Naturali < 1000 con somma cifre 4
Quanti sono i numeri naturali minori di 1000 nei quali la somma delle cifre è 4?
- (A) 15
- (B) 10
- (C) 9
- (D) 12
- (E) 11
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Natural < 1000 with a sum of 4 digits *
How many natural numbers are less than 1000 in which the sum of the digits is 4?
- (A) 15
- (B) 10
- (C) 9
- (D) 12
- (E) 11
Answer: A src_archimede_2025_triennio_rec__Q01
X+Y per somma di due decimali periodici come frazione
Consideriamo questi due numeri periodici: a = 0,123 = 0,123123123 … e b = 0,987 = 0,987987987 … Scriviamo la loro somma a+b come frazione X/Y ridotta ai minimi termini. Qual è il valore di X + Y ?
- (A) 9
- (B) 10
- (C) 19
- (D) 11
- (E) 13
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
X+Y for the sum of two periodic decimals as a fraction
Consider these two periodic numbers: a = 0.123 = 0.123123123 … e b = 0,987 = 0,987987987 … Let’s write their sum a+b as a fraction of X/Y reduced to minimum terms. What ‘s the value of X + Y ?
- (A) 9
- (B) 10
- (C) 19
- (D) 11
- (E) 13
Answer: C src_archimede_2025_triennio_rec__Q02
Multipli di 3 con sole cifre 1,4,7 tra 1000 e 100000
Quanti sono i multipli di 3, compresi tra 1000 e 100 000, che si possono scrivere utilizzando le sole cifre 1, 4 e 7 ?
- (A) 99
- (B) 27
- (C) 9
- (D) nessuno
- (E) 36
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Multiple of 3 with only 1,4,7 digits between 1000 and 100000
What are the multiples of 3, between 1,000 and 100,000, that you can write using the numbers 1, 4, and 7 alone?
- (A) 99
- (B) 27
- (C) 9
- (D) No one
- (E) 36
Answer: D src_archimede_2025_triennio_rec__Q03
Valore di espressione con potenze di 3 e 9
Indicare il valore di 4 + 1 2 2025 32024 2 + 1 4 1013
- (A) 1
- (B) nessuno degli altri 4
- (C) 1/9
- (D) 1/3
- (E) 2
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Expression value with powers of 3 and 9
Indicate the value of 4 + 1 2 2025 32024 · 2 + 1 4 1013
- (A) 1
- (B) None of the other 4
- (C) 1/9
- (D) 1/3
- (E) 2
Answer: E src_archimede_2025_triennio_rec__Q04
Area EFG in parallelogramma con segmenti e rapporti
In un parallelolgramma ABCD, si tracciano i segmenti DE, EF, FG, GH, HB tra i lati AB e CD. Le aree (in m2) dei triangoli DEF, FGH, HBC sono quelle indicate in figura. Sapendo che il segmento AE è il doppio di EG, che a sua volta è il doppio di GB, indicare quanti m2 misura l’area del triangolo EFG. A B C D E F G H 14 25 17 ? A B C D
- (A) 14
- (B) 15
- (C) 18
- (D) 16
- (E) 12
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Parallel GHG area with segments and ratios
In an ABCD parallelogram, the segments DE, EF, FG, GH, HB are plotted between the sides AB and CD. The areas (in m2) of the DEF, FGH, HBC triangles are those shown in the figure. Knowing that the AE segment is double EG, which in turn is double GB, indicate how many m2 the area of the EFG triangle measures. A B C D E F G H 14 25 17 ? A B C D
- (A) 14
- (B) 15
- (C) 18
- (D) 16
- (E) 12
Answer: D src_archimede_2025_triennio_rec__Q05
Grado del polinomio prodotto/somma
Che grado ha il polinomio p(x) = (9x5 −x2 +1)10 ·(x7 +8x3 −10)+(x6 −7x+6)7 ?
- (A) 10
- (B) 57
- (C) 99
- (D) 50
- (E) 42
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Grade of product polynomial/sum
What is the degree of the polynomial p(x) = (9x5 −x2 +1)10 ·(x7 +8x3 −10) +(x6 −7x+6)7 ?
- (A) 10
- (B) 57
- (C) 99
- (D) 50
- (E) 42
Answer: B src_archimede_2025_triennio_rec__Q06
Valore di H·(√47+√39) con somma di radicali razionalizzati
Si consideri il numero H = 1 √ 47 + √ 45 + 1 √ 45 + √ 43 + 1 √ 43 + √ 41 + 1 √ 41 + √ 39 Qual è il valore di H· √ 47 + √ 39 ?
- (A) 15/4
- (B) 7/2
- (C) 4
- (D) 17/4
- (E) 9/2
Topic: Algebra Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
H value·(√47+√39) with sum of rationalized radicals
Consider the number H = 1 √ 47 + √ 45 + 1 √ 45 + √ 43 + 1 √ 43 + √ 41 + 1 √ 41 + √ 39 What is the value of H· √ 47 + √ 39 ?
- (A) 15/4
- (B) 7/2
- (C) 4
- (D) 17/4
- (E) 9/2
Answer: C src_archimede_2025_triennio_rec__Q07
Lunghezza UV tra archi nel segmento dei punti medi
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\coordinate (D) at (0,0);
\coordinate (E) at (1,0);
\coordinate (F) at (1,1);
\coordinate (G) at (0,1);
\draw (D)--(E)--(F)--(G)--cycle;
\draw (G) arc (90:0:1);
\draw (E) arc (270:180:1);
\node[below left] at (D) {$D$};
\node[below right] at (E) {$E$};
\node[above right] at (F) {$F$};
\node[above left] at (G) {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Preso un quadrato DEFG di lato 1 m, si tracciano i quarti di circonferenza di centri D e F con estremi negli altri due vertici. Si traccia quindi il segmento che congiunge i punti medi dei lati DE e FG, che interseca i due archi nei punti U e V . Quanti metri misura la lunghezza del segmento UV ? D E F G U V
- (A) √ 3−1
- (B) √ 2 2
- (C) √ 3 2
- (D) √ 3 3
- (E) 3 4
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
UV length between arcs in the midpoint segment
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\coordinate (D) at (0,0);
\coordinate (E) at (1,0);
\coordinate (F) at (1,1);
\coordinate (G) at (0,1);
\draw (D)--(E)--(F)--(G)--cycle;
\draw (G) arc (90:0:1);
\draw (E) arc (270:180:1);
\node[below left] at (D) {$D$};
\node[below right] at (E) {$E$};
\node[above right] at (F) {$F$};
\node[above left] at (G) {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Taking a DEFG square of 1 m side, the quarter-circles of centers D and F with extremes at the other two vertices are plotted. The segment connecting the midpoints of the sides DE and FG, which intersects the two arcs at points U and V, is then mapped. How many meters does the length of the UV segment measure ? D E F G U V
- (A) √ 3−1
- (B) √ 2 2
- (C) √ 3 2
- (D) √ 3 3
- (E) 3 4
Answer: A src_archimede_2025_triennio_rec__Q08
Valore di 4x-1 da (x-7)^8=(x+4)^8
Sapendo che per il numero reale x vale l’uguaglianza (x −7)8 = (x + 4)8, qual è il valore di 4x −1 ?
- (A) 4
- (B) 3
- (C) 2
- (D) 7
- (E) 5
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Value of 4x-1 from (x-7)^8=(x+4)^8
Knowing that for the real number x is equal to (x −7)8 = (x + 4)8, what is the value of 4x −1?
- (A) 4
- (B) 3
- (C) 2
- (D) 7
- (E) 5
Answer: E src_archimede_2025_triennio_rec__Q09
Disposizioni di 4 coppie di sorelle accanto
Quattro coppie di sorelle vogliono sedersi su una panchina. Ciascuna vuole stare accanto a sua sorella. In quanti modi possono disporsi da sinistra verso destra?
- (A) 480
- (B) 384
- (C) 360
- (D) 432
- (E) 420
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Distribution of 4 sister pairs next to each other
Four sisters want to sit on a bench. They all want to be with their sister. How many ways can they go from left to right?
- (A) 480
- (B) 384
- (C) 360
- (D) 432
- (E) 420
Answer: B src_archimede_2025_triennio_rec__Q10
Misura PC’ da distanze di P dai lati
Nel triangolo ABC i lati AB e BC misurano 17 dm, il lato CA misura 16 dm. Preso un punto P all’interno del triangolo, si tracciano da P i segmenti PA′, PB′ e PC′, perpendicolari ai lati. Le lunghezze (in dm) di PA′ e PB′ sono, nell’ordine, 3 e 13/2. Quanti dm misura PC′ ? A B C P A′ B′ C′
- (A) 5
- (B) 75/17
- (C) 21/4
- (D) 4
- (E) 9/2
Topic: Geometria piana Metodo: Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Measurement PC’ from distances of P from the sides
In the triangle ABC the sides AB and BC measure 17 dm, the CA side measures 16 dm. Taking a point P within the triangle, the segments PA′, PB′ and PC′, perpendicular to the sides, are plotted from P. The lengths (in dm) of PA′ and PB′ are, in the order, 3 and 13/2. How many dm does PC′ measure? A B C P A′ B′ C′
- (A) 5
- (B) 75/17
- (C) 21/4
- (D) 4
- (E) 9/2
Answer: A src_archimede_2025_triennio_rec__Q11
Ordini d’arrivo gara cuochi con vincoli (variante)
Ad una gara di cucina partecipano 6 cuochi, indicati con A, B, C, D, E, F. Secondo le previsioni della vigilia, il cuoco A è ritenuto più bravo di B, il quale è più bravo di C. Si ritiene inoltre che A sia più bravo anche di D. Se tutte le previsioni venissero rispettate, supponendo non possano esservi cuochi a pari merito, quanti sarebbero i possibili ordini d’arrivo della gara?
- (A) 88
- (B) 96
- (C) 75
- (D) 90
- (E) 81
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
*Command and bargaining orders for cooks (variant) *
Six cooks, indicated by A, B, C, D, E, F, participate in a cooking competition. According to the forecasts of the evening, cook A is considered better than B, who is better than C. It is also believed that A is better than D. If all the forecasts were met, assuming that there could be no equally qualified chefs, how many possible orders would be placed for the competition?
- (A) 88
- (B) 96
- (C) 75
- (D) 90
- (E) 81
Answer: D src_archimede_2025_triennio_rec__Q12
Interi 1-100 che non dividono il prodotto 50..80
Sia K = 50 · 51 · 52 · · · 79 · 80 il prodotto dei numeri interi da 50 a 80. Quanti sono i numeri interi da 1 a 100 (estremi inclusi) che non dividono K?
- (A) 6
- (B) 9
- (C) 3
- (D) nessuno
- (E) 68
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Interies 1 to 100 not dividing the product 50..80
Whether K = 50 · 51 · 52 · · 79 · 80 the product of integers 50 to 80. How many integers from 1 to 100 (extremes included) don’t divide K?
- (A) 6
- (B) 9
- (C) 3
- (D) No one
- (E) 68
Answer: B src_archimede_2025_triennio_rec__Q13
Angolo F con tangente bisettrice e circonferenza
Nel triangolo DEF, l’angolo bE misura 21°. Il punto G, sul lato EF, è equidistante rispetto a D ed E. Detta ω la circonferenza passante per D, E, G, sia t la tangente in D a ω. Sapendo che la retta t è la bisettrice dell’angolo bD, qual è l’ampiezza dell’angolo bF ? F D E G ω
- (A) 75°
- (B) 81°
- (C) 78°
- (D) 77°
- (E) 72°
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
F angle with tangent beam and circumference
In the DEF triangle, the angle bE measures 21°. The point G on the EF side is equidistant from D and E. Say ω the passing circumference for D, E, G, so t is the tangent in D to ω. Since the line t is the angle of the angle bD, what is the width of the angle bF? F D E G ω
- (A) 75°
- (B) 81°
- (C) 78°
- (D) 77°
- (E) 72°
Answer: A src_archimede_2025_triennio_rec__Q14
Area BCD con D simmetrico di A rispetto al baricentro
Sia ABC un triangolo rettangolo in B, i cui cateti AB e BC misurano, rispettivamente, 8 e 15 m. Indicando con D il simmetrico di A rispetto al baricentro di ABC, quanti m2 misura l’area del triangolo BCD ?
- (A) 16
- (B) 15
- (C) 20
- (D) 30
- (E) 25
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
BCD area with symmetrical D of A with respect to the bearings
Whether ABC is a rectangular triangle in B, whose cathetes AB and BC measure, respectively, 8 and 15 m. If the symmetric of A with respect to ABC’s barycenter is given by D, how many m2 does the area of the BCD triangle measure?
- (A) 16
- (B) 15
- (C) 20
- (D) 30
- (E) 25
Answer: C src_archimede_2025_triennio_rec__Q15
Probabilità di due divisori di 18000 coprimi
Luca e Giulia hanno scritto, in 60 diversi bigliettini, l’elenco di tutti i numeri naturali che sono divisori di 18000 (uno per bigliettino). Luca ne sorteggia uno a caso, poi lo rimette insieme agli altri, Giulia esegue quindi un nuovo sorteggio. Qual è la probabilità che i numeri estratti siano primi tra loro?
- (A) 9/100
- (B) 5/54
- (C) 1/12
- (D) 1/10
- (E) 7/80 511
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Probability of two splitters of 18000 coatings
Luca and Giulia wrote, in 60 different notes, the list of all natural numbers that are divisors of 18000 (one for each note). Luke randomly draws one, then puts it back together with the others, and Julia then runs a new draw. What is the probability that the extracted numbers are prime?
- (A) 9/100
- (B) 5/54
- (C) 1/12
- (D) 1/10
- (E) 7/80 511
Answer: E src_archimede_2025_triennio_rec__Q16