) 26
- (D) 25
- (E) 27
Answer: A src_archimede_2025_triennio__Q02
Massima distanza tra due punti in piazza quadrata, distanze dai lati
Carla, con molta pazienza, sta scrivendo per esteso il numero 1000300 + 759. Quante cifre dovrà scrivere in tutto?
- (A) 959
- (B) 300
- (C) 30059
- (D) 3059
- (E) 901
Topic: Geometria piana Abilita: Casework accurato Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
Maximum distance between two points in a square, distances from the sides
Carla, with a lot of patience, is typing out the number 1000300 + 759. How many digits will he have to write in all?
- (A) 959
- (B) 300
- (C) 30059
- (D) 3059
- (E) 901
Answer: E src_archimede_2025_triennio__Q03
Interi m di tre cifre con f(m)=f(m-1)+25, somma e prodotto cifre
Nel triangolo isoscele DEF, dove DE = EF, l’angolo “ E è di 32°. L’altezza uscente da D e la bisettrice uscente da F si intersecano nel punto I. Qual è l’ampiezza dell’angolo convesso ’ DIF ?
- (A) 129°
- (B) 126°
- (C) 128°
- (D) 127°
- (E) 130°
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Tri-digit integers m with f(m) = f(m-1) +25, sum and product of digits
In the isosceles triangle DEF, where DE = EF, the angle E is 32°. The height from D and the beam from F intersect at point I. What is the width of the convex angle DIF ?
- (A) 129°
- (B) 126°
- (C) 128°
- (D) 127°
- (E) 130°
Answer: D src_archimede_2025_triennio__Q04
Somma di conteggi di primi/non-primi su 100 righe
Filippo vorrebbe scrivere sotto forma di numero decimale la frazione 8 13 . Quale cifra occuperà il millesimo posto dopo la virgola?
- (A) 6
- (B) 1
- (C) 3
- (D) 5
- (E) 8
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Summary of first/non-first counts per 100 lines
Philip would like to write in decimal form the fraction 8 13 . What number will take the thousandth place after the comma?
- (A) 6
- (B) 1
- (C) 3
- (D) 5
- (E) 8
Answer: D src_archimede_2025_triennio__Q05
Area triangolo AB’C’ con simmetrici rispetto all’incentro
Indicare qual è la somma di tutti i numeri reali x per i quali vale l’uguaglianza 2x + 1 · 4x2 −7x −10 (x3 −2)4 + 1 = 0
- (A) 0
- (B) 5 4
- (C) 7 2
- (D) 9 4
- (E) −1 2
Topic: Geometria piana Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Area triangle AB’C’ with symmetries to the center
Indicate the sum of all real numbers x for which the equality 2x + 1 · 4x2 −7x −10 · (x3 −2)4 + 1 = 0
- (A) 0
- (B) 5 4
- (C) 7 2
- (D) 9 4
- (E) −1 2
Answer: C src_archimede_2025_triennio__Q06
Massima somma punteggi test vero/falso con risposte concordi note
Elisa ha disegnato una piramide come quella qui a fianco. Nelle caselle in basso scriverà cinque numeri scelti tra 1, 2, 3, 4, 5, 6 (cinque numeri differenti, in un ordine qualsiasi). Poi riempirà le altre caselle scrivendo in ciascuna di esse la somma dei due numeri sottostanti. Qual è la differenza tra il numero più grande ed il numero più piccolo che Elisa potrebbe scrivere nella casella in cima alla piramide?
- (A) 48
- (B) 36
- (C) 32
- (D) 42
- (E) 52
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Maximum sum of true/false test scores with known consensus responses
Elisa drew a pyramid like the one right next to it. In the boxes below, you will write five numbers chosen from 1, 2, 3, 4, 5, 6 (five different numbers, in any order). Then fill in the other boxes by writing in each of them the sum of the two numbers below. What is the difference between the largest number and the smallest number Elisa could write in the box at the top of the pyramid?
- (A) 48
- (B) 36
- (C) 32
- (D) 42
- (E) 52
Answer: C src_archimede_2025_triennio__Q07
Sequenze complete di 50 (+1) e 50 (-1) le cui somme parziali toccano 0..49
Quanti sono, tra i numeri interi che vanno da 1 a 2024, quelli che sono, al tempo stesso, multipli sia di 21 che di 28, ma non sono multipli di 15?
- (A) 20
- (B) 23
- (C) 24
- (D) 21
- (E) 19
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Full sequences of 50 (+1) and 50 (-1) whose partial sums are 0..49
How many of the whole numbers from 1 to 2024 are simultaneously multiples of both 21 and 28, but not multiples of 15?
- (A) 20
- (B) 23
- (C) 24
- (D) 21
- (E) 19
Answer: C src_archimede_2025_triennio__Q08
Valore q(4) del polinomio con radici i quadrati delle radici di p
Giulio sta cercando i numeri interi n tali che il valore assoluto di (n −2)(n −20) sia un numero primo. Qual è la somma di tutti questi numeri n?
- (A) 36
- (B) 40
- (C) 32
- (D) 21
- (E) 44
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
Value q(4) of the polynomial with roots the squares of the roots of p
Julius is looking for integers n such that the absolute value of (n −2)(n −20) is a prime number. What’s the sum of all these n numbers?
- (A) 36
- (B) 40
- (C) 32
- (D) 21
- (E) 44
Answer: A src_archimede_2025_triennio__Q09
Divisori formaggiosi di n^2 con n=3^14·7^40
Paola deve reimpostare il pin del suo cellulare, costituito da una sequenza di 4 cifre (ciascuna delle quali può essere una qualsiasi cifra da 0 a 9). Per memorizzarlo, farà in modo che vi compaiano esattamente due diverse cifre. Quanti sono i possibili pin che Paola ha a sua disposizione?
- (A) 480
- (B) 560
- (C) 540
- (D) 630
- (E) 720
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
*N2 cheese dividers with n=3^14·7^40 *
Paola has to reset her cell phone’s pin, which consists of a 4-digit sequence (each of which can be any number from 0 to 9). To memorize it, it’ll make sure you have exactly two different digits. How many pins does Paola have at her disposal?
- (A) 480
- (B) 560
- (C) 540
- (D) 630
- (E) 720
Answer: E src_archimede_2025_triennio__Q10
Area triangolo dati lato, mediana e altezza
Nel rettangolo ABCD, i punti E, F, G, H, I, L suddividono i lati in 2 oppure 3 parti uguali, come in figura. Le aree dei triangoli OIL, ODE, OAF (espresse in mm2) sono quelle indicate in figura. Di quanti mm2 è l’area del triangolo OGH ? O A B C D E F G H I L 14 17 11 ?
- (A) 8
- (B) 12
- (C) 9
- (D) 11
- (E) 10
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.4
Triangle area given side, median and height
In the rectangle ABCD, the points E, F, G, H, I, L divide the sides into 2 or 3 equal parts, as shown in the figure. The areas of the OIL, ODE, OAF triangles (expressed in mm2) are those shown in the figure. How many mm2 is the area of the OGH triangle ? O A B C D E F G H I L 14 17 11 ?
- (A) 8
- (B) 12
- (C) 9
- (D) 11
- (E) 10
Answer: C src_archimede_2025_triennio__Q11
Minimo p(-2) di polinomio quartico con vincoli e p(a)>=a^3
In un grande lago ci sono 50 isole, numerate da 2 a 51. Due diverse isole sono collegate da un ponte se e solo se uno dei rispettivi numeri divide l’altro. Per ogni isola, il relativo distretto è costituito dall’isola stessa e tutte quelle da essa raggiungibili tramite una sequenza di ponti. Quanti sono in tutto i distretti?
- (A) 6
- (B) 7
- (C) 1
- (D) 2
- (E) 5
Topic: Algebra Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
Minimum p(-2) of a quartic polynomial with constraints and p(a)>=a^3
There are 50 islands in a large lake, numbered from 2 to 51. Two different islands are connected by a bridge if and only if one of the respective numbers divides the other. For each island, its district consists of the island itself and all those from which it can be reached by a series of bridges. How many are in all the districts?
- (A) 6
- (B) 7
- (C) 1
- (D) 2
- (E) 5
Answer: D src_archimede_2025_triennio__Q12
Abbinamenti palline-cassetti con MCD(a,b)=1
La circonferenza ω passa per il vertice D del rettangolo ABCD ed è tangente ai lati AB e BC nei punti P e Q. I segmenti AP e CQ misurano, nell’ordine, 3 m e 4 m. Quanti m2 misura l’area del rettangolo ABCD ? A B C D P Q ω
- (A) 72
- (B) 75
- (C) 80
- (D) 84
- (E) 81
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3600 Fonte: apri PDF p.4
*Ball-cassette combinations with MCD(a,b)=1 *
The circumference ω passes through the vertex D of the rectangle ABCD and is tangent to the sides AB and BC at points P and Q. The AP and CQ segments measure, in the order, 3 m and 4 m. How many m2 does the area of the rectangle ABCD measure ? A B C D P Q ω
- (A) 72
- (B) 75
- (C) 80
- (D) 84
- (E) 81
Answer: 3600 src_archimede_2025_triennio__Q13
Angolo in A di triangolo isoscele con AD+BD=BC
Sara vuole fare una camminata lungo il bordo di un parco di forma quadrata, i cui lati misurano 1 km ciascuno. Partendo da un vertice V , con un lancio di moneta sceglie casualmente in quale direzione andare e percorre un intero lato del quadrato. Ogni volta che raggiunge un vertice, fa un nuovo lancio di moneta per scegliere la direzione. Se la camminata sarà di 4 km, qual è la probabilità che si concluda proprio nel vertice V da cui era partita?
- (A) 5/16
- (B) 1/8
- (C) 1/2
- (D) 1/4
- (E) 3/8
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 100 Fonte: apri PDF p.4
A angle of an isosceles triangle with AD+BD=BC
Sara wants to take a walk along the edge of a square-shaped park, whose sides measure one kilometer each. Starting from a vertex V, with a coin toss, you randomly choose which direction to go in and walk across an entire side of the square. Every time he reaches a peak, he makes a new coin toss to choose the direction. If the walk is four kilometers, what is the probability that it will end at the very summit V from which it started?
- (A) 5/16
- (B) 1/8
- (C) 1/2
- (D) 1/4
- (E) 3/8
Answer: 100 src_archimede_2025_triennio__Q14
Berenice determina i numeri da somme adiacenti
Alberto e Barbara fanno una gara di braccio di ferro in questo modo: all’inizio hanno entrambi 1 punto; ad ogni sfida, chi vince guadagna tanti punti quanti ne ha l’avversario in quel momento, mentre chi perde mantiene il punteggio che aveva. Dopo un certo numero di sfide, Barbara ha 9000 punti. Quale, tra i seguenti, potrebbe essere il punteggio di Alberto?
- (A) 5005
- (B) 4114
- (C) 3130
- (D) 3003
- (E) 7117
Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.5
Berenice determines the numbers from adjacent sums
Alberto and Barbara make an iron-armed race this way: at the beginning they both have 1 point; at each challenge, the winner earns as many points as the opponent has at the time, while the loser maintains the score he had. After a number of challenges, Barbara has 9,000 points. Which of the following could be Alberto’s score?
- (A) 5005
- (B) 4114
- (C) 3130
- (D) 3003
- (E) 7117
src_archimede_2025_triennio__Q15
Altezze, simmetrico e ciclicita, similitudine e perpendicolarita AP
Considerato un trapezio PQRS, dove il lato PQ è parallelo a RS, sia T il punto della diagonale QS tale che RT sia parallelo a SP. Le aree dei triangoli QRT e RST misurano, nell’ordine, 6 e 4 m2. Quanti m2 misura l’area dell’intero trapezio PQRS ? P Q R S T 6 4
- (A) 30
- (B) 35
- (C) 32
- (D) 36
- (E) 27 311
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.7
Height, symmetrical and cyclic, similarity and perpendicularity AP
Considered a PQRS trapezoid, where the PQ side is parallel to RS, T is the point of the QS diagonal such that RT is parallel to SP. The areas of the QRT and RST triangles are measured in the order of 6 and 4 m2. How many m2 is the area of the entire PQRS trapezoid ? P Q R S T 6 4
- (A) 30
- (B) 35
- (C) 32
- (D) 36
- (E) 27 311
src_archimede_2025_triennio__Q16
mcm(a,b)=n(a+b) e mcm(a,b,c)=n(a+b+c)
[Problema non presente] La prova Archimede 2025 Gara Triennio (28 novembre 2024) è costituita da soli 16 problemi. Il problema 17 non esiste in questo documento.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.9
This is the total amount of aid granted by the Member State in accordance with Article 107 (1) of the Treaty.
[No problem present] The Archimedes 2025 Triennial Race (28 November 2024) is composed of only 16 problems. Problem 17 does not exist in this document.