Modi di scegliere quantita di problemi per materia con vincoli
Sapendo che (2h −1)2 = h(4h + 1), qual è il valore di 3h + 1 ?
- (A) 4/3
- (B) 3/2
- (C) 8/5
- (D) 4/5
- (E) 5/2
Topic: Combinatoria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.3
How to choose the number of problems per subject with constraints
Now, if we know that (2h −1)2 = h(4h + 1), what’s the value of 3h + 1?
- (A) 4/3
- (B) 3/2
- (C) 8/5
- (D) 4/5
- (E) 5/2
Answer: A src_archimede_2026_triennio__Q01
Disposizioni di cavalieri/furfanti a tavola rotonda, a meno di rotazione
Una scatola contiene 40 biglie rosse. Andrea aggiunge altre biglie nella scatola, di colore blu. Quante biglie blu deve aggiungere, come minimo, perch´e le biglie blu siano più del 25% del totale?
- (A) 10
- (B) 14
- (C) 13
- (D) 12
- (E) 11
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Round-table riders’ or skydivers’ positions, excluding rotation
One box contains 40 red balls. Andrea adds more seeds to the blue box. How many blue balls does he have to add, at least, because blue balls are more than 25% of the total?
- (A) 10
- (B) 14
- (C) 13
- (D) 12
- (E) 11
Answer: B src_archimede_2026_triennio__Q02
Eta marziano/venusiana, anni trascorsi multiplo di 3
Consideriamo i numeri 20253, 20259, 202527, … , 2025(32025), ossia tutte le potenze del tipo 2025(3n) con 1 ⩽n ⩽2025. Quanti di essi sono quadrati di numeri interi?
- (A) 2025
- (B) nessuno
- (C) 150
- (D) 1012
- (E) 75
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Martian/Venus age, years past multiple of 3
Consider the numbers 20253, 20259, 202527… , 2025(32025), i.e. all the powers of type 2025(3n) with 1 ⩽n ⩽2025. How many of these are squares of integers?
- (A) 2025
- (B) No one
- (C) 150
- (D) 1012
- (E) 75
Answer: D src_archimede_2026_triennio__Q03
Lunghezza CQ dato un quadrato e aree di poligoni
Giulia ha un sacchetto con 17 caramelle alla menta, che vuole condividere con tre amiche e con sua cugina Claudia. Ciascuna di loro, compresa Giulia stessa, dovrà ricevere almeno una caramella; inoltre, per non creare malumori, le tre amiche di Giulia dovranno ricevere lo stesso numero di caramelle. In quanti modi Giulia potrà fare la suddivisione?
- (A) 33
- (B) 36
- (C) 32
- (D) 30
- (E) 35
Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
CQ length given a square and polygon areas
Giulia has a bag of 17 mint candies, which she wants to share with three friends and her cousin Claudia. Each of them, including Julia herself, must receive at least one candy; in addition, in order not to cause any misunderstandings, Julia’s three friends must receive the same number of candy. How many ways will Julia be able to make the cut?
- (A) 33
- (B) 36
- (C) 32
- (D) 30
- (E) 35
Answer: B src_archimede_2026_triennio__Q04
Massimo numero di facce arancioni con probabilita stesso colore 50%
Alice ha un orologio piuttosto strano. C’è il classico quadrante a 12 ore, con la lancetta delle ore e quella dei minuti. Tuttavia, mentre la lancetta dei minuti si muove come al solito (ruotando in senso orario), quella delle ore procede al contrario (in senso anti-orario). Quante volte le due lancette si incroceranno nell’arco di una giornata (ossia da mezzanotte alla mezzanotte successiva, considerando sia l’istante iniziale sia l’istante finale)?
- (A) 27
- (B) 26
- (C) 25
- (D) 24
- (E) 23
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Maximum number of orange faces with 50% likelihood of same colour
Alice has a rather strange watch. There’s the classic 12-hour quadrant, with the hour and minute bid. However, while the minute hand moves as usual (rotating clockwise), the hour hand moves the opposite way (anti-clockwise). How many times will the two bids cross each other over the course of a day (i.e. from midnight to midnight the following day, considering both the initial and final bids)?
- (A) 27
- (B) 26
- (C) 25
- (D) 24
- (E) 23
Answer: D src_archimede_2026_triennio__Q05
massimo divisore = k volte minimo divisore >1
Nell’isola dei cavalieri e dei furfanti, ciascun abitante o è un cavaliere (che dice sempre la verità) o è un furfante (che mente sempre). La classe di Dino è formata da 23 alunni in tutto. Il suo compagno di banco Filippo dichiara: “in classe nostra ci sono precisamente 13 furfanti”. Altri 10 compagni affermano poi: “Dino è un cavaliere”, gli altri 11 dicono invece: “Dino è un furfante”. Dino preferisce non sbilanciarsi e resta in silenzio. Quanti sono i cavalieri presenti nella classe?
- (A) 12
- (B) non si può stabilire
- (C) 13
- (D) 10
- (E) 11
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
maximum divider = k times minimum divider >1
On the island of knights and crooks, every inhabitant is either a knight (who always tells the truth) or a crook (who always lies). Dino’s class is made up of 23 students in total. His fellow banker Philip says: “There are precisely 13 thieves in our classroom. Another 10 companions then say: Dino is a knight, the other 11 say instead: Dino is a cunning. Dino prefers not to lose his balance and is silent. How many knights are in the class?
- (A) 12
- (B) It is not possible to establish
- (C) 13
- (D) 10
- (E) 11
Answer: E src_archimede_2026_triennio__Q06
Area cerchio da corde perpendicolari, teorema delle corde
I lati del quadrato ABCD misurano 3 cm. I lati del quadrato EFGH dividono i lati di ABCD in tre parti uguali. Quanti cm2 misura l’area di EFGH? A B C D E F G H
- (A) 25/3
- (B) 9
- (C) 8
- (D) 16 3 √ 2
- (E) 6 √ 2
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Around area of perpendicular strings, theorem of strings
The sides of the square ABCD measure 3 cm. The sides of the EFGH square divide the sides of the ABCD into three equal parts. How many cm2 does the EFGH area measure? A B C D E F G H
- (A) 25/3
- (B) 9
- (C) 8
- (D) 16 3 √ 2
- (E) 6 √ 2
Answer: C src_archimede_2026_triennio__Q07
Polinomio che concatena cifre 4, valore p(10)
Enrico sta scrivendo, in ordine alfabetico, tutti i possibili anagrammi della parola NUMERO. Quale posizione occupa la parola NUMERO in questo elenco?
- (A) la 341a
- (B) la 344a
- (C) la 361a
- (D) la 337a
- (E) la 336a
Topic: Algebra, successioni Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
*Polynomial containing 4 digits, value p(10) *
Henry is writing, in alphabetical order, all the possible anagrams of the word NUMERO. What position does the word NUMBER occupy in this list?
- (A) la 341a
- (B) la 344a
- (C) la 361a
- (D) la 337a
- (E) la 336a
Answer: B src_archimede_2026_triennio__Q08
Coppie di palindromi di 4 cifre con differenza palindroma
Il numero reale k soddisfa la relazione −1 < k < 0. Si può concludere che …
- (A) 1 k < k2 < k3 < 1 k2
- (B) k < 1 k < k2 < 1 k2
- (C) 1 k < k3 < 1 k2 < k2
- (D) 1 k < k3 < k2 < 1 k2
- (E) k3 < 1 k < k2 < 1 k2
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.4
Pairs of 4-digit palindromes with palindromic difference
The real number k satisfies the ratio −1 < k < 0. You can conclude that …
- (A) 1 k < k2 < k3 < 1 k2
- (B) k < 1 k < k2 < 1 k2
- (C) 1 k < k3 < 1 k2 < k2
- (D) 1 k < k3 < k2 < 1 k2
- (E) k3 < 1 k < k2 < 1 k2
Answer: C src_archimede_2026_triennio__Q09
Coppie (a,b) con polinomio intero p(5,1)=a, p(17,19)=b
I lati AB e BC del triangolo ABC sono suddivisi in 3 parti uguali dai punti P, Q e R, S. Si sa che l’area del triangolo ABC è di 120 m2. Preso un punto X qualsiasi del lato CA, quanti m2 misura, come minimo, l’area del quadrilatero ombreggiato? A B C X P Q R S
- (A) 64/3
- (B) 24
- (C) 20
- (D) 18
- (E) 81/4
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.4
Pairs (a,b) with an integer polynomial p(5,1)=a, p(17,19)=b
The sides AB and BC of the triangle ABC are divided into 3 equal parts by the points P, Q and R, S. We know that the area of the ABC triangle is 120 m2. Taking any point X on the CA side, how many m2 does the area of the shaded quadrilateral at least measure? A B C X P Q R S
- (A) 64/3
- (B) 24
- (C) 20
- (D) 18
- (E) 81/4
Answer: B src_archimede_2026_triennio__Q10
Somma valori angolo CAB in trapezio con condizioni su P
I numeri naturali a, b, c sono primi e soddisfano la relazione abc = 3 (a+b+c)+1. Quale può essere, al massimo, il valore della quantità 5a + 3b + c ?
- (A) 79
- (B) 73
- (C) 75
- (D) 71
- (E) 77
Topic: Geometria piana Metodo: congruenze, Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.4
Summary CAB angle values in trapezoid with conditions on P
The natural numbers a, b, c are prime and satisfy the ratio abc = 3 (a+b+c) + 1. What is the maximum value of the quantity 5a + 3b + c?
- (A) 79
- (B) 73
- (C) 75
- (D) 71
- (E) 77
Answer: B src_archimede_2026_triennio__Q11
Minimo di x+y con vincoli e equazione con radici
Michela mette in fila, su un ripiano della sua libreria, 5 libri di narrativa, 3 di poesia e 2 libri fotografici, in maniera del tutto casuale. Qual è la probabilità che i libri di poesia vengano a trovarsi tutti e 3 vicini (senza altri libri in mezzo a loro)?
- (A) 1/24
- (B) 1/72
- (C) 1/120
- (D) 3/10
- (E) 1/15
Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Minimum of x+y with constraints and equation with roots
Michela puts in line, on a shelf of her library, 5 books of fiction, 3 books of poetry and 2 books of photography, in a completely random way. What is the probability that all three books of poetry will be found next door (without other books in between)?
- (A) 1/24
- (B) 1/72
- (C) 1/120
- (D) 3/10
- (E) 1/15
Answer: E src_archimede_2026_triennio__Q12
Allenamento di corsa/cammino, valore x per finire a casa
Giorgio ha una tabella quadrata formata da 4 × 4 caselle. Vuole disporre delle monete su alcune caselle (non più di una per casella), in modo che ciascuna riga e ciascuna colonna contengano un numero dispari di monete. Quante sono le possibili configurazioni?
- (A) 450
- (B) 441
- (C) 576
- (D) 480
- (E) 512
Topic: Algebra Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 50 Fonte: apri PDF p.4
Running/walking training, value x to finish home
George has a square table of 4 × 4 boxes. It wants to have coins on some boxes (no more than one per box), so that each row and each column contains an odd number of coins. How many configurations are possible?
- (A) 450
- (B) 441
- (C) 576
- (D) 480
- (E) 512
Answer: 50 src_archimede_2026_triennio__Q13
Terne (x,y,z) con x+y+z+MCD(x,y,z)=24
Un quadrato di lato 4 cm contiene tre cerchi, tangenti tra loro e tangenti ai lati del quadrato, come nella figura qui a fianco. I cerchi α e β hanno lo stesso raggio. Quanti cm misura il raggio di γ ? α β γ
- (A) 7/6
- (B) 1
- (C) 5/4
- (D) 9/8
- (E) 10/9
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 298 Fonte: apri PDF p.4
Terns (x,y,z) with x+y+z+MCD(x,y,z) = 24
A square of 4 cm side contains three circles, tangent to each other and tangent to the sides of the square, as in the figure next to it. The circles α and β have the same radius. How many centimetres does the radius of γ measure ? α β γ
- (A) 7/6
- (B) 1
- (C) 5/4
- (D) 9/8
- (E) 10/9
Answer: 298 src_archimede_2026_triennio__Q14
Triangolo isoscele con BC=BP, rapporto BC/AB e parallelogramma
Emma è impegnata a colorare le facce di un gran numero di cubi. Ha a disposizione 7 colori diversi. In ciascun cubo, vuole colorare 1 faccia di un colore, altre 2 facce di un altro colore e le altre 3 di un altro colore ancora. Quanti cubi, al massimo, potrà colorare in modi tra loro differenti? (le colorazioni di due cubi vanno considerate uguali se, muovendoli in qualsiasi maniera, essi non appaiono distinguibili dai colori delle facce)
- (A) 630
- (B) 840
- (C) 420
- (D) 1050
- (E) 210
Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio, Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.5
Isosceles triangle with BC=BP, ratio BC/AB and parallelogram
Emma is busy painting the faces of a large number of cubes. It’s available in seven different colors. In each cube, you want to color one face of one color, two other faces of another color and the other three of another color. How many cubes, at most, can you color in different ways? (the colours of two cubes shall be considered the same if, moving them in any way, they do not appear distinguishable from the colours of the faces)
- (A) 630
- (B) 840
- (C) 420
- (D) 1050
- (E) 210
src_archimede_2026_triennio__Q15
Griglia 11x11 ciliegi/peschi, condizioni di fioritura
Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza. Indicato con E il punto d’intersezione tra le diagonali AC e BD, si sa che AC = 10 AE e BD = 5 BE. Qual è il rapporto tra la diagonale maggiore e quella minore?
- (A) 2
- (B) 4/3
- (C) 3/2
- (D) 5/4
- (E) 8/5 311
Topic: Combinatoria Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.7
Grid 11x11 cherries/fish, flowering conditions
The quadrilateral ABCD is inscribed in a circumference. Indicated by E as the intersection point between the AC and BD diagonals, AC = 10 AE and BD = 5 BE. What’s the relationship between the major and the minor diagonal?
- (A) 2
- (B) 4/3
- (C) 3/2
- (D) 5/4
- (E) 8/5 311
src_archimede_2026_triennio__Q16
Terne (a,b,c) con a!=2^b+2^c
[Problema non presente] La prova Archimede 2026 Gara Triennio (27 novembre 2025) è costituita da soli 16 problemi. Il problema 17 non esiste in questo documento.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.9
Terns (a,b,c) with a!=2^b+2^c
[No problem present] The Archimedes 2026 Triennial Race (27 November 2025) trial consists of only 16 problems. Problem 17 does not exist in this document.