British Mathematical Olympiad 1973 — Round 1

Variable circle touches two fixed circles; focal property of conics

(i) Two fixed circles are touched by a variable circle at $P$ and $Q$. Prove that $PQ$ passes through one of two fixed points.

(ii) State a true theorem about ellipses or if you like about conics in general of which (i) is a particular case.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo variabile tocca due cerchi fissi; proprietà focale dei coni

(i) Due cerchi fissi sono toccati da un cerchio variabile a $P$ e $Q$. Provare che $PQ$ passa attraverso uno dei due punti fissi.

(ii) Esprimere un vero teorema sulle ellisse o se vi piace su conico in generale di cui (i) è un caso particolare.

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Nine interior points in unit square contain triangle of area 1/8

9 points are given in the interior of the unit square. Prove there exists a triangle of area $\frac{1}{8}$ whose vertices are three of the points.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Nove punti interni in unità quadrata contengono un triangolo di superficie 1/8

9 punti sono dati all’interno del quadrato unitario. Prove che esiste un triangolo di superficie $\frac{1}{8}$ la cui verticale sono tre dei punti.

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String on hemisphere-cylinder surface does not lie in a plane

A curve consisting of the quarter-circle $x^2+y^2=r^2$, $x,y\ge 0$, together with the line segment $x=r$, $-h\le y\le 0$, is rotated about $x=0$ to form a surface of revolution which is a hemisphere on a cylinder. A string is stretched tightly over the surface from the point on the curve $(r\sin \varphi ,-r\cos \varphi )$ to the point $(r,h)$ in the plane of the curve. Show that the string does not lie in a plane if $\tan \varphi >\frac{h}{r}$.

[You may assume spherical triangle formulae such as $\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A$ or $\sin c\cot B=\sin b\cot A-\cos b\cos C$. In a spherical triangle the sides $a$, $b$, $c$ are arcs of great circles and are measured by the angles they subtend at the centre of the sphere.]

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

La corda sulla superficie dell’emisfero-cilindro non si trova in piano

Una curva costituita dal quartiere $x^2+y^2=r^2$, $x,y\ge 0$, insieme al segmento di linea $x=r$, $-h\le y\le 0$, si ruota intorno a $x=0$ per formare una superficie di rivoluzione che è un emisfero su un cilindro. Una stringa è stretta strettamente sulla superficie dal punto della curva $(r\sin \varphi ,-r\cos \varphi )$ al punto $(r,h)$ nel piano della curva. Indicare che la stringa non si trova in un piano se $\tan \varphi >\frac{h}{r}$.

[Si possono assumere formule triangolari sferiche come $\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A$ o $\sin c\cot B=\sin b\cot A-\cos b\cos C$. In un triangolo sferico i lati $a$, $b$, $c$ sono archi di grandi cerchi e sono misurati dagli angoli che essi sottendono al centro della sfera.]

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Conditions on n for n equilateral triangles to tile a convex hexagon

You have a large number of congruent triangular equilateral discs on a table and you want to fit $n$ discs together to make a convex equilangular hexagon (i.e. one whose interior angles are each $120^{\circ }$).

Obviously $n$ cannot be any positive integer. The smallest $n$ is 6, and the next 13. Determine conditions for possible $n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Condizioni su n per n triangoli equilaterali per tessere un esagono converso

Si dispone di un gran numero di dischi equilaterali triangolari congruenti su un tavolo e si desidera mettere insieme i dischi $n$ per creare un esagono convexo equilangulare (cioè un angolo interno di ciascuna $120^{\circ }$).

Ovviamente $n$ non può essere un intero positivo. Il più piccolo $n$ è 6, e il successivo 13. Determinare le condizioni per un possibile $n$.

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Prove infinite set of integers 2^n - 3 with pairwise coprime property

There is an infinite set of positive integers of the form $2^n-3$ with the property $Q$: no two members of the set have a common prime factor.

Suppose there is a finite set $S=\{2^{r_1}-3,2^{r_2}-3,\dots ,2^{r_k}-3\}$ with property $Q$ and $k$ members. Let the prime factors of these $k$ numbers be $p_1,p_2,\dots ,p_s$. Consider the number $N=2^{(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_s-1)}-1\equiv 1(\mathrm{mod}P)$ for every prime $P$ that does not divide $n$. By Fermat’s theorem $2^{p_j-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}_j)$ for every prime $p_j$ that does not divide $n$. Hence $K-3\equiv -1(\mathrm{mod}{p}_j)$, $r+1$ to $t$, and $K-3$ may be added to $S$ to give a larger set with property $Q$.

Give a properly expanded and reasoned proof that there is an infinite set of positive integers of the form $2^n-3$ with property $Q$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove l’insieme infinito di integri 2^n - 3 con coprime in coppia*

C’è un insieme infinito di interi positivi della forma $2^n-3$ con la proprietà $Q$: non due membri dell’insieme hanno un fattore primo comune.

Supponiamo che ci sia un insieme finito $S=\{2^{r_1}-3,2^{r_2}-3,\dots ,2^{r_k}-3\}$ con proprietà $Q$ e $k$ membri. I fattori primi di questi numeri $k$ siano $p_1,p_2,\dots ,p_s$. Considerare il numero $N=2^{(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_s-1)}-1\equiv 1(\mathrm{mod}P)$ per ogni primo $P$ che non divide $n$. Per il teorema di Fermat $2^{p_j-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}_j)$ per ogni primo $p_j$ che non divide $n$. Pertanto $K-3\equiv -1(\mathrm{mod}{p}_j)$, $r+1$ a $t$ e $K-3$ possono essere aggiunti a $S$ per dare un insieme più grande con proprietà $Q$.

Date una prova adeguatamente ampliata e motivata che vi sia un insieme infinito di interi positivi della forma $2^n-3$ con proprietà $Q$.

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Find ratio of boys to girls from probability of agreeing with teacher

In answering general knowledge questions (framed so that each question is answered yes or no) the teacher’s probability of being correct is $b$ or $g$ according as the pupil is a boy or a girl.

The probability of a randomly chosen pupil agreeing with the teacher’s answer is $\frac{1}{2}$.

Find the ratio of the numbers of boys to girls in the class.

Topic: Probabilità, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca il rapporto tra ragazzi e ragazze dalla probabilità di essere d’accordo con l’insegnante

Nel rispondere a domande di conoscenza generale (quadro in modo che ogni domanda sia risolta sì o no) la probabilità che l’insegnante abbia ragione è $b$ o $g$ a seconda che l’allievo sia un ragazzo o una ragazza.

La probabilità che un allievo scelto in modo casuale sia d’accordo con la risposta dell’insegnante è $\frac{1}{2}$.

Trova il rapporto tra il numero di ragazzi e ragazze in classe.

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Find life-expectancy of a Draconian aged 70 from a demographic curve

The life-table issued by the Registrar-General of Draconia shows out of 10,000 live births the number $\ell (y)$ expected to be alive $y$ years later. When $x=60$, $y=4800$. When $x=80$, $y=3205$. For $60\le x\le 100$ the curve $y=Ax(100-x)+\frac{(x-40{)}^2}{B}$ fits the figures in the table very closely, $A$ and $B$ being constants.

Determine the life-expectancy (in years correct to one decimal place) of a Draconian aged 70.

N.B. At age 100 all Draconians are put to death.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca l’aspettativa di vita di un draconiano di 70 anni da una curva demografica

La tabella di vita rilasciata dal segretario generale della Draconia mostra su 10.000 nascite vive il numero $\ell (y)$ che si prevede sarà vivo $y$ anni dopo. Quando $x=60$, $y=4800$. Quando $x=80$, $y=3205$. Per $60\le x\le 100$ la curva $y=Ax(100-x)+\frac{(x-40{)}^2}{B}$ si adatta molto strettamente alle cifre della tabella, $A$ e $B$ essendo costanti.

Determinare l’aspettativa di vita (in anni corretti a un decimale) di un draconiano di 70 anni.

N.B. A 100 anni tutti i draconiani vengono giustiziati.

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Companion matrix for Mobius map compositions; conditions for T^n = I

Call $M_p=\left(\begin{array}{cc}{a}_p& b_p\\ c_p& d_p\end{array}\right)$ the companion matrix for the mapping $T_p:z\mapsto \frac{a_{p}z+b_p}{c_{p}z+d_p}$.

(i) Prove that $M_{12}$ is the companion matrix for the mapping $T_1{T}_2$.

(ii) Find conditions on $a$, $b$, $c$, $d$ so that $T^n=I$ but $T^2\ne I$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Matrice di compagnia per composizioni di mappe Mobius; condizioni per T^n = I

Chiamare la matrice di accompagnamento per la mappatura $M_p=\left(\begin{array}{cc}{a}_p& b_p\\ c_p& d_p\end{array}\right)$.

(i) dimostrare che $M_{12}$ è la matrice di accompagnamento per la mappatura $T_1{T}_2$.

(ii) Trovare condizioni su $a$, $b$, $c$, $d$ in modo che $T^n=I$ ma $T^2\ne I$.

src_bmo1_1973__Q08

Lines L_r (r=1,2,3) defined by a determinant are concurrent

$L_r=\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ a+r\cos \varphi & b+r\sin \varphi & 1\\ 1+r\cos \varphi & a+r\sin \varphi & 1\end{array}\right|$

Show that the lines $L_r=0$, $r=1,2,3$ are concurrent and find the co-ordinates of their concurrence.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Le linee L_r (r=1,2,3) definite da un determinante sono simultanee

$L_r=\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ a+r\cos \varphi & b+r\sin \varphi & 1\\ 1+r\cos \varphi & a+r\sin \varphi & 1\end{array}\right|$

Indicare che le linee $L_r=0$, $r=1,2,3$ sono simultanee e trovare le coordinate della loro concordanza.

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Flowchart for printing integers up to 100 of form a^2 - b^2 - c^2

Construct a detailed flow chart for a computer program to print out all positive integers up to 100 of the form $a^2-b^2-c^2$, where $a$, $b$, $c$ are positive integers and $a\ge b+c$.

There is no need to print in ascending order or to avoid repetitions.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Scheda di flusso per la stampa di numeri interi fino a 100 della forma a^2 - b^2 - c

Costruire un grafico di flusso dettagliato per un programma informatico per stampare tutti gli integri positivi fino a 100 della forma $a^2-b^2-c^2$, dove $a$, $b$, $c$ sono integri positivi e $a\ge b+c$.

Non c’è bisogno di stampare in ordine ascendente o di evitare ripetizioni.

src_bmo1_1973__Q10

Two cylinders rolling on table: equations of motion and differential equation for theta

(i) Two uniform rough right circular cylinders $A$ and $B$, with the same length, have radii $a$, $b$ and masses $M_a$, $M_b$ respectively. $A$ rests with a generator in contact with a rough horizontal table. $B$ rests on $A$, initially in unstable equilibrium, with its axis vertically above $A$‘s. Equilibrium is disturbed; $B$ rolls on $A$ and $A$ rolls on the table. In the subsequent motion the plane containing the axes makes an angle $\theta$ with the vertical. Write down equations giving the angles, forces etc., for the period when there is no slipping. Write down and eliminate a differential equation for $\theta$, stating the principles used. Indicate how the elimination could be done; you are not asked to do it.

(ii) Such a differential equation is, with $k=M_b/m$: $\ddot{\theta }\left(4+2\cos \theta -2{\cos }^2\theta +\frac{k}{2}\right)+{\dot{\theta }}^2\sin \theta (2\cos \theta -1)=\frac{3g(1+k)\sin \theta }{a+b}$ Obtain $\dot{\theta }$ in terms of $\theta$.

[Moment of inertia of a uniform cylinder about its axis is $\frac{1}{2}(\text{mass})(\text{radius}{)}^2$.]

Topic: Geometria solida, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Due cilindri che ruotano su un tavolo: equazioni di movimento e equazione differenziale per theta

(i) Due cilindri circolari a destra $A$ e $B$, di uguale lunghezza, hanno rispettivamente i raggi $a$, $b$ e le masse $M_a$, $M_b$. $A$ si basa su un generatore in contatto con una tavola orizzontale ruvida. $B$ si fonda su $A$, inizialmente in equilibrio instabile, con l’asse verticalmente superiore a $A$. L’equilibrio è disturbato; $B$ ruota su $A$ e $A$ ruota sul tavolo. Nel movimento successivo il piano contenente gli assi fa un angolo $\theta$ con la verticale. Scrivere le equazioni che indicano gli angoli, le forze, ecc., per il periodo in cui non c’è scivolamento. Scrivere e eliminare un’equazione differenziale per $\theta$, indicando i principi utilizzati. Indicare come si potrebbe effettuare l’eliminazione; non vi viene chiesto di farlo.

(ii) Tale equazione differenziale è, con $k=M_b/m$: $\ddot{\theta }\left(4+2\cos \theta -2{\cos }^2\theta +\frac{k}{2}\right)+{\dot{\theta }}^2\sin \theta (2\cos \theta -1)=\frac{3g(1+k)\sin \theta }{a+b}$ Ottenere $\dot{\theta }$ in termini di $\theta$.

[Il momento di inerzia di un cilindro uniforme attorno al suo asse è $\frac{1}{2}(\text{mass})(\text{radius}{)}^2$.]

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