Minimo vichinghi leali a tavola rotonda con dichiarazioni
… i draghi! Caterina Malfatto Dopo l’ennesimo attacco dei draghi, tutti i 1000 vichinghi del villaggio di Berkhoff si riuniscono attorno a una tavola rotonda per discutere le strategie di difesa. Alcuni di loro sono vichinghi leali, che dicono sempre la verità, mentre altri sono vichinghi imbroglioni, che mentono sempre. A turno, ciascuno di loro dichiara: «In totale, tra i due vichinghi seduti alla mia destra e i due vichinghi seduti alla mia sinistra, c’è un numero pari di vichinghi leali». Qual è il numero minimo possibile di vichinghi leali?
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi, parita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0200 Fonte: apri PDF p.1
Minimum loyal round table Vikings with declarations
… The dragons! Catherine Malfatto After another dragon attack, all 1000 Vikings in the village of Berkhoff gather around a round table to discuss defense strategies. Some of them are loyal Vikings, who always tell the truth, while others are devious Vikings, who always lie. In turn, each of them declares: In total, between the two Vikings sitting on my right and the two Vikings sitting on my left, there is an equal number of loyal Vikings. What’s the minimum number of loyal Vikings?
Answer: 0200 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q01
Minimo k intero con t che soddisfa disequazione
Fourier Buia Federico Antonini Durante l’attacco dei draghi a Berkhoff, Hilcup tenta di colpire una Fourier Buia con una delle sue improbabili invenzioni. Studiando il volo della Fourier Buia, si ritrova a considerare la disequazione (k +1−t)t ≥3 k(k +1) 2 +t ! . «L’ho presa!» esclama Hilcup, ma quando lo racconta agli altri nessuno gli crede. Così, mentre suo padre lo rimprovera, ripensa alla disequazione appena studiata e si domanda: «Qual è il minimo intero positivo k per cui esiste un intero positivo t che la soddisfa?».
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Area: Algebra e Analisi Risposta: 0000 Fonte: apri PDF p.1
Minimum k whole with t satisfying dissection
Dark Fourier Federico Antonini During the dragon attack at Berkhoff, Hilcup attempts to hit a Dark Fourier with one of his unlikely inventions. When studying the dark Fourier flight, we find ourselves considering the dissection (k +1−t) t ≥3 k(k +1) 2 +t ! . “I’ve got it!” cries Hilcup, but when he tells the others, no one believes him. So, as his father rebukes him, he thinks back on the dissection just studied and asks himself: What is the minimum positive integer k for which there exists a positive integer t that satisfies her?
Answer: 0000 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q02
Lunghezza QX con tangente e teorema secante-tangente
Quello scudo è mio! Francesco Laganà «Se siete costretti a scegliere tra una spada e uno scudo, prendete lo scudo», ripete Scalarchio ai giovani apprendisti nell’Arena dei Draghi. Nel mentre, Θ(tufo) e Θbruta stanno già litigando per stabilire chi debba impugnare un particolare scudo da addestramento, sul cui fronte compare un disegno: AB è un segmento di lunghezza 108 cm, mentre Γ è una circonferenza di centro B e raggio 72 cm. «K è il punto di intersezione di Γ con AB» urla Θ(tufo). «P è uno dei due punti di Γ per cui AP è tangente a Γ» risponde Θbruta. Sono infine evidenziati il punto Q, che è la proiezione ortogonale di K sulla retta AP, e il punto X, che è l’ulteriore intersezione della retta QK con Γ. Quanti centimetri misura QX?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0120 Fonte: apri PDF p.2
QX length with tangent and drying-tangent theorem
That shield is mine! Francesco Laganà If you are forced to choose between a sword and a shield, take the shield, repeat Scalarchio to the young apprentices in the Arena dei Draghi. In the meantime, Θ(tufo) and Θbruta are already fighting over who should wear a particular training shield, with a design on the forehead: AB is a segment of 108 cm in length, while Γ is a circumference of center B and a radius of 72 cm. K is the intersection point of Γ with AB scream Θ(tuff). P is one of the two points of Γ for which AP is tangent to Γ corresponds to Θbruta. Finally, point Q, which is the orthogonal projection of K on the straight AP, and point X, which is the further intersection of the straight QK with Γ, are highlighted. How many centimeters does QX measure?
Answer: 0120 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q03
Lunghezza MN segmento medio trapezio con angoli 55 e 35
Ala artificiale Leonardo Franchi «Perché non riesci a volare via?», si domanda Hilcup osservando la Fourier Buia che ha colpito. Abbozzandone uno schizzo sul suo quadernetto, si accorge che al drago manca un’ala posteriore, a forma di trapezio ABCD, con base maggiore CD e base minore AB. Hilcup calcola che AB = 20 dm, CD = 80 dm, e che gli angoli in C e D misurano rispettivamente 55°e 35°. Per costruire un’ala artificiale, deve determinare la lunghezza di MN, dove M e N sono i punti medi di AB e CD, rispettivamente. Quanti decimetri misura MN? 55° 35° A B C D E M N
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0030 Fonte: apri PDF p.2
Mn length medium trapezoidal segment with angles 55 and 35
On the artificial wing Leonardo Franchi Why can’t you fly away?, Hilcup wonders looking at the dark Fourier that hit. When drawing a sketch on his notebook, he notices that the dragon lacks a trapezoidal ABCD rear wing, with a major base CD and a minor base AB. Hilcup calculates that AB = 20 dm, CD = 80 dm, and that the angles in C and D measure 55° and 35° respectively. To construct an artificial wing, it must determine the length of MN, where M and N are the midpoints of AB and CD, respectively. How many centimetres does MN measure? 55° 35° A B C D E M N
Answer: 0030 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q04
Somma max e min terne autodivisibili cifre 1-9
L’Orripilante Biiezione Giuseppe Mascellani Moduloso e Nashtrid stanno allenando la loro capacità di fare più cose contemporaneamente nell’arena. Nello sconfiggere il drago Orripilante Biiezione, devono anche usare tutte le cifre da 1 a 9 una sola volta per comporre tre numeri di tre cifre che risultino autodivisibili. «Un numero si dice autodivisibile se è multiplo di ciascuna delle proprie cifre» spiega Scalarchio. Tra tutte le possibili soluzioni, Nashtrid trova la terna di numeri con somma massima S, mentre Moduloso trova quella con somma minima s. Quanto vale S +s?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2754 Fonte: apri PDF p.2
*Summation of max and min self-divisible digits 1-9 *
The Horrifying Bijection Giuseppe Mascellani Moduloso and Nashtrid are training their ability to do multiple things simultaneously in the arena. In defeating the Predator Dragon, they also have to use all the digits from 1 to 9 once to make up three self-dividing three-digit numbers. A number is said to be self-divisible if it is multiple of each of its own digits explains Scalarchio. Among all possible solutions, Nashtrid finds the set of numbers with maximum sum S, while Moduloso finds the one with minimum sum s. How much is S+s worth?
Answer: 2754 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q05
Coppie (m,n) con 4·m!+1=2^n+3^n, dare a·b
Mancato! Davide Averoldi «Attenta, ci penso io!» esclama Moduloso rivolto a Nashtrid, mentre lancia un’accetta contro un drago e lo manca completamente. «Avevo il sole negli occhi! Però almeno so determinare tutte le coppie di interi non negativi (m,n) che soddisfano 4m!+1 = 2n +3n». Sia (a,b) la somma componente per componente di tutte le coppie trovate; dare come risposta a·b. Si ricorda che m! = 1·2·3··m, mentre 0! = 1.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0030 Fonte: apri PDF p.2
Couples (m,n) with 4·m!+1=2^n+3^n, giving a·b
Missed it! David Averoldi Be careful, I’ll take care of it! cries out Moduloso to Nashtrid, as he throws a accept against a dragon and misses him completely. I had the sun in my eyes! But at least I can determine all pairs of nonnegative integers (m,n) that satisfy 4m! + 1 = 2n + 3n. Either (a,b) the component sum per component of all pairs found; give as a response a·b. You remember that m! = 1·2·3··m, whereas 0! = 1.
Answer: 0030 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q06
Anni con somma cifre doppia del successivo, somma estremi
Cronache di Berkhoff Andrea Rossetti Γ(pesce) sta leggendo le cronache di Berkhoff e delle incursioni dei draghi che hanno colpito il villaggio. Mentre confronta con attenzione le date annotate nei registri, si accorge di una curiosa regolarità: avviene un’incursione in ogni anno la cui somma delle cifre è uguale al doppio della somma delle cifre dell’anno successivo. «Quali sono allora il primo e l’ultimo anno in cui avverrà un’incursione, tra il 2000 e il 2999?» si chiede Γ(pesce). Dare come risposta la somma dei due numeri trovati.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4568 Fonte: apri PDF p.2
Years with double-digit sums of the following, extreme sums
Andrea Rossetti (Fish) is reading the Berkhoff Chronicles and the dragon raids that hit the village. When you carefully compare the dates recorded in the registers, you notice a curious regularity: there is a survey every year whose sum of figures is twice the sum of the figures of the following year. What is the first and last year that a raid will take place between 2000 and 2999? Give the sum of the two numbers found.
Answer: 4568 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q07
Massimo q(0)^2 con due polinomi radice comune
Sbuffo infuocato Gaia Fuselli Con uno sbuffo infuocato, Stellato ha cancellato parte degli appunti di Hilcup! Ciò che rimane sono i due polinomi p(x) = x2 +⋆x+1 e q(x) = x2 +x+⋆, dove ⋆indica un coefficiente ormai illeggibile. Hilcup ricorda però che i coefficienti cancellati nei due polinomi erano uguali e che i polinomi avevano almeno una radice reale in comune. Qual è il massimo valore che può avere q(0)2?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.3
Maximum q(0)^2 with two common root polynomials
With a burning whisper, Stellato erased some of Hilcup’s notes! What remains are the two polynomials p(x) = x2 +⋆x+1 and q(x) = x2 +x+⋆, where ⋆ indicates a now unreadable coefficient. Hilcup recalls, however, that the deleted coefficients in the two polynomials were equal and that the polynomials had at least one real root in common. What is the maximum value that q(0)2 can have?
Answer: 0004 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q08
Polinomi cubici monici radici e coefficienti cifra singola
Figlio di un mezzo troll Fabio Lilliu Nashtrid osserva con crescente fastidio i continui progressi di Hilcup: non solo è diventato sorprendentemente bravo con i draghi, ma pare cavarsela fin troppo bene anche con la matematica. Per metterlo alla prova, decide di proporgli un quesito: «Quanti sono i polinomi di terzo grado a coefficienti interi per cui tutte e tre le radici sono interi di una sola cifra, tutti i coefficienti sono anch’essi interi di una sola cifra e il coefficiente di grado tre è esattamente uno?». Hilcup chiede: «Posso usare anche interi negativi?», a cui Nashtrid risponde: «Certo, tutti gli interi tra −9 e 9». Neanche il tempo di finire, che Hilcup già ha risolto il problema. «Figlio di un mezzo troll!» urla Nashtrid spazientita. Qual è la risposta al quesito di Nashtrid?
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0122 Fonte: apri PDF p.3
*Munice root cubic polynomials and single-digit coefficients *
The son of a half-troll, Fabio Lilliu Nashtrid observes with increasing annoyance Hilcup’s continuous progress: not only has he become surprisingly good with dragons, but he seems to do far too well with mathematics as well. To test this, he decides to ask him a question: How many polynomials of third degree with integer coefficients for which all three roots are single-digit integers, all the coefficients are also single-digit integers and the third degree coefficient is exactly one? Hilcup asks: “Can I also use negative integers?” to which Nashtrid replies: “Certainly, all integers between −9 and 9”. Not even the time to finish, that Hilcup has already solved the problem. “Son of a half-troll!” cries Nashtrid in a spacious voice. What is the answer to Nashtrid’s question?
Answer: 0122 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q09
Isole (n,n) raggiungibili con passi k crescenti
In volo Marco Targia Nashtrid ha scoperto il nascondiglio di Stellato! Per convincerla che è un drago amichevole, Hilcup la porta a fare un volo in sua compagnia. I due, però, non si accorgono che Stellato si sta dirigendo verso l’arcipelago di cui fa parte anche l’Isola dei Draghi. Il suo percorso si può rappresentare sul piano cartesiano: parte dal punto (0,0), mentre le 1501 isole dell’arcipelago si trovano nei punti (n,n) con 1500 ≤n ≤3000. Il drago può muoversi soltanto in direzioni parallele agli assi cartesiani verso destra oppure verso l’alto, e non in diagon… dragonale. Inoltre, al k-esimo battito d’ali percorre esattamente k unità di lunghezza: il primo spostamento è lungo 1, il secondo 2, il terzo 3, e così via (Stellato si muove tra punti a coordinate intere). Quali sono le isole dell’arcipelago che può raggiungere in questo modo? Indicare quante ne sono.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, monovarianti Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.4
*Islands (n,n) reachable by increasing steps *
In flight, Marco Targia Nashtrid has discovered Stellato’s hideout! To convince her that he’s a friendly dragon, Hilcup takes her on a flight with him. The two, however, do not realize that Stellato is heading towards the archipelago of which Dragon Island is also a part. Its route can be represented on the Cartesian plane: it starts at point (0,0), while the 1501 islands of the archipelago are located at points (n,n) with 1500 ≤n ≤3000. The dragon can only move in directions parallel to the Cartesian axis to the right or up, and not diagonally… It’s a dragon. In addition, at k-eighth beat dali travels exactly k units of length: the first shift is length 1, the second 2, the third 3, and so on (Stellato moves between points at full coordinates). Which islands of the archipelago can you reach in this way? Tell me how many there are.
Answer: 0016 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q10
Area carta nera visibile dopo pieghe del quadrato
Fraintendimenti Giacomo Gallina «Per Odino, è stata dura!» esclama Stochastick, commentando gli ottimi risultati di Hilcup nell’arena di addestramento. Mentre parla con suo padre, Hilcup giocherella nervosamente con un foglio di carta quadrato ABCD di lato 1 dm, appoggiato sul tavolo con la faccia bianca rivolta verso l’alto e quella nera verso il basso. Sui lati AB, BC, CD e DA sono segnati, rispettivamente, quattro punti E, F, G e H, tali che AE = BF = CG = DH = 1 3 dm. Lasciando fermo il centro del foglio, Hilcup solleva il vertice A e piega il foglio lungo il segmento HE, portando A a toccare l’interno del quadrato. In modo analogo, piega poi il foglio lungo i segmenti EF, FG e GH, sollevando rispettivamente i vertici B, C e D e portandoli a contatto con l’interno del foglio. «Dovrei proprio essere a letto!» dice Hilcup sbadigliando, pur di non proseguire la conversazione con il padre. Quanti mm2 misura l’area di carta nera visibile dall’alto? A B C D E F G H A′ B′ C′ D′ 1 3 1 3 1 3 1 3
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4444 Fonte: apri PDF p.5
Black paper area visible after folding the square
Misunderstandings Giacomo Gallina For Odin, it was hard! exclaims Stochastick, commenting on Hilcup’s excellent results in the training arena. As she talks to her father, Hilcup nervously plays with a square sheet of ABCD 1 dm side, leaning on the table with her white face facing up and her black face facing down. On the sides AB, BC, CD and DA are marked, respectively, four points E, F, G and H, AE = BF = CG = DH = 1 3 dm. Leaving the center of the sheet standing, Hilcup raises the top A and folds the sheet along the HE segment, leading A to touch the inside of the square. Similarly, it then folds the sheet along the EF, FG and GH segments, lifting the B, C and D vertices respectively and bringing them into contact with the inside of the sheet. “I should really be in bed!” says Hilcup waving, not wanting to continue the conversation with his father. How many mm2 does the area of black paper visible from above measure? A B C D E F G H A′ B′ C′ D′ 1 3 1 3 1 3 1 3
Answer: 4444 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q11
Permutazioni 9 navi con vincolo multipli di 3
Verso l’Isola dei Draghi Eugenio Trovarelli Stochastick, furioso per il comportamento del figlio durante l’esame finale, decide di salpare verso l’Isola dei Draghi con l’intenzione di eliminarli una volta per tutte. Per la spedizione prepara 9 imbarcazioni, numerate da 1 a 9, che dovranno procedere in fila indiana. Per evitare confusione durante la navigazione, impone però una regola: ogni nave il cui numero è divisibile per 3 deve avere immediatamente davanti a sé una nave con numero minore del proprio. In quanti modi diversi possono disporre le navi in fila?
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4560 Fonte: apri PDF p.5
*9 ships with multiple bonds of 3 *
To Dragon Island Eugenio Trovarelli Stochastick, furious at his son’s behavior during the final exam, decides to sail to Dragon Island with the intention of eliminating them once and for all. For the expedition, he prepares nine ships, numbered 1 to 9, which will have to proceed in Indian line. To avoid confusion during navigation, however, he imposes a rule: every ship whose number is divisible by 3 must immediately have a ship with a smaller number than its own. How many different ways can ships line up?
Answer: 4560 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q12
Tabellini finali corse tra draghi con vincoli
Corse tra draghi Giuseppe Mascellani Dopo la sconfitta della Morte Rossa, a Berkhoff è arrivata la pace: vichinghi e draghi vivono in armonia e, nel tempo libero, si divertono con uno sport chiamato corse tra draghi. In una partita si affrontano due squadre, che si sfidano in 5 manche. In ciascuna manche vengono liberate 5 pecore, e ogni pecora viene afferrata al volo da una e una sola squadra. La squadra che in una manche raccoglie più pecore vince la manche e ottiene 1 punto. Al termine delle 5 manche, vince la partita la squadra che ha totalizzato più punti. Nella partita odierna, la squadra di Nashtrid ha vinto contro quella di Moduloso; tuttavia, la squadra di Moduloso ha raccolto complessivamente più pecore di quella di Nashtrid. Quanti diversi tabellini finali sono possibili (con tabellino finale si intende la successione ordinata dei risultati delle 5 manche, ciascuno espresso come numero di pecore raccolte da ciascuna delle due squadre in quella manche)?
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0515 Fonte: apri PDF p.5
Final tables of dragons raced with constraints
After the defeat of the Red Death, Berkhoff came to peace: Vikings and dragons live in harmony and, in their free time, play a sport called dragon racing. In one match, two teams face each other, who challenge each other in five matches. In each round, five sheep are released, and each sheep is captured in flight by one and only one team. The team that collects the most sheep in a match wins the match and receives 1 point. At the end of the 5 matches, the team with the most points wins the game. In today’s match, Nashtrid’s team won against Moduloso’s; however, Moduloso’s team collected more sheep overall than Nashtrid’s. How many different final tables are possible (by final table means the orderly succession of the results of the 5 matches, each expressed as the number of sheep collected by each of the two teams in that match)?
Answer: 0515 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q13
Modi assistere 25 cittadini con archi e parità
Prepararsi a essere Capo Eugenio Trovarelli Hilcup è appena rientrato da un volo di ricognizione con Stellato quando Stochastick lo richiama subito ai suoi doveri: «Lezione numero uno: il primo dovere di un Capo è verso il suo popolo. Vieni ad aiutare me e Scalarchio con questi 25 cittadini, numerati 1,2,…,25. Per non perdere tempo, ciascuno sarà assistito, ma da al più due persone tra me, te e Scalarchio». A fine giornata, i tre si accorgono che ognuno di loro ha assistito un numero pari di cittadini; preso l’insieme degli assistiti di ognuno, o esso o il suo complementare è costituito o da uno o più cittadini con numeri consecutivi; comunque si scelgano due tra loro, il numero di cittadini assistiti da entrambi è dispari. In quanti modi diversi possono aver assistito i 25 cittadini?
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8400 Fonte: apri PDF p.6
How to assist 25 citizens with arches and equality
Preparing to be Chief Eugenio Trovarelli Hilcup has just returned from a reconnaissance flight with Stellato when Stochastick immediately calls him back to his duties: Lection number one: a Chief’s first duty is to his people. Come and help me and Scalarchio with these 25 citizens, numbered 1, 2,… 25. So as not to waste time, everyone will be assisted, but by at most two people between me, you and Scalarchio. At the end of the day, the three find that each of them has attended an equal number of citizens; taken as a whole, each of them or his complement is either one or more citizens with consecutive numbers; however two are chosen, the number of citizens attended by both is odd. How many different ways could the 25 citizens have attended?
Answer: 8400 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q14
Minimo costo calcolatrice per due espressioni bilineari
Calcolatrice vichinga Nikita Deniskin Eret(eret) è un cacciatore di draghi al soldo dello spietato Drago Burnsvist. Dopo aver catturato Nashtrid, Γ(pesce) e i gemelli Θ(tufo) e Θbruta insieme ai loro draghi, vuole stabilire a quanto venderli al suo padrone. Per farlo, parte da sei numeri a,b,c,x,y,z e deve calcolare i valori delle seguenti espressioni: 2ay +2bx+2cy +2bz; az +bz +cz +cy +cx. Purtroppo Eret(eret) non sa fare calcoli a mente e deve usare una calcolatrice vichinga, che permette soltanto di inserire due numeri alla volta ed eseguire un’operazione tra addizione, sottrazione e moltiplicazione. Tuttavia, egli ha un’ottima memoria e può riutilizzare come input qualunque risultato ottenuto in precedenza. Ogni addizione o sottrazione consuma 4 Odinowatt, mentre ogni moltiplicazione ne consuma 23. Quanti Odinowatt consumerà al minimo Eret(eret) per calcolare entrambe le espressioni?
Topic: Algebra, Logica, giochi, strategie Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0109 Fonte: apri PDF p.6
Minimum calculating cost for two bilinear expressions
Viking calculator Nikita Deniskin Eret (born) is a dragon hunter who is hired by the ruthless Dragon Burnsvist. After capturing Nashtrid, Fish, and the twins Thuff and Thbruta along with their dragons, he wants to determine how much to sell them to his master. To do this, it starts from six numbers a,b,c,x,y,z and must calculate the values of the following expressions: 2ay +2bx+2cy +2bz; az +bz +cz +cy +cx. Unfortunately, Eret cannot do calculations by heart and must use a Viking calculator, which only allows two numbers to be entered at once and an operation between addition, subtraction and multiplication can be performed. However, he has an excellent memory and can reuse any previous results as input. Each addition or subtraction consumes 4 odinowatts, while each multiplication consumes 23. How many Odinowatt will you consume to calculate both expressions?
Answer: 0109 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q15
Massimo colori reticolo con stessa distanza N=6767·7676
Per ogni mar navigherò Davide Averoldi Stochastick fischetta una melodia che viene subito riconosciuta da Valgebra, che inizia a cantare: «Per ogni punto a coordinate intere del piano cartesiano io navigherò, e ciascuno di essi colorerò senza paura: se due punti disteranno proprio 6767·7676 unità, lo stesso colore a essi darò. Qual è il massimo numero di colori che usare potrò?»
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria analitica Metodo: parita, congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 8464 Fonte: apri PDF p.8
Maximum mesh colours with the same distance N=6767·7676
For every sea I will sail, David Averoldi Stochastick whistles a melody that is immediately recognized by Valgebra, who begins to sing: For every point at full coordinates of the Cartesian plane I will sail, and each of them I will color without fear: if two points will be exactly 6767·7676 units apart, the same color I will give them. What’s the maximum number of colors I can use?
Answer: 8464 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q16
Area ombra tronco di cono con sole a 30°
Tranello ghiacciato Lorenzo Cortesi Stellato è tornato in sé e, insieme a Hilcup, sta combattendo contro Drago Burnsvist. «Ormai è finita!» urla Hilcup rivolto al nemico. «Davvero?» ribatte Drago Burnsvist, proprio mentre la Grande Bestia Selvaggia intrappola Hilcup e Stellato in un blocco di ghiaccio a forma di tronco di cono di altezza 6 √ 2 m, i cui raggi delle basi inferiore e superiore misurano rispettivamente 7 √ 3 m e √ 3 m. Nel momento in cui vengono intrappolati, Hilcup e Stellato sono in volo, per cui la base superiore del tronco di cono si trova a un’altezza di 180 dm dal terreno. Inoltre, l’asse del tronco di cono è perpendicolare al terreno, che è perfettamente orizzontale. Sapendo che i raggi del Sole, considerati paralleli tra loro, formano un angolo di 30°con il suolo, quanti m2 misura l’area dell’ombra del blocco di ghiaccio proiettata sul terreno? Terreno 2 √ 3 14 √ 3 2 √ 3 14 √ 3 h = 6 √ 2 30° Gara a Squadre 2026 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 9/12
Topic: Geometria solida, Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0492 Fonte: apri PDF p.9
Shadow area conical trunk with sun at 30°
Lorenzo Cortesi Stellato is back on his feet and, along with Hilcup, is fighting Dragon Burnsvist. It’s over! Hilcup screams at the enemy. Really?Ripes Dragon Burnsvist, just as the Big Wild Beast traps Hilcup and Stellato in a cone-shaped ice block of 6 √ 2 m high, whose lower and upper base rays measure respectively 7 √ 3 m and √ 3 m. At the moment of being trapped, Hilcup and Stellato are in flight, so the top base of the cone trunk is at a height of 180 dm from the ground. In addition, the axis of the cone trunk is perpendicular to the ground, which is perfectly horizontal. Knowing that the sun’s rays, considered to be parallel to each other, form an angle of 30° with the ground, how many m2 does the area of the shadow of the ice block projected onto the ground measure? Field 2 √ 3 14 √ 3 2 √ 3 14 √ 3 h = 6 √ 2 30° Team competition 2026 National final Problem tests 9/12
Answer: 0492 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q17
Somma potenze 16-esime delle radici del polinomio
Il Capo è tornato a casa Lorenzo Degli Atti È giunto il momento di proclamare il nuovo Capo di Berkhoff! L’anziana Gödhi dà inizio alla cerimonia tracciando con del carbone, sulla fronte di Hilcup, il polinomio p(x) = x15 −2x14 +2x13 −x12 +x11 −2x10 +2x9 −x8 +x7 −2x6 +2x5 −x4 +x3 −2x2 +2x−1. Solo chi è davvero degno di questo titolo è capace di calcolare la somma delle potenze 16-esime di tutte le radici di p(x), comprese quelle complesse. Quanto vale tale somma?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0012 Fonte: apri PDF p.9
*Summary powers of 16 of the roots of the polynomial *
The Chief has returned to the house Lorenzo Degli Act It’s time to proclaim the new Chief of Berkhoff! The old Gödhi begins the ceremony by tracing with coal, on the front of Hilcup, the polynomial p(x) = x15 −2x14 +2x13 −x12 +x11 −2x10 +2x9 −x8 +x7 −2x6 +2x5 −x4 +x3 −2x2 +2x−1. Only someone truly worthy of this title is able to calculate the sum of the 16th powers of all the roots of p (x), including complex ones. How much is that?
Answer: 0012 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q18
Modi rivestire griglia 6x10 con trimini, fattori primi
- Ala ignifuga Eugenio Trovarelli Stellato si è innamorato di unaFourier Chiara, che però non va affatto d’accordo con gli umani. Hilcup capisce che è arrivato il momento di lasciarlo volare anche senza di lui e decide di rivestire l’ala artificiale con pelle di drago, così da renderla ignifuga. L’ala è una griglia6×10 di caselle quadrate, composta da6 righe e 10 colonne. I ritagli di pelle di drago sono a forma di trimino (oppure , in una qualunque rotazione). Hilcup riveste l’ala a partire dall’angolo in basso a sinistra, cucendo un ritaglio alla volta, senza sovrapporli. Per facilitare il lavoro, ogni casella coperta da un ritaglio appena cucito deve soddisfare la seguente condizione: l
Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0103 Fonte: apri PDF p.9
Mode of coating grid 6x10 with trim, prime factors
- The flaming Eugenio Trovarelli Stellato has fallen in love with a Fourier Clear, which, however, does not agree with humans. Hilcup realizes that the time has come to let him fly even without him and decides to coat the artificial wing with dragon skin, so as to make it fireproof. The wire is a grid of 6×10 square boxes, consisting of 6 rows and 10 columns. The dragon skin cuts are triminous (or , in any rotation). Hilcup covers the wing from the bottom left corner, sewing one cut at a time, without overlapping. In order to facilitate the work, each box covered by a newly sewn cut must meet the following condition:
Answer: 0103 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q19
Area triangolo AGM con costruzione su circonferenze
- Il Mondo Nascosto Francesco Laganà Gli abitanti di Berkhoff stanno studiando un’antica mappa che, secondo la leggenda, conduce alMondo Nascosto. Su di essa è tracciato un triangoloABC, conAC>AB , tale che[ABC = [BCA +30◦. Le istruzioni per raggiungere il Mondo Nascosto sono riportate in una nota: «Considera il puntoZ, simmetrico diA rispetto al punto medio diBC. Traccia quindi la circonferenzaωcircoscritta al triangoloBCZ; le rette AB e AC intersecano nuovamenteωrispettivamente nei puntiP e Q. Siano inoltreX il centro diω, Y il circocentro del triangoloAPQ e M il punto medio diAX. Il Mondo Nascosto è rappresentato dal triangolo AGM, doveG è il baricentro diABC». Nella mappa sono indicate
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Metodo delle coordinate, Tecniche trigonometriche Area: Geometria Risposta: 8601 Fonte: apri PDF p.10
Area of AGM triangle with built-in circumferences
- The Hidden World Francis Laganà The inhabitants of Berkhoff are studying an ancient map that, according to legend, leads to the Hidden World. On it is drawn an ABC triangle, with AC>AB, such that [ABC = [BCA +30◦. The instructions for reaching the Hidden World are given in a note: Consider the Z-point, symmetrical to the mean point of BC. Then trace the circumference of the triangleBCZ; lines AB and AC intersect again at points P and Q respectively. In addition, X is the center of the diω, Y is the circumcenter of the triangleAPQ and M is the midpoint of AX. The Hidden World is represented by the AGM triangle, where G is the barycenter of ABC. On the map they are shown
Answer: 8601 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q20
Minimo somma 4 interi consecutivi stesso numero divisori
- Addio Filippo Falqui Cao «La leggenda dice che, quando la terra trema o sputa fuori lava, sono i draghi che ci ricordano che esistono ancora…», pensa Hilcup, osservando un’ultima volta lo stormo di draghi allontanarsi nel cielo. «Il mondo crede che non esistano quattro interi positivi consecutivi con lo stesso numero di divisori, ma noi Berkhoffiani sappiamo che non è così, e custodiremo questo segreto finché non verrà il tempo in cui i draghi potranno tornare in pace». Qual è il minimo valore possibile della somma di questi quattro interi? Soluzione. Sia d il numero di divisori dei quattro interi consecutivi richiesti. Notiamo ched non può essere dispari perché non esistono4 quadrati
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0974 Fonte: apri PDF p.11
Minimum sum of 4 consecutive integers of the same number of divisors
- Goodbye Filippo Falqui Cao The legend says that when the earth trembles or spits out lava, it is the dragons that remind us that they still exist…, Hilcup thinks, observing for one last time the swarm of dragons moving away in the sky. The world believes that there are no four consecutive positive integers with the same number of divisors, but we Berkhoffians know that this is not the case, and we will keep this secret until the time comes when dragons can return in peace. What is the minimum possible value of the sum of these four integers? The solution. Both d the number of divisors of the four consecutive integers required. Let’s note that ched can’t be odd because there aren’t four squares.
Answer: 0974 src_archimede_2026_squadre_finale_mista__Q21