Probabilità che ad+bcd+d^2 sia dispari con 4 lanci
Alla Scuola Matemagica Superiore Gaia Fuselli La prof.ssa Sibilla Riemann, docente di Divinazione, ha dato a ciascun studente un dado magico, ma equo, a forma di tetraedro regolare con 4 facce numerate da 1 a 4. Ciascuno dovrà lanciare il dado 4 volte segnando i risultati ottenuti in ordine chiamandoli (a,b,c,d), ma prima di iniziare a lanciare dovrà prevedere il valore di ad+bcd+d2. Hardy non ha ascoltato una parola della spiegazione e dice «otterrò un valore dispari!». Qual è la probabilità che la previsione di Hardy sia corretta? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: congruenze Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0005 Fonte: apri PDF p.1
Probability that ad+bcd+d^2 is odd with 4 rounds
At the Gaia Fuselli Higher School of Mathematics, Professor Sibilla Riemann, a professor of Divination, gave each student a magical, but equitable, regular tetrahedron-shaped dice with 4 faces numbered from 1 to 4. Each player will have to cast the dice 4 times, marking the results obtained in order by calling them (a,b,c,d), but before starting to cast they will have to predict the value of ad+bcd+d2. Hardy didn’t hear a word of the explanation and says, “I’ll get a weird value!” What’s the probability that Hardy’s prediction is correct? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 0005 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q01
Base B>6 in cui 61 è divisibile per 16
La probabilità quindi sarà P(d dispari)·P(a ha la stessa parità di bc) = 1 2 · 1 2 = 1 4 e quindi la risposta è 1+4 = 5.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0029 Fonte: apri PDF p.1
Base B>6 where 61 is divisible by 16
So the probability then is P(d odd)·P(a has the same parity as bc) = 1 2 · 1 2 = 1 4 and so the answer is 1 + 4 = 5.
Answer: 0029 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q02
Distanza PS in dodecagono regolare con intersezioni diagonali
Lezione di tattica Leonardo Franchi Il campo di Quamditch ha la forma di un dodecagono regolare. La capitana della squadra di Rapportaureo, Katherine Johnson, vuole provare uno schema: detti A,B,C,D,E cinque vertici consecutivi del dodecagono, mette Henri Perelman nel punto P, intersezione delle rette AC e BD, e il suo gemello Smale nel punto S, intersezione delle rette BD e CE. Dice a Hardy, il Cercatore di Dimostrazioni della squadra, che P e C distano 1000 bacchette, e gli chiede di calcolare la distanza (in bacchette) tra Perelman e Smale. Hardy non sbaglia. Cosa risponde Hardy? Gara a Squadre 2026 – Semifinale 1 – Testi dei problemi – 1/6
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1732 Fonte: apri PDF p.1
PS distance in regular dodecagon with diagonal intersections
The Quamditch field has the shape of a regular dodecagon. The captain of the Rapporteur’s team, Katherine Johnson, wants to try out a scheme: called A,B,C,D,E five consecutive vertices of the dodecahedron, puts Henri Perelman in point P, intersection of the AC and BD directions, and his twin Smale in point S, intersection of the BD and CE directions. He tells Hardy, the team’s Demonstration Seeker, that P and C are 1000 vertices apart, and asks him to calculate the distance (in vertices) between Perelman and Smale. Hardy’s not wrong. What does Hardy say? Team competition 2026 Semifinal 1 Problem tests 1/6
Answer: 1732 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q03
Destinazioni da cui tornare a scuola con regole passaggi
Passaggi segreti sola andata Gaia Fuselli Dalla Scuola Matemagica Superiore, identificata dal numero 1, si dipanano 100 passaggi segreti (solo andata) per altrettante destinazioni, numerate con 0 e da 2 a 100. I gemelli Perelman le conoscono tutte e sanno che le destinazioni dalla 2 alla 9 sono abbastanza vicine alla scuola da permettere sempre di tornare indietro; la destinazione 0 è invece la temibile prigione di Arctan, da cui nessuno è mai uscito. Le altre mete seguono regole diverse: se il numero x della destinazione è primo o termina con zero, da essa non ci sono passaggi segreti verso altre destinazioni; altrimenti, detta u la cifra delle unità di x, dalla destinazione x c’è un passaggio verso la destinazione x −2u −2. Quante sono le destinazioni (scuola inclusa) dalle quali è possibile tornare a scuola, eventualmente usando più di un passaggio segreto?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0037 Fonte: apri PDF p.1
Destinations from which to return to school with step rules
Gaia Fuselli’s secret passages from the Higher Mathematical School, identified by the number 1, cover 100 secret passages (only passages) for as many destinations, numbered 0 and 2 to 100. The Perelman twins know them all and know that destinations 2 to 9 are close enough to the school to allow you to always go back; destination 0 is the dreaded Arctan prison, from which no one has ever left. The other targets follow different rules: if the number x of the destination is prime or ends with zero, there are no secret steps from it to other destinations; otherwise, given the number of units of x, from destination x c is a step to destination x −2u −2. How many destinations (including school) is it possible to return to school from, possibly using more than one secret passage?
Answer: 0037 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q04
Somma alternata a/9-(a/9)^2 da 1 a 10
La prima della classe Francesco Laganà Hermita non si smentisce mai: è stata la prima a rispondere correttamente alla domanda posta dalla professoressa Vector, docente di Aritmanzia. Ella ha chiesto di usare le tavole numerologiche per calcolare
1 9 − 1 9 2! −
2 9 − 2 9 2! +
3 9 − 3 9 2! −··+
9 9 − 9 9 2! −
10 9 − 10 9 2! . Cosa ha risposto Hermita? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Algebra Metodo: Sfruttamento della simmetria Area: Algebra e Analisi Risposta: 0091 Fonte: apri PDF p.1
Summary alternate to/9-(a/9)^2 from 1 to 10
Francesco Laganà Hermita, the first in her class, was the first to correctly answer the question posed by Professor Vector, a professor at Aritmanzia. She asked us to use the number tables to calculate
1 9 − 1 9 2! −
2 9 − 2 9 2! +
3 9 − 3 9 2! −··+
9 9 − 9 9 2! −
10 9 − 10 9 2! . What did Hermit replied? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 0091 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q05
Somma numeri nei quadratini di quadrati annidati
Punizioni che contano Giuseppe Mascellani Anche questa volta Ron deve scontare la punizione inflitta dalla prof.ssa Dolores Unboundrige. Ron prende pazientemente il suo quaderno di pergamene quadrettate e inizia a disegnare su ogni pergamena un quadrato diverso. Il quadrato Q1 ha lato 1 quadretto, il quadrato Q2 ha lato 2, e così via fino a Q11, che ha lato 11. Quindi riparte dalla prima pergamena e nel quadrato Q1 Ron scrive 11; nei quattro quadratini di Q2 scrive 10; in ogni quadratino 1×1 contenuto in Q3 scrive il numero 9; e così via fino a scrivere 1 in tutti i quadratini di Q11. La perfida prof.ssa Unboundrige sarà soddisfatta solo quando Ron le dirà la somma di tutti i numeri scritti nei quadratini. Quale numero permette a Ron di scontare la sua pena?
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1716 Fonte: apri PDF p.2
sum of numbers in squares of nested squares
Punishments that count Giuseppe Mascellani Even this time Ron must serve the punishment inflicted by Professor Dolores Unboundrige. Ron patiently takes his book of square scrolls and begins to draw a different square on each scroll. The square Q1 has side 1 square, the square Q2 has side 2, and so on until Q11, which has side 11. Then he starts from the first scroll and in the square Q1 Ron writes 11; in the four squares of Q2 he writes 10; in each square 1×1 contained in Q3 he writes the number 9; and so on until he writes 1 in all the squares of Q11. The treacherous Professor Unboundrige will only be satisfied when Ron tells her the sum of all the numbers in the squares. What number allows Ron to serve his sentence?
Answer: 1716 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q06
AG^2 con triangoli equilateri su quadrato
Il quadrato decorato Pietro Scaglioni Svolgendo il compito di Geomanzia, Hardy disegna un quadrato ABCD di lato 10 millibacchette; Ron costruisce due triangoli equilateri: ABE interno al quadrato e BCF esterno al quadrato. Hermita completa la configurazione aggiungendo il triangolo equilatero EFG con G dalla parte opposta di B rispetto a EF. L’incantesimo si attiverà declamando quanto vale AG2 (in millibacchette quadre). Cosa devono dire i tre amici? A B C D E F G H K J
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0573 Fonte: apri PDF p.2
AG^2 with equilateral triangles on a square
The decorated square Pietro Scaglioni By completing the task of Geomancy, Hardy draws an ABCD square of side 10 millibacches; Ron constructs two equilateral triangles: ABE inside the square and BCF outside the square. Hermite completes the configuration by adding the equilateral triangle EFG with G on the opposite side of B to EF. The spell will be triggered by declaring the value of AG2 (in square millibatches). What are the three friends supposed to say? A B C D E F G H K J
Answer: 0573 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q07
Somma n con K_n=729 in successione ricorsiva geometrica
Prova di lealtà Giuseppe Mascellani Il matemago più cattivo di sempre, Colui-che-non-può-essere-dimostrato, testa la lealtà dei suoi seguaci proponendo il seguente quesito. Dato un intero positivo a, definisce K0 = 1 e, per ogni n ≥0, Kn+1 = Kn +aKn−1 +…+anK0. Chiede poi di determinare la somma di tutti gli interi positivi n per cui è possibile che Kn = 729. Cosa devono rispondere i seguaci, per aver salva la vita?
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.3
sum n with K_n=729 in geometric recursive sequence
Proof of loyalty Giuseppe Mascellani The most evil mathematician ever, The One-who-can-not-be-proved, tests the loyalty of his followers by proposing the following question. Given a positive integer a, it defines K0 = 1 and, for each n ≥0, Kn+1 = Kn +aKn−1 +…+anK0. He then asks to determine the sum of all positive integers n so it’s possible that Kn = 729. What must followers say to save lives?
Answer: 0016 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q08
Configurazioni gettoni con colonne non crescenti
Magic-force-4 Angelo Giustiniani Ron sta aspettando il suo amico Hardy per sfidarlo in una partita a magic-force-4, un gioco che si fa con gettoni da inserire in una griglia verticale fatta da 6 colonne, in ogni colonna si possono infilare al massimo 7 gettoni uno sopra l’altro. Nell’attesa Ron lascia cadere il primo gettone nella prima colonna a sinistra e questo va ad occupare il posto in basso a sinistra. Quando mette un nuovo gettone, se nel posto alla sinistra del gettone appena inserito c’è già un gettone, allora la mossa è valida. Un’altra mossa valida è inserire un nuovo gettone nella prima colonna a sinistra. Ron può fermarsi quando vuole. Quante sono le configurazioni che Ron può ottenere facendo solo mosse valide (ricordando che ha già messo un gettone)?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1715 Fonte: apri PDF p.3
Configurations of tokens with non-growing columns
Magic-force-4 Angelo Giustiniani Ron is waiting for his friend Hardy to challenge him in a magic-force-4 match, a game that is played with chips to be inserted into a vertical grid made of 6 columns, in each column you can insert up to 7 chips one on top of the other. In the waiting, Ron drops the first token in the first column to the left and this one takes the lower left place. When you put a new token, if there’s already a token on the left side of the token you just put in, then the move is valid. Another valid move is to insert a new token in the first column to the left. Ron can stop whenever he wants. How many configurations can Ron get by just making valid moves (remembering that he’s already put a token in)?
Answer: 1715 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q09
Volume coppa da sviluppo quadrato con esagoni
Coppa delle Case Luca Lamanna Ron è talmente emozionato per l’assegnazione della Coppa delle Case che vuole costruirne una replica di cartone. Comincia ritagliando lo sviluppo piano della coppa: un quadrato di lato 9 cm su ciascuno dei cui lati è costruito un esagono regolare, esterno al quadrato. Ron poi l’assembla, facendo combaciare i lati di esagoni che hanno in comune un vertice e piegando poi gli esagoni verso l’interno, lungo la diagonale maggiore parallela ai lati del quadrato. In questo modo la coppa, che ha un foro quadrato in cima, è pronta. Qual è il suo volume (in cm3)?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2405 Fonte: apri PDF p.3
Volume of square development cup with hexagons
House Cup Luca Lamanna Ron is so excited about the House Cup that he wants to build a replica of it. It begins by carving out the flat development of the cup: a 9 cm side square on each side of which a regular hexagon is constructed, outside the square. Ron then assembles it, matching the sides of hexagons that have a vertex in common and then bending the hexagons inwards, along the major diagonal parallel to the sides of the square. This way the cup, which has a square hole at the top, is ready. What is its volume (in cm3)?
Answer: 2405 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q10
Interi differenza somma di due quadrati in [-256,256]
Stanza delle Condizioni Necessarie Gaia Fuselli Nella Stanza delle Condizioni Necessarie c’è tutto ciò che serve a un matemago. Luna Lovegödel stava cercando gli interi n compresi tra −256 e 256, estremi inclusi, che si possano scrivere come differenza tra la somma di due quadrati e la somma di altri due quadrati (quadrati di opportuni numeri interi, anche uguali). Quanti diversi numeri n ha trovato Luna?
Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0513 Fonte: apri PDF p.4
Integer difference sum of two squares in [-256,256]
In the Room of Necessary Conditions there is everything a mathematician needs. Luna Lovegödel was looking for the integers n between −256 and 256, extremes included, which can be written as the difference between the sum of two squares and the sum of two other squares (squares of appropriate integers, also equal). How many different n numbers did Luna find?
Answer: 0513 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q11
Colorazioni 18 scudi con 13 coppie adiacenti uguali
Sfida sugli scudi Eugenio Trovarelli È il giorno dell’attesa sfida di Quamditch tra la squadra di Rapportaureo e quella di Perognesiste, capitanata da Cedric Villany. Hardy nota che in fondo al campo di gara sono appesi 18 scudi in fila, ciascuno dipinto con il colore di una delle due case (rosso o giallo), e che il numero di scudi gialli è strettamente maggiore del numero di scudi rossi. Prima di salire sulla sua scopa, Hardy, un po’ nervoso, osserva di sfuggita che, tra tutte le coppie di scudi adiacenti, esattamente 13 sono formate da scudi dello stesso colore. Quante sono le possibili colorazioni degli scudi?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2156 Fonte: apri PDF p.4
Colors 18 shields with 13 equal adjacent pairs
Challenge on the shields Eugenio Trovarelli It is the day of the long-awaited Quamditch challenge between the team of Rapportaureo and that of Perognesiste, captained by Cedric Villany. Hardy notes that at the end of the racecourse there are 18 shields in a row, each painted with the color of one of the two houses (red or yellow), and that the number of yellow shields is strictly greater than the number of red shields. Before climbing on his broom, Hardy, a little nervous, observes by accident that, of all the adjacent shield pairs, exactly 13 are made up of shields of the same color. How many possible shield colors are there?
Answer: 2156 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q12
Ampiezza angolo AED con bisettrici interne ed esterne
Pianta del pub [⋆] Leonardo Franchi 24° 24° 80° 80° 68° 32° A B C D E La sala del pub Tre manici topologici ha la pianta a forma di triangolo ABC con angoli ˆA = 100°, ˆB = 48°, ˆC = 32°. Il bancone è posto nel punto E su BC tale che
AEB = 112°. Detto D il punto di AC che è piede della bisettrice da B, la barista sa che può sorvegliare l’ingresso dall’angolo
AED. Qual è l’ampiezza di quest’ultimo (in gradi)?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0034 Fonte: apri PDF p.5
AED angle amplifier with internal and external screws
Plant of the pub [⋆] Leonardo Franchi 24° 24° 80° 80° 68° 32° A B C D E The pub hall Three topological arms have the triangle-shaped plant ABC with angles ˆA = 100°, ˆB = 48°, ˆC = 32°. The counter shall be placed at point E above BC such that \ AEB = 112°. Since D is the AC point that is the foot of the receiver from B, the bartender knows that she can monitor the entrance from the AED angle. What is the width of the latter (in degrees)?
Answer: 0034 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q13
Giorni minimi con altezze in progressione aritmetica
Mandragore preziose Alessandro Lombardo Pomona Springer, docente di Erbologia, cura in una serra segreta le sue preziose 2025 mandragore, inizialmente tutte alte 109 nanobacchette (nb), cioè una bacchetta. Ogni giorno annaffia esattamente 101 mandragore distinte. A fine giornata le mandragore che quel giorno sono state annaffiate crescono di 1 nb, mentre le altre si riducono di 1 nb. Un giorno, prima di innaffiare le mandragore, la prof. Springer decide di ordinare i vasi delle mandragore mettendoli in ordine dalla più bassa alla più alta. Nel compiere questa azione si accorge che le piante hanno tutte altezze diverse e che la differenza di altezza tra due piante consecutive rimane costante. Quanti giorni sono trascorsi, come minimo, da quel dì in cui ella iniziò a prendersi cura delle mandragore?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, monovarianti Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2275 Fonte: apri PDF p.5
Minimum days with heights in arithmetic progression
Alessandro Lombardo Pomona Springer, a professor of herbology, cures in a secret greenhouse his precious 2025 mandrake, initially all high 109 nanobucets (nb), that is, a stick. Every day, it waters exactly 101 distinct mandrels. At the end of the day, the mandrels that were watered that day grow by 1 nb, while the others decrease by 1 nb. One day, just before the mandrels were to be watered, Springer decides to arrange the almond pots by arranging them from lowest to highest. When performing this action, it is noticed that all plants have different heights and that the height difference between two consecutive plants remains constant. How many days have passed, at least, since the day she started taking care of the almonds?
Answer: 2275 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q14
Numero radici reali di p_20 con ricorrenza p_{n+1}=1-p_n^2
Password radicale [⋆] Denis Tusca Hardy, per comunicare in segreto con il suo padrino Sirius Schwarz, ha convenuto di mettere una password agli specchi gemelli. Preso p0(x) = x e pn+1(x) = 1−pn(x)2 per ogni n naturale, la password è il numero di radici reali, contate con molteplicità, del polinomio p20(x). Qual è la password?
Topic: successioni, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Area: Algebra e Analisi Risposta: 3070 Fonte: apri PDF p.5
Real root number of p_20 with recurrence p_{n+1}=1-p_n^2
Denis Tusca Hardy, to communicate in secret with his godfather Sirius Schwarz, agreed to put a password on the twin mirrors. Taking p0(x) = x and pn+1(x) = 1−pn(x) 2 for every natural n, the password is the number of real roots, multiplied, of the polynomial p20(x. What’s the password?
Answer: 3070 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q15
GC+FC con triangoli equilateri e circonferenza Γ
Partita di Quamditch Guido Lido Nel campo di Quamditch sono poste due ceste in C e D e poi due arbitri in A e B, in maniera che ACD e BCD siano equilateri ma non coincidenti. La squadra di Rapportaureo (composta da Hardy, Hermita, Ron e Norris) deve segnare in C. Tuttavia per segnare un punto regolare il tiratore deve avere un giocatore pivot tale che essi siano allineati con B, che formino un triangolo equilatero con A e il tiratore sia più vicino alla cesta C del pivot. Hardy e Hermita (posti in E ed G) sono pronti a segnare come tiratori, avendo come pivot rispettivamente Ron e Norris (posti in F ed H). Sappiamo inoltre che
ABE = 45°e che
ABH = 75°, e E e G sono dalla stessa parte di C rispetto alla retta AB. Sapendo che EF misura 300 bacchette, determinare GC +FC (in bacchette).
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0424 Fonte: apri PDF p.6
GC+FC with equilateral triangles and circumference Γ
In the Quamditch field two baskets are placed in C and D and then two arbiters in A and B, so that ACD and BCD are equilateral but not coincident. The Rapporteur’s team (composed of Hardy, Hermita, Ron and Norris) must score in C. However, to score a regular point the shooter must have a pivot player such that they are aligned with B, form an equilateral triangle with A and the shooter is closer to the basket C of the pivot. Hardy and Hermita (placed in E and G) are ready to score as shooters, with Ron and Norris (placed in F and H) as their pivot respectively. We also know that \ ABE = 45° and that \ ABH = 75°, and E and G are on the same side of C as with straight AB. Knowing that EF measures 300 rods, determine GC +FC (in rods).
Answer: 0424 src_archimede_2026_squadre_semifinale1__Q16