Shortest line bisecting area of a triangle
Find, with proof, the length of the shortest straight line which bisects the area of an arbitrarily given triangle. Express in terms of the area of the triangle and one of its angles.
Show that there is a shorter line (not straight) which bisects the area of the given triangle.
Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
L’area di divisione della linea più corta di un triangolo
Trova, con prova, la lunghezza della linea retta più corta che divide l’area di un triangolo arbitrariamente dato. Esprimere in termini di superficie del triangolo e di uno dei suoi angoli.
Mostra che esiste una linea più breve (non retta) che divide l’area del triangolo dato.
Inequality for positive reals x, y, z
Prove that if are positive real numbers then
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Inuguaglianza per i valori reali positivi x, y, z
Dimostra che se sono numeri reali positivi allora
Find small subset meeting all 50 large subsets
are subsets of a finite set . Each subset contains more than half the elements of .
Show that it is possible to find a subset of , having not more than elements, such that each () has an element in common with .
Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Trova un piccolo sottoinsieme che riunisce tutti i 50 grandi sottoinsiemi
sono sottoinsiemi di un insieme finito . Ogni sottoinsieme contiene più della metà degli elementi di .
Mostra che è possibile trovare un sottoinsieme di , contenente non più di elementi, in modo tale che ogni () abbia un elemento in comune con .
19·8^n + 17 is never prime
Prove that if is a non-negative integer then is not a prime number.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
19·8^n + 17 non è mai primo
Prova che se è un intero non negativo, allora non è un numero primo.
Binomial coefficient sum identity with real parameters
Prove that where and are real numbers, and are positive integers with odd and .
denotes the coefficient of in the expansion of .
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Induzione, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Identità della somma dei coefficienti binomiali con parametri reali
Prova che dove e sono numeri reali, e sono interi positivi con pari e .
indica il coefficiente nell’espansione .
Shortest path on cone and sphere meets circle at 45 degrees
A sphere with centre and radius is cut in a circle by a horizontal plane distant above . The part of the sphere above the plane is removed and replaced by a right circular cone having as its base and having its vertex at a distance vertically above .
is a point on the sphere on the same horizontal level as . The plane cuts the circle in two points and , of which is the further from . is a point of the cone lying on , whose position can be determined by the fact that the shortest path from to over the surfaces of cone and sphere cuts the circle at an angle of .
Prove .
[In a spherical triangle the sides are arcs of great circles (centre ) and the sides are measured by the angles they subtend at . You may find these spherical triangle formulae useful: .]
Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
Il percorso più corto sul cono e sulla sfera incontra il cerchio a 45 gradi
Una sfera con centro e raggio è tagliata in un cerchio da un piano orizzontale distante sopra . La parte della sfera sopra il piano viene rimossa e sostituita da un cono circolare destro con la base e il vertice a una distanza verticalmente sopra .
è un punto sulla sfera sullo stesso livello orizzontale di . Il piano taglia il cerchio in due punti e , di cui è il più lontano da . è un punto del cono che si trova su , la cui posizione può essere determinata dal fatto che il percorso più breve da a sulle superfici del cono e della sfera taglia il cerchio ad un angolo di .
Provare .
[In un triangolo sferico i lati sono archi di grandi cerchi (centro ) e i lati sono misurati dagli angoli che essi sottendono a . Potresti trovare utili queste formule triangolari sferiche: .]