British Mathematical Olympiad 1975 — Round 1

Floor function sum of square roots equals 400

Given that $x$ is a positive integer solve $\left[\sqrt{x}\right]+\left[\sqrt[3]{x}\right]+\cdots +\left[\sqrt[k]{x}\right]=400$ (where $[z]$ means the integral part of $z$) and prove your solution is complete.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La somma delle funzioni del pavimento delle radici quadrate è uguale a 400

Dato che $x$ è un intero positivo risolvere $\left[\sqrt{x}\right]+\left[\sqrt[3]{x}\right]+\cdots +\left[\sqrt[k]{x}\right]=400$ (dove $[z]$ significa la parte integrale di $z$) e dimostrare la soluzione è completa.

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Primes partitioned into two sets, products divisibility

The first $n$ prime numbers $2,3,5,\dots ,p_n$ are partitioned into two disjoint sets $A$ and $B$. The primes in $A$ are $a_1,a_2,\dots ,a_m$ and the primes in $B$ are $b_1,b_2,\dots ,b_k$ where $m+k=n$.

The two products ${\prod }_1^m{a}_i^{{\alpha }_i}$ and ${\prod }_1^k{b}_j^{{\beta }_j}$ are formed where the ${\alpha }_i$ and ${\beta }_j$ are any positive integers.

If $d$ divides the difference between these two products prove that either $d=1$ or $d>p_n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Primi divisi in due set, divisibilità dei prodotti

I primi numeri primi $n$ $2,3,5,\dots ,p_n$ sono suddivisi in due gruppi disconnessi $A$ e $B$. I primi di $A$ sono $a_1,a_2,\dots ,a_m$ e i primi di $B$ sono $b_1,b_2,\dots ,b_k$ dove $m+k=n$.

I due prodotti ${\prod }_1^m{a}_i^{{\alpha }_i}$ e ${\prod }_1^k{b}_j^{{\beta }_j}$ si formano quando ${\alpha }_i$ e ${\beta }_j$ sono numeri interi positivi.

Se $d$ divide la differenza tra questi due prodotti si dimostra che $d=1$ o $d>p_n$.

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Pigeonhole: disc with 7 points, two within distance 1

Use the pigeonhole principle (i.e. if more than $n$ objects are put into $n$ pigeonholes then at least one pigeonhole must contain more than one object) to answer the following question.

A disc $S$ is defined as the set of all points $P$ in a plane such that $|OP|<1$, where $|OP|$ is the distance of $P$ from $O$, a given point in the plane, called the centre of the disc.

Prove that if the disc $S$ contains 7 points such that the distance from any of the 7 points to any other is greater than or equal to 1, then one of the 7 points is $O$.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Pigeonhole: disco con 7 punti, due a distanza 1

Utilizzare il principio del buco di piccione (cioè: se più di $n$ oggetti sono inseriti in $n$ fori di piccione, allora almeno un foro di piccione deve contenere più di un oggetto) per rispondere alla seguente domanda.

Un disco $S$ è definito come l’insieme di tutti i punti $P$ in un piano tale che $|OP|<1$, dove $|OP|$ è la distanza di $P$ da $O$, un dato punto del piano, chiamato centro del disco.

Prove che se il disco $S$ contiene 7 punti in modo tale che la distanza da uno dei 7 punti a qualsiasi altro sia maggiore o uguale a 1, allora uno dei 7 punti è $O$.

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Parallel lines through triangle vertices, find ratio k

Three parallel lines $AD$, $BE$, $CF$ are drawn through the vertices of triangle $ABC$ meeting the opposite sides in $D$, $E$, $F$ respectively.

The points $P$, $Q$, $R$ divide $AD$, $BE$, $CF$ respectively in the same ratio $k:1$ and $P$, $Q$, $R$ are collinear. Find the value of $k$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Line parallele attraverso le vertici del triangolo, trovare il rapporto k

Tre linee parallele $AD$, $BE$ e $CF$ sono tracciate attraverso le vertici del triangolo $ABC$ che si incontrano sui lati opposti rispettivamente in $D$, $E$ e $F$.

I punti $P$, $Q$, $R$ dividono $AD$, $BE$, $CF$ rispettivamente nello stesso rapporto $k:1$ e $P$, $Q$, $R$ sono collineari. Trova il valore di $k$.

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Trigonometric sum, function g, limit condition on a

For any positive integer $n$ you are given that $1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{1}\right)\cos \theta +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2}\right)\cos 2\theta +\cdots +\cos 2n\theta =(2\cos \theta {)}^{2n}\cos n\theta$ where there are $2n+1$ terms on the left hand side. All these expressions are defined to be $f(\theta )$. The function $g(\theta )$ is defined by $g(\theta )=1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{1}\right)\cos 2\theta +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2}\right)\cos 4\theta +\cdots +\cos 2n\theta .$ Given that there is no rational $k$ for which $g=kf$, find the values of $a$ for which ${\lim }_{n\to \infty }\frac{g(a)}{f(a)}=\frac{1}{2}.$

Topic: Algebra, Trigonometria Metodo: Telescoping, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Somma trigonometrica, funzione g, condizione limite su a*

Per ogni intero positivo $n$ viene data quella $1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{1}\right)\cos \theta +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2}\right)\cos 2\theta +\cdots +\cos 2n\theta =(2\cos \theta {)}^{2n}\cos n\theta$ dove ci sono termini $2n+1$ sul lato sinistro. Tutte queste espressioni sono definite come $f(\theta )$. La funzione $g(\theta )$ è definita da $g(\theta )=1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{1}\right)\cos 2\theta +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2}\right)\cos 4\theta +\cdots +\cos 2n\theta .$ Dato che non esiste un $k$ razionale per il quale $g=kf$, trova i valori di $a$ per il quale ${\lim }_{n\to \infty }\frac{g(a)}{f(a)}=\frac{1}{2}.$

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Inequality for positive integer n>1, x>y>1

Prove that if $n$ is a positive integer greater than 1 and $x>y>1$, then $\frac{x^{n+1}-1}{x(x^n-1)}>\frac{y^{n+1}-1}{y(y^n-1)}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Inequità per un intero positivo n>1, x>y>1

Prova che se $n$ è un intero positivo superiore a 1 e $x>y>1$, allora $\frac{x^{n+1}-1}{x(x^n-1)}>\frac{y^{n+1}-1}{y(y^n-1)}.$

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Unique real sequence satisfying sum of squares equation

Prove that there is only one set of real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ such that $(1-x_1{)}^2+(x_1-x_2{)}^2+\cdots +(x_{n-1}-x_n{)}^2+x_n^2=\frac{1}{n+1}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza reale unica che soddisfa la somma delle equazioni quadrate

Prove che esiste solo un insieme di numeri reali $x_1,x_2,\dots ,x_n$ tale che $(1-x_1{)}^2+(x_1-x_2{)}^2+\cdots +(x_{n-1}-x_n{)}^2+x_n^2=\frac{1}{n+1}.$

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Wine glass cone: fraction of volume when water level bisects generator

The interior of a wine glass is a right circular cone. The glass is half filled with water and then slowly tilted so that the water starts and continues to spill from a point $P$ on the rim. What fraction of the whole conical interior is occupied by water when the horizontal plane of the water level bisects the generator of the cone furthest from $P$?

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Cono di vetro di vino: frazione del volume quando il livello dell’acqua divide il generatore

L’interno di un bicchiere di vino è un cono a destra circolare. Il bicchiere è a metà riempito di acqua e poi lentamente inclinato in modo che l’acqua inizi e continui a scorrere da un punto $P$ sul bordo. Quale frazione dell’intero interno conico è occupata dall’acqua quando il piano orizzontale del livello dell’acqua divide il generatore del cono più lontano da $P$?

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