Lati poligono regolare con angolo interno 719 volte esterno
QUESTA È BERK
(Carlo Càssola) L’isola di Berk può essere approssimata da un poligono regolare dove gli angoli interni hanno ampiezza pari a 719 volte quella degli angoli esterni. Quanti sono i lati del poligono?
Topic: Geometria piana Area: Geometria Risposta: 1440 Fonte: apri PDF p.2
Regular polygon sides with an inner angle 719 times the outer angle
This is BERK (Carlo Càssola) The island of Berk can be approached by a regular polygon where the inner corners have width equal to 719 times that of the outer corners. How many sides of the polygon are there?
Answer: 1440 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q01
Minimo numeri a 4 cifre per avere 2026 cifre uguali
HICCUP
(Simone Bertone) Hiccup è il figlio di Stoick, il capo villaggio. Mentre il padre è una leggenda nella caccia dei draghi, Hiccup si è rivelato molto imbranato… anzi, quasi un pericolo per l’intera comunità. Durante una incursione di draghi il suo compito è di dare assistenza a Skaracchio, il fabbro. Per non farlo uscire dalla fucina, durante l’ultimo attacco Skaracchio ha impegnato Hiccup a scrivere sugli scudi numeri di 4 cifre. Se Hiccup ha scritto numeri a caso, quanti ne deve aver scritti, come minimo, per essere certo di avere usato almeno 2026 cifre uguali?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5063 Fonte: apri PDF p.2
Minimum 4-digit numbers to have 2026 digits equal
Hiccup is the son of Stoick, the village chief. While his father is a legend in the dragon hunt, Hiccup has proven to be very unruly… in fact, almost a danger to the entire community. During a dragon raid, his task is to assist Skaracchio, the blacksmith. To keep him from getting out of the hole, during the last attack, Skaracchio committed Hiccup to write four-digit numbers on the shields. If Hiccup wrote random numbers, how many must he have written, at least, to be sure he used at least 2026 numbers equal?
Answer: 5063 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q02
Valori x che rendono espressione quadrato di binomio
SOTTO ATTACCO
(Lorenzo Mazza) Questa notte l’allarme è suonato e molti draghi hanno attaccato il villaggio. Uno stormo di Gronki, Bizippi e Incubi Orrendi ha preso di mira l’ovile del villaggio. Stoick è già sulla torre di difesa, mentre Hiccup è nell’angolo a calcolare tutti i valori di x che rendono 20 14 2 2 2x un quadrato di binomio del tipo 2 2 2 a b . Skaracchio non si accorge che Hiccup ha fatto presto e così, armato della sua nuova invenzione esce dal retro per partecipare alla caccia. Che valori ha calcolato Hiccup? (Dai come risultato il prodotto di tutti i valori trovati.)
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2592 Fonte: apri PDF p.2
Values x that make binomial expression square
Tonight the alarm went off and many dragons attacked the village. A swarm of Gronki, Bizippi and Orrendi nightmares targeted the village’s people. Stoick is already on the defense tower, while Hiccup is in the corner to calculate all the values of x that make 20 14 2 2 2 2x a binomial square of the type 2 2 2 a b . Scarlet doesn’t notice that Hiccup did it early and so, armed with his new invention, comes out from behind to take part in the hunt. What values did Hiccup calculate? (As a result, the product of all the values found.)
Answer: 2592 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q03
Numeri 3 cifre con decine maggiore di unità e centinaia
FURIA BUIA
(Sandro Campigotto) Un colpo di tuono e la torre di guardia è distrutta. Dal villaggio si sente l’urlo di paura “FURIA BUIA” che annuncia la presenza nello stormo di un drago leggendario che nessuno è mai riuscito né a vedere né a cacciare. Hiccup è già appostato sul retro della bottega del fabbro con la sua spara-bolas automatica. Ha appena calcolato quanti sono i numeri di 3 cifre in cui la cifra delle decine è più grande sia di quella delle unità che di quella delle centinaia, quando vede un’ombra tra le stelle. Chiude gli occhi e attiva l’arma. Subito dopo vede l’ombra precipitare dietro la collina. È il primo vichingo a colpire una Furia Buia. Peccato che nessuno lo abbia visto. Che numero stava calcolando Hiccup?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 240 Fonte: apri PDF p.2
Third digit numbers with more than tens of units and hundreds
A thunderstorm and the watch tower are destroyed. From the village you can hear the roar of fear DARK FURY announcing the presence in the herd of a legendary dragon that no one has ever been able to either see or hunt. Hiccup’s already laid out on the back of the blacksmith’s shop with his automatic shotgun. He just calculated how many 3-digit numbers are where the number of tens is greater than both the units and the hundreds when he sees a shadow between the stars. Close your eyes and activate the weapon. Immediately afterwards he sees the shadow fall behind the hill. He’s the first Viking to strike a Dark Fury. Too bad no one saw him. What number was hiccup counting?
Answer: 240 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q04
Distanza AE in trapezio isoscele con traiettoria perpendicolare
A CACCIA DELLA FURIA BUIA
(Santina de Monte) Hiccup è certo di quello che ha visto. Il drago, colpito, è precipitato. Sul suo taccuino traccia la zona della battaglia rappresentando il tutto mediante un trapezio isoscele ABCD di basi 3,6 km AB e 7,2 km DC . Berk si trova in A . In C è stato colpito il drago, che è caduto in un punto E seguendo la traiettoria rettilinea EC , perpendicolare ad AE , e lunga quanto BC . Hiccup sa che deve percorrere la distanza AE per trovare le prove della sua impresa. Quanto vale la distanza AE in metri?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 5091 Fonte: apri PDF p.2
A distance AE in isosceles trapezoid with perpendicular trajectory
Hiccup is sure of what he saw. The dragon, shot, has fallen. On his notebook he traces the battle zone representing the whole through an ABCD isosceles trapezoid of base 3.6 km AB and 7.2 km DC . Berk ‘s in A . In C, the dragon was hit, which fell to a point E following the straight EC trajectory, perpendicular to AE, and as long as BC. Hiccup knows he has to travel the AE distance to find evidence of his enterprise. What is the distance AE in meters?
Answer: 5091 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q05
Probabilità somme parziali mai divisibili per 3
UN INCONTRO DECISIVO
(Simona Pieri) Dopo aver camminato nel bosco, in una depressione, Hiccup trova la Furia Buia intrappolata dalle sue bolas. Alza il coltello pronto a sferrare il colpo decisivo sotto lo sguardo indifeso del drago. Qualcosa lo ferma. Per trovare la forza e la determinazione immagina di scrivere i numeri da 1 a 10 in ordine casuale e si calcola qual è la probabilità che, in nessun momento durante la scrittura, la somma dei numeri già scritti sia divisibile per 3 . Ma Hiccup non riesce comunque a finire il drago e decide di ridargli la libertà tagliando le funi che lo stanno intrappolando. Qual è la probabilità calcolata da Hiccup? (Dai come risposta la somma del numeratore e del denominatore della probabilità scritta in frazione irriducibile.)
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 51 Fonte: apri PDF p.2
Probability of partial sums never divisible by 3
After walking through the woods, in a depression, Hiccup finds the Dark Fury trapped in his bolas. Raise your knife ready to strike the decisive blow under the dragon’s helpless gaze. Something’s stopping him. To find strength and determination, imagine writing the numbers from 1 to 10 in random order and calculate the probability that, at no time during writing, the sum of the numbers already written is divisible by 3. But Hiccup still fails to finish the dragon and decides to restore his freedom by cutting the ropes that are trapping him. What’s the probability calculated by Hiccup? (Give the sum of the numerator and the denominator of the probability written in irreducible fraction as an answer.)
Answer: 51 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q06
Minimo grado polinomio coeff 2,0,6 con p(-1)=2026
IL CIMENTO DELLA FIAMMA
(Matteo Salicandro) Rientrato a Berk, Hiccup scopre che lui e i gli altri giovani del villaggio sono stati iscritti al Cimento della Fiamma, un addestramento vichingo in cui il migliore verrà nominato Sterminatore e potrà uccidere un drago nell’arena davanti a tutti. Hiccup non vorrebbe partecipare ma il padre non sente ragioni. Astrid, Moccicoso, Gambedipesce, Testaditufo e Testabruta sono tutti nell’Arena quando Skaracchio libera un Gronkio. Astrid mostra subito tutto il suo valore. Hiccup si nasconde e per la paura si mette a calcolare il più piccolo grado possibile per un polinomio ( ) p x i cui coefficienti possono essere solo 2 , 0 o 6 tale che ( 1) 2026 p . Inutile dire che se non fosse intervenuto Skaracchio, Hiccup sarebbe morto. Qual è il grado del polinomio?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 674 Fonte: apri PDF p.2
Minimum polynomial degree coef 2,0,6 with p(-1) = 2026
Returning to Berk, Hiccup discovers that he and the other youths from the village have been enrolled in Flame Cement, a Viking training where the best will be named Sterminator and can kill a dragon in the arena in front of everyone. Hiccup wouldn’t want to participate, but his father doesn’t feel any reason. Astrid, Moccosus, Gambedipesce, Testadituff and Testabruta are all in the Arena when Scaraffius releases a Gronkio. Astrid shows all her worth right away. Hiccup hides and for fear starts to calculate the smallest possible degree for a polynomial ( ) p x whose coefficients can only be 2 , 0 or 6 such that (1) 2026 p . Needless to say, if it wasn’t for Scarface, Hiccup would be dead. What is the degree of the polynomial?
Answer: 674 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q07
Area quadrilatero ODBE da aree triangoli con ceviane
RIPARARE LA CODA
(Michelangelo Sabatini) Hiccup, intanto, studia la sua Furia Buia che ha simpaticamente chiamato Sdentato dopo aver scoperto che il drago ha i denti retrattili osservando come ha mangiato un pesce che gli aveva offerto come pranzo. Guardando bene la coda di Sdentato ha notato che una delle bolas deve avergli tranciato una parte del timone e così ha deciso di provare a costruirgli una protesi. Sul suo quaderno abbozza un progetto a forma di triangolo ABC . Fissa un punto D su AB ed un punto E su BC in modo che i segmenti AE e CD si intersechino nel punto O . Se le aree dei triangoli COE , AOC e ADO sono rispettivamente 150 , 300 e 450
2 cm , Hiccup deve calcolare quanto deve valere l’area del quadrilatero ODBE in 2 cm . Nulla di più facile per uno abituato a fare conti. Cha valore ha trovato?
Topic: Geometria piana Metodo: Doppio conteggio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 3600 Fonte: apri PDF p.2
*ODBE quadrilateral area from triangular areas with cevial *
Hiccup, meanwhile, studies his Dark Fury which he sympathetically called Dentato after discovering that the dragon has retractable teeth by observing how he ate a fish he had offered him as lunch. Looking closely at Sdentato’s tail, he noticed that one of the bolas must have cut off part of his steering wheel, so he decided to try and build him a prosthesis. On his notebook he sketches an ABC triangle-shaped design . Set a D-point on AB and an E-point on BC so that the AE and CD segments intersect at O . If the areas of the COE , AOC and ADO triangles are 150 , 300 and 450 2 cm respectively , Hiccup shall calculate the value of the ODBE quadrilateral area in 2 cm . Nothing is easier for an accustomed accountant. What value did you find?
Answer: 3600 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q08
p(-11) per polinomio cubico interi con p(2+√3) dato
A CACCIA DEL NIDO
(Simone Bertone) Stoick parte con numerosi guerrieri alla ricerca del nido dei draghi per porre fine alle invasioni. Sono sette generazioni che periodicamente il villaggio organizza una spedizione per trovare il nido. Con tre navi si avventura al di là della grande barriera di nebbia ma subito uno stormo di draghi li attacca. Una nave viene subito affondata. La nave di Stoick subisce gravi danni, tanto che il timoniere è costretto a calcolare la rotta senza la bussola, danneggiata dall’attacco. Bisogna calcolare ( 11) p sapendo solamente che ( ) p x è un polinomio a coefficienti interi di terzo grado e che 2 3 2 3 p . Quale valore permetterà a Stoick di ritornare a casa?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1210 Fonte: apri PDF p.3
p(-11) for whole cubic polynomials with p(2+√3) given
In Hunting for the Nest (Simone Bertone), Stoick sets off with numerous warriors in search of the dragon’s nest to end the invasions. For seven generations, the village has regularly organized an expedition to find the nest. With three ships he ventures beyond the great fog barrier but immediately a swarm of dragons attacks them. A ship sinks immediately. Stoick’s ship is severely damaged, so much so that the rudder is forced to calculate the route without the compass, damaged by the attack. It is necessary to calculate ( 11) p knowing only that ( ) p x is a polynomial with third degree integers and that 2 3 2 3 p . What value will allow Stoick to return home?
Answer: 1210 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q09
Massimo n con 1+2+…+n divisibile per n+5
IL BIZIPPO
(Lorenzo Mazza) Oggi nell’arena: lezione contro l’Orripilante Bizippo! Questo ha un metodo di soffiare fuoco unico nel mondo dei draghi: ha infatti due teste completamente indipendenti, ognuna con una propria mente e personalità, una produce un gas nocivo e altamente infiammabile, la seconda genera scintille, creando insieme esplosioni letali. Mentre Skaracchio sta cercando di calcolare senza successo il più grande valore di n per cui 1 2 3 … n è divisibile per 5 n , i giovani vichinghi litigano rischiando la vita contro il drago a due teste. Hiccup ha un asso nella manica, o meglio, ha nascosto un’anguilla sotto alla giacca. Ha scoperto che i draghi non ne sopportano l’odore… e così riesce, con grande sorpresa di tutti, a vincere sull’Orripilante Bizippo. Qual è il valore di n che risolve il problema di Skaracchio?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 15 Fonte: apri PDF p.3
Maximum n with 1+2+…+n divisible by n+5
Today in the arena: lesson against the Horrible Horrible! This one has a unique method of blowing fire in the dragon world: it has two completely independent heads, each with its own mind and personality, one produces a harmful and highly flammable gas, the second generates sparks, creating deadly explosions together. While Skaracchio is trying to unsuccessfully calculate the greatest value of n so 1 2 3 … n is divisible by 5 n , young Vikings risk their lives fighting the two-headed dragon. Hiccup has an ace in his sleeve, or rather, he’s hiding an eel under his jacket. He discovered that dragons can’t stand the smell… and so he succeeds, to everyone’s surprise, in winning over the Beetle. What’s the value of n that solves Skaracchio’s problem?
Answer: 15 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q10
Somma cifre migliaia,centinaia,decine meno unità 1000-2026
A SELLA DI DRAGO
(Matteo Salicandro) Dopo aver fissato il nuovo timone alla coda di Sdentato, Hiccup costruisce una sella dove collega la protesi ad un pedale. Se risolve l’ultimo calcolo è fatta. Quanto vale (1 0 0 0) (1 0 0 1) (1 0 0 2) … (2 0 2 5) (2 0 2 6) (la somma delle cifre delle migliaia centinaia e decine diminuita della cifra delle unità di tutti i numeri tra 1000 e 2026 )? Inutile dire che in un attimo i due sono in volo… e seppur con qualche difficoltà iniziale imparano a volare assieme.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5467 Fonte: apri PDF p.3
Total numbers of thousands, hundreds, tens less units 1000-2026
After attaching the new rudder to the tail of Sdentato, Hiccup builds a saddle where he connects the prosthesis to a pedal. If it solves the last calculation, it’s done. What is the value (1 0 0 0) (1 0 0 1) (2 0 2 5) (2 0 2 6) (the sum of the digits of the thousand hundreds and tens decreased from the number of units of all numbers between 1000 and 2026)? Needless to say, in a moment, the two of them are in flight, and even with some initial difficulties, they learn to fly together.
Answer: 5467 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q11
Quanti rimbalzi raggio a 5° per rientrare nella tana
CONOSCERE I DRAGHI
(Claudia Manotti) Hiccup diventa abile ad addomesticare i draghi custoditi per la formazione dei giovani vichinghi anche se con i suoi modi poco ortodossi. Il Gronkio ad esempio viene fermato grazie all’allergia dei draghi verso una particolare pianta, mentre l’Uncinato Mortale si rivela particolarmente sensibile ai grattini sotto al mento. Il Terribile Terrore, uno dei più piccoli draghi esistenti, si diverte molto a seguire i raggi di luce. L’Arena è un cerchio perfetto rivestito di metallo riflettente. Hiccup si posiziona esattamente sopra alla tana del Terribile Terrore che sta sul bordo e sfruttando lo scudo manda un raggio di luce che forma un angolo di esattamente 5° con il diametro dell’arena. Il drago segue il raggio dopo aver sbattuto molte volte sul contorno dell’arena fino a rientrare nella tana. Quante volte ha sbattuto il povero drago seguendo il raggio di luce prima di rientrare nella tana?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 35 Fonte: apri PDF p.3
How many beam bounces at 5° to get back into the pit
KNOW THE DRAGONS (Claudia Manotti) Hiccup becomes skilled at domesticating the dragons guarded for the training of young Vikings, though in his unorthodox ways. Gronkio, for example, is stopped due to the allergy of dragons to a particular plant, while the Mortal Claw is particularly sensitive to the scratches under the chin. The Terrible Terror, one of the smallest dragons in existence, enjoys following the rays of light. The Arena is a perfect circle coated with reflective metal. Hiccup is positioned just above the hole of the Terrible Terror that’s on the edge and by exploiting the shield, it sends a beam of light that forms an angle of exactly 5° with the diameter of the arena. The dragon follows the beam after hitting the rim of the arena many times until it enters the pit. How many times did you beat the poor dragon by following the light beam before you went back into the pit?
Answer: 35 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q12
Rapporto tempi medie velocità su tempo vs distanza
UN GIRO SUL DRAGO
(Michelangelo Sabatini) L’abilità con i draghi di Hiccup stupisce in positivo tutti i vichinghi del villaggio che prima lo emarginavano per la sua gracilità e goffaggine. Astrid, invidiosa e insospettita dall’improvviso miglioramento di Hiccup, decide di seguirlo di nascosto. e lo coglie di sorpresa mentre si allena con Sdentato. Hiccup, per convincere Astrid, la prende in sella e la porta a fare il giro dell’isola di Berk. Sdentato fa il primo giro viaggiando per metà del tempo a 20 km h e il resto a 26 km h , mentre nel secondo giro procede a 20 km h nella prima metà del percorso e a 26 km h nella seconda parte. Quanto vale il rapporto tra il tempo impiegato nel primo giro e il tempo impiegato nel secondo? (Dai come risposta la somma del numeratore e del denominatore della frazione semplificata.)
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1049 Fonte: apri PDF p.3
Mean time ratio speed over time vs distance
A GIRO SUR THE DRAGON (Michelangelo Sabatini) Hiccup’s ability with dragons positively amazes all the Vikings in the village who previously marginalized him for his grace and goofiness. Astrid, jealous and unsuspecting of Hiccup’s sudden improvement, decides to follow him in secret. And she surprises him as he trains with Dentato. Hiccup, to convince Astrid, takes her on a saddle and takes her around Berk Island. Sdentato makes the first lap travelling halfway at 20 km/h and the rest at 26 km/h, while in the second lap he proceeds at 20 km/h in the first half of the route and at 26 km/h in the second part. What is the ratio of the time spent on the first lap to the time spent on the second? (Give the sum of the numerator and denominator of the simplified fraction as an answer.)
Answer: 1049 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q13
Distanza BN tra due circonferenze in quadrato
MORTE ROSSA
(Michelangelo Sabatini) Fatta la pace con Astrid, mentre in volo entrano in una nuvola sono circondati da altri draghi che trasportano cibo. Sdentato è costretto a seguirli e così i due arrivano per caso al Nido dei Draghi, dove scoprono che tutto il cibo rubato al villaggio viene usato per nutrire un gigantesco drago chiamato Morte Rossa. Riusciti a scappare Astrid memorizza la posizione del Nido. Immaginando la zona di mare come un quadrato ABCD , sia E il punto medio del lato CD . Siano 1 e 2 rispettivamente le circonferenze di centro E passante per D e di centro B passante per C . Sia N l’intersezione, diversa da C , tra 1 e 2 . Astrid stima che la distanza di N da AD misura 48 km Quanto vale la distanza in km tra Berk ( B ) e il Nido ( N ) in linea d’aria?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 240 Fonte: apri PDF p.3
Distance BN between two square circumferences
ROSS DEATH (Michelangelo Sabatini) Making peace with Astrid, as they fly into a cloud they are surrounded by other dragons carrying food. Dentato is forced to follow them and so the two arrive by chance at the Dragon’s Nest, where they discover that all the food stolen from the village is used to feed a giant dragon called the Red Death. If you manage to escape, Astrid will memorize the nest’s location. By imagining the sea area as an ABCD square , both E and the midpoint of the CD side . The circumference of centre E passing through D and centre B passing through C shall be 1 and 2 respectively . Whether N is the intersection, different from C, between 1 and 2. Astrid estimates that the distance of N from AD is 48 km What is the distance in km between Berk (B) and Nido (N) in the airline?
Answer: 240 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q14
Somma frazioni irriducibili n/100 con 1<=n<=99
IL GIORNO DELLO STERMINATORE
(Lorenzo Mazza) Dopo un discorso di benvenuto Stoick invita nell’area suo figlio Hiccup, nuovo Sterminatore del villaggio. Ora dovrà uccidere un drago. Hiccup si trova di fronte un Incubo Orrendo che subito si copre di fiamme. Hiccup abbandona il suo scudo e la sua arma e comincia a calmare il drago elencando tutte le frazioni irriducibili della forma 100 n con 1 99 n . Il drago si calma e si lascia avvicinare. “Non sono come pensiamo noi. Non dobbiamo ucciderli”, grida alla folla, avanzando per toccare il muso del drago. Stoick arrabbiato sbatte la sua ascia sulla balaustra urlando “Fermate il combattimento!” Il drago si spaventa e attacca. Quanto vale la somma di tutte le frazioni elencate da Hiccup?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 20 Fonte: apri PDF p.3
sum of non-reducible fractions n/100 with 1<=n<=99
After a welcome speech, Stoick invites his son Hiccup, the village’s new Sterminator, into the area. Now you’ll have to kill a dragon. Hiccup is facing a Horrible Nightmare that is immediately covered in flames. Hiccup abandons his shield and weapon and begins to calm the dragon by listing all the irreducible fractions of the form 100n with 1 99n . The dragon calms down and lets himself get closer. They’re not what we think. We don’t have to kill them, he shouts to the crowd, moving forward to touch the dragon’s nose. Angry Stoick throws his axe at the balustrade screaming, “Stop the fight!” The dragon frightens and attacks. How much is the sum of all the fractions listed by Hiccup?
Answer: 20 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q15
Coppie (a,b) positive con a^2+b^2-2a-4b=2026
IN AIUTO DI HICCUP
(Matteo Salicandro) Avendo avvertito che l’amico si trova in pericolo, Sdentato accorre nell’arena, protegge Hiccup dal drago e lo salva. Purtroppo nel caos più totale viene imprigionato dai vichinghi. A nulla serve che Hiccup trovi tutte le coppie ( , ) a b di numeri interi positivi tali che 2 2 2 4 2026 a b a b , problema che Stoick non era riuscito a risolvere. (Dare come risposta la somma dei valori a b di tutte le coppie trovate.)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 761 Fonte: apri PDF p.4
Positive pairs (a,b) with a^2+b^2-2a-4b=2026
Having warned that his friend is in danger, Sdentato runs into the arena, protects Hiccup from the dragon and saves him. Unfortunately, in the most total chaos, he is imprisoned by the Vikings. It is useless for Hiccup to find all pairs ( , ) a b of positive integers such as 2 2 2 4 2026 a b a b , a problem that Stoick had failed to solve. (Give the sum of the values a b of all the pairs found.)
Answer: 761 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q16
Area sezione quadrilatero di piramide esagonale
IL NIDO
(Simona Pieri) Con Sdentato chiuso in una gabbia sulla prua della nave di Stoick, osservando le reazioni del drago nella nebbia, i vichinghi arrivano all’isola-nido dei draghi. La sommità della collina davanti a loro è una piramide retta che ha come base un esagono regolare di lato 14 m e spigolo laterale uguale a 25 m . Stoick ordina di colpirla con le catapulte. La piramide si rompe lungo un piano parallelo ad una delle facce laterali della piramide e passante per il centro della base, lasciando un’apertura a forma di quadrilatero da cui escono migliaia di draghi che però scappano senza combattere. All’improvviso, dall’apertura, appare la Morte Rossa, che non lascia vie di fuga ai guerrieri. Quanti 2 m misura l’area del quadrilatero che ha permesso ai draghi di fuggire? (si trascurino gli spessori delle rocce)
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 210 Fonte: apri PDF p.4
Area quadrilateral section of hexagonal pyramid
With Dentato locked in a cage on the bow of Stoick’s ship, watching the dragon’s reactions in the fog, the Vikings arrive at the dragon’s nest island. The top of the hill in front of them is a straight pyramid which has as its base a regular hexagon of side 14 m and side shaft equal to 25 m . Stoick orders us to hit her with our catapults. The pyramid breaks along a plane parallel to one of the side faces of the pyramid and passes through the center of the base, leaving a quadrilateral-shaped opening from which thousands of dragons escape without fighting. Suddenly, from the opening, the Red Death appears, leaving no escape for the warriors. How many feet is the area of the quadrilateral that allowed the dragons to escape? (the thickness of the rocks is neglected)
Answer: 210 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q17
Massimo b con radici di g quadrati radici di f
TUTTI IN GROPPA A UN DRAGO
(Santina de Monte) Hiccup non ci sta e convince Astrid e gli altri ragazzi a correre in aiuto a Sdentato. Spiega loro che cavalcare un drago è facile come calcolare il massimo valore di b quando 3 2 ( ) 1 f x x ax bx , 3 2 ( ) g x x mx nx p (entrambi a coefficienti reali), le radici di ( ) g x sono i quadrati delle radici di ( ) f x e 1 5 g . I ragazzi non capiscono il paragone, ma credono nel cuore di Hiccup. Imparano subito a conoscere i draghi che fino a poco tempo prima avevano combattuto nell’arena e, cavalcandoli, corrono in aiuto a Sdentato. A quale valore di b si riferiva Hiccup? (Dai la soluzione moltiplicata per 1000 .)
Topic: Algebra Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 3236 Fonte: apri PDF p.4
Maximum b with roots of g square roots of f
Hiccup is gone and convinces Astrid and the other boys to run to help Sdentato. Explain to them that riding a dragon is as easy as calculating the maximum value of b when 3 2 ( ) 1 f x ax bx , 3 2 ( ) g x mx nx p (both real coefficients), the roots of ( ) g x are the squares of the roots of ( ) f x and 1 5 g . The boys don’t understand the comparison, but they believe in Hiccup’s heart. They immediately learn about the dragons who had fought in the arena until recently and, riding on them, run to the aid of Dentatus. What value of b was Hiccup referring to? (Give the solution multiplied by 1000 .)
Answer: 3236 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q18
Distanza BC in quadrilatero con angoli 45 e AC=CD
IL COLPO DECISIVO
(Simona Pieri) Giunti al nido, scoprono che la battaglia infuria e Morte Rossa è invincibile. La nave dove è tenuto prigioniero Sdentato affonda e Hiccup si getta per salvarlo rischiando la vita. È suo padre Stoick che prima salva Hiccup e poi si rituffa per liberare Sdentato. Pur nella bolgia della battaglia Stoick si scusa per tutto ciò che ha detto e fatto. Hiccup e Sdentato si buttano nella battaglia attirando la Morte Rossa su di loro. Dopo una battaglia aerea Sdentato si trova nel punto B e Morte Rossa nel punto C di un quadrilatero convesso ABCD dove ˆ ˆ 45 ABC CDA , AC CD , 100 m AB , 260 m BD . In quel momento la protesi artificiale di Sdentato prende fuoco a causa dei colpi lanciati dal gigantesco drago. Prima che possano precipitare, Sdentato, con i suoi colpi al plasma sotto la guida di Hiccup, colpisce la bocca della Morte Rossa, dando fuoco al gas contenuto all’interno e facendolo esplodere. Quanto vale la distanza BC percorsa dal colpo al plasma che ha ucciso la Morte Rossa?
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Risposta: 169 Fonte: apri PDF p.4
Distance BC in quadratic with angles 45 and AC=CD
Upon reaching the nest, they discover that the raging battle and Red Death are invincible. The ship where Toothless is held captive sinks and Hiccup jumps to save him risking his life. It’s her father Stoick who first saves Hiccup and then ritualises to free Dentato. Even in the heat of battle, Stoick apologizes for everything he said and did. Hiccup and Toothless get into battle drawing the Red Death on them. After an aerial battle, Sdentato is located at point B and Red Death at point C of a convex quadrilateral ABCD where ˆ ˆ 45 ABC CDA , AC CD , 100 m AB , 260 m BD . At that moment the artificial prosthesis of Sdentato is on fire because of the shots fired by the giant dragon. Before they can precipitate, Dentato, with his plasma shots under the guidance of Hiccup, hits the mouth of the Red Death, setting fire to the gas contained within and making it explode. How much is BC’s distance from the shot to the plasma that killed the Red Death?
Answer: 169 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q19
Resto di 18!/3! diviso per 1+2+…+18 (Wilson)
UN LIETO FINE
(Simona Pieri) Cadendo Hiccup finisce nelle fiamme dell’esplosione. Sdentato si tutta anche lui tra le fiamme. Quando il fuoco si spegne, Stoick è convinto di aver perso suo figlio, ma non è così. Il drago è riuscito a salvare Hiccup, avvolgendolo nelle sue ali. Stoick, ringraziando il drago, si impegna a calcolare per gli Dei il resto della divisione di 18! 3! per 1 2 3 … 18 . Che risultato troverà quando porterà a termine il suo voto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 117 Fonte: apri PDF p.4
The rest of the 18! divided by 1+2+…+18 (Wilson)*
A FINE BED (Simona Pieri) Falling Hiccup ends up in the flames of the explosion. He’s in the flames, too. When the fire goes out, Stoick is convinced he lost his son, but he doesn’t. The dragon saved Hiccup by wrapping him in his wings. Stoick, thanking the dragon, pledges to calculate for the gods the remainder of the 18th Division! 3! For one , two , three … 18 . What will be the outcome when he completes his vote?
Answer: 117 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q20
Numeri 5 cifre distinte con due condizioni su cifre
QUESTA È LA NUOVA BERK
(Sandro Campigotto) Qualche giorno più tardi, Hiccup si risveglia e scopre di aver perso la gamba sinistra dal ginocchio in giù nel combattimento, sostituita da una protesi. Scopre anche che la guerra tra vichinghi e draghi è giunta al termine, e che questi ultimi sono divenuti abitanti del villaggio. “Pensa” - dice Stoick abbracciando suo figlio - “sono venuti a vivere a Berk tanti Draghi quanti i numeri di 5
cifre, tutte diverse, in cui la cifra delle migliaia è più grande sia di quella delle decine di migliaia che di quella delle centinaia e la cifra delle decine è più grande sia di quella delle unità che di quella delle centinaia”. Quanti draghi vivono ora a Berk?Questa è Berk. Bisogna essere pazzi per venire qui, e ancora più pazzi per restarci. Non è adatta ai deboli di cuore. Le cose da mangiare che crescono qui sono dure e insipide; le persone che crescono qui lo sono ancora di più. L’unica nota positiva sono gli animali da compagnia. In molti posti hanno pony o cuccioli, noi abbiamo… i draghi ! Hiccup, Dragon Trainer
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3402 Fonte: apri PDF p.4
*Numbers 5 distinct digits with two digit conditions *
A few days later, Hiccup wakes up and discovers he lost his left leg from his knee down in combat, replaced by a prosthetic. He also discovers that the war between Vikings and dragons has ended, and that the latter have become villagers. Think - says Stoick, embracing his son - there have come to live in Berk as many Dragons as the five-digit numbers, all different, in which the number of thousands is greater than that of the tens of thousands and that of the hundreds and the number of tens is greater than that of the units and that of the hundreds. How many dragons live in Berk now?
This is Berk. You have to be crazy to come here, and even more crazy to stay. It’s not for the faint of heart. The food that grows here is hard and tasteless; the people that grow here are even harder. The only positive note is pets. A lot of places have ponies or puppies, we have… The dragons ! Hiccup, Dragon Trainer
Answer: 3402 src_archimede_2026_squadre_finale_femminile__Q21