British Mathematical Olympiad 1974 — Round 1

Curve B bisects area between two parabolic curves A and C

The curves $A$, $B$ and $C$ are related in such a way that $B$ “bisects” the area between $A$ and $C$, that is, the area of the region between $B$ and $C$ is equal to the area of the region $Y$ at all points to the left of the curve $B$. Find the equation of the curve $B$ given that the equation of curve $A$ is $y=\frac{4}{3}{x}^2$ and that the equation of curve $C$ is $y=\frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La curva B divide l’area tra due curve paraboliche A e C

Le curve $A$, $B$ e $C$ sono correlate in modo tale che $B$ “bisetti” l’area tra $A$ e $C$, cioè l’area della regione tra $B$ e $C$ è uguale all’area della regione $Y$ in tutti i punti a sinistra della curva $B$. Trova l’equazione della curva $B$ dato che l’equazione della curva $A$ è $y=\frac{4}{3}{x}^2$ e che l’equazione della curva $C$ è $y=\frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$.

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Count partitions of 15 dominoes into three closed-chain subsets

A domino can be represented by an unordered pair of integers. Thus $\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]$ can be represented as $(1,3)$ or $(3,1)$ and the double $\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]$ as $(2,2)$. The set of all 15 dominoes containing two integers from $1,2,3,4,5$ is partitioned into three subsets of five dominoes. The dominoes in each subset form a closed chain, that is $(a,b)(b,c)(c,d)(d,e)(e,a)$ where $a,b,c,d,e$ need not all be different. How many distinct partitions are there? (The order of the three subsets in the partition is immaterial.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le partizioni di 15 domino in tre sottoinsiemi a catena chiusa

Un domino può essere rappresentato da una coppia di integri non ordinati. Pertanto $\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]$ può essere rappresentato come $(1,3)$ o $(3,1)$ e il doppio $\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]$ come $(2,2)$. L’insieme di tutti i 15 domino contenenti due enti da $1,2,3,4,5$ è diviso in tre sottinsiemi di cinque domino. I dominosi di ciascun sottoinsieme formano una catena chiusa, cioè $(a,b)(b,c)(c,d)(d,e)(e,a)$ dove $a,b,c,d,e$ non devono essere tutti diversi. Quante partizioni distinte ci sono? (L’ordine dei tre sottogruppi della partizione è irrilevante.)

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No convex polyhedron has all hexagonal faces

Prove that it is impossible for all the faces of a convex polyhedron to be hexagons.

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Nessun poliedro converso ha tutte le facce esagonali

Dimostra che è impossibile che tutti i volti di un poliedro converso siano esagoni.

src_bmo1_1974__Q03

Find inverse of a structured 16x16 matrix

$M$ is a $16\times 16$ matrix. Each element in the leading diagonal and each element in the bottom row (i.e., 16th row) is $1$. Every other element of the matrix is $\frac{1}{2}$. Find the inverse of $M$.

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca l’inverso di una matrice strutturata 16x16

$M$ è una matrice $16\times 16$. Ogni elemento nella diagonale principale e ogni elemento nella riga inferiore (cioè la sesta riga) è $1$. Ogni altro elemento della matrice è $\frac{1}{2}$. Trova l’inverso di $M$.

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Probability exactly one player holds a complete suit in bridge

A bridge deal is defined as the distribution of 52 ordinary playing cards among four players so that each player has 13 cards. In a bridge deal what is the probability that just one player has a complete suit? (Leave your answer in factorials.)

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Probabilità che esattamente un giocatore abbia un completo in bridge

Un accordo di bridge è definito come la distribuzione di 52 carte di gioco ordinarie tra quattro giocatori in modo che ciascuno abbia 13 carte. In un accordo di bridge, qual è la probabilità che solo un giocatore abbia un completo? (Lascia la tua risposta nei fattoriali.)

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Prove CZ bisects AB given perpendicularity conditions in triangle

$X$ and $Y$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $CA$ and $CB$ respectively, where $P$ is in the plane of triangle $ABC$. $PX=PY$. The straight line through $P$ which is perpendicular to $AB$ cuts $XY$ at $Z$. Prove that $CZ$ bisects $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che CZ divide AB in condizioni di perpendicularità in triangolo

$X$ e $Y$ sono i piedi delle perpendicolari da $P$ a $CA$ e $CB$ rispettivamente, dove $P$ si trova nel piano del triangolo $ABC$. $PX=PY$. La linea retta attraverso $P$, perpendicolare a $AB$, taglia $XY$ a $Z$. Provare che $CZ$ divide $AB$.

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Express cyclic relations between roots of a cubic in terms of coefficients

The roots of the equation $x^3+bx+c=0$ ($bc\ne 0$, $b$ and $c$ real) are $\alpha$, $\beta$ and $\gamma$. Determine $p$, $q$ and $r$ in terms of $b$ and $c$ so that $\beta =p{\alpha }^2+q\alpha +r,\gamma =p{\beta }^2+q\beta +r,\alpha =p{\gamma }^2+q\gamma +r$ and state a condition which ensures that $p$, $q$ and $r$ are real.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Esprimere le relazioni cicliche tra le radici di un cubo in termini di coefficienti

Le radici dell’equazione $x^3+bx+c=0$ ($bc\ne 0$, $b$ e $c$ reale) sono $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$. Determinare $p$, $q$ e $r$ in termini di $b$ e $c$ in modo tale che $\beta =p{\alpha }^2+q\alpha +r,\gamma =p{\beta }^2+q\beta +r,\alpha =p{\gamma }^2+q\gamma +r$ e indicare una condizione che garantisca che $p$, $q$ e $r$ siano reali.

src_bmo1_1974__Q07

Derive Wilson’s and Fermat’s theorems via polynomial product identity

Let $n$ be an odd prime number. It is necessary to write the product ${\prod }_{i=1}^{n-1}(x+i)$ as a polynomial ${\sum }_{j=0}^{n-1}{a}_j{x}^j.$ By considering the product ${\prod }_{i=1}^{n-1}(x+i)$ in two ways, establish the relations $a_{n-1}=1,$ $a_{n-2}=n(n-1)/2,$ $2a_{n-3}=n(n-1)(n-2)/3!+a_{n-2}(n-1)(n-2)/2!,$ $\dots$ $(n-2)a_1=n\cdot a_{n-2}(n-1)+a_{n-3}(n-2)+\cdots +3a_2,$ $(n-1)a_0=1+a_{n-2}+\cdots +a_1.$ Prove $n\mid a_j$ ($j=1,2,\dots ,n-2$) and that $a_0=n-1$; and prove also that when $x$ is an integer $n\mid (x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)-x^{n-1}+1.$ Hence deduce Wilson’s Theorem and Fermat’s Theorem, namely, that when $n$ is prime and $x$ is not a multiple of $n$: $(i)n\mid (n-1)!+1;$ $(ii)n\mid x^{n-1}-1.$ ($p\mid q$ means $p$ divides $q$ leaving no remainder.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Derive Wilson’s and Fermat’s theorems via polynomial product identity

Let $n$ be an odd prime number. It is necessary to write the product ${\prod }_{i=1}^{n-1}(x+i)$ as a polynomial ${\sum }_{j=0}^{n-1}{a}_j{x}^j.$ By considering the product ${\prod }_{i=1}^{n-1}(x+i)$ in two ways, establish the relations $a_{n-1}=1,$ $a_{n-2}=n(n-1)/2,$ $2a_{n-3}=n(n-1)(n-2)/3!+a_{n-2}(n-1)(n-2)/2!,$ $\dots$ $(n-2)a_1=n\cdot a_{n-2}(n-1)+a_{n-3}(n-2)+\cdots +3a_2,$ $(n-1)a_0=1+a_{n-2}+\cdots +a_1.$ Prove $n\mid a_j$ ($j=1,2,\dots ,n-2$) and that $a_0=n-1$; and prove also that when $x$ is an integer $n\mid (x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)-x^{n-1}+1.$ Hence deduce Wilson’s Theorem and Fermat’s Theorem, namely, that when $n$ is prime and $x$ is not a multiple of $n$: $(i)n\mid (n-1)!+1;$ $(ii)n\mid x^{n-1}-1.$ ($p\mid q$ means $p$ divides $q$ leaving no remainder.)

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Time for a vertical rod hinged at base to fall onto a table

A vertical uniform rod of length $2a$ is hinged at its lower end to a frictionless joint secured to a horizontal table. It falls from rest in this unstable position on to the table. Find the time occupied in falling. Comment on your answer.

[You may quote the result $\int (\mathrm{cosec}x)dx=\log |\tan \frac{1}{2}x|$ if you wish.]

Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tempo per cadere su una tavola una barra verticale inclinata alla base

Una barra verticale uniforme di lunghezza $2a$ è inclinata alla sua estremità inferiore ad una giunta senza attrito fissata ad una tavola orizzontale. Cade dal riposo in questa posizione instabile sul tavolo. Trova il tempo impiegato per cadere. Commenta la tua risposta.

[Puoi citare il risultato $\int (\mathrm{cosec}x)dx=\log |\tan \frac{1}{2}x|$ se lo desideri.]

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Gravitational attraction of truncated cone frustum on vertex mass

A right circular cone whose vertex is $V$ and whose semi-vertical angle is $\alpha$ has height $h$ and uniform density. All points of the cone whose distances from $V$ are less than $a$ or greater than $b$, where $0<a<b<h$, are removed. A solid of mass $M$ is left.

Given that the gravitational attraction that a point mass $m$ at $P$ exerts on unit mass at $O$ is $(Gm/O{P}^3)\overrightarrow{OP}$, prove that the magnitude of the gravitational attraction of this solid on unit mass at $V$ is $\frac{3}{2}GM(1+\cos \alpha )/(a^2+ab+b^2).$

Topic: Geometria solida, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Attrazione gravitazionale del frusto conico troncato sulla massa vertebrale

Un cono circolare retto la cui vertica è $V$ e il cui angolo semivertico è $\alpha$ ha altezza $h$ e densità uniforme. Tutti i punti del cono le cui distanze da $V$ sono inferiori a $a$ o superiori a $b$, dove $0<a<b<h$, sono rimossi. Un solido di massa $M$ resta.

Poiché l’attrazione gravitazionale che un punto di massa $m$ a $P$ esercita su massa unità a $O$ è $(Gm/O{P}^3)\overrightarrow{OP}$, dimostrare che la magnitudine dell’attrazione gravitazionale di questo solido su massa unità a $V$ è $\frac{3}{2}GM(1+\cos \alpha )/(a^2+ab+b^2).$

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