British Mathematical Olympiad 1977 — Round 1

Multiplicative f with digit-3 and f(10)=0 conditions implies f=0

A non-negative integer $f(n)$ is assigned to each positive integer $n$ in such a way that the following conditions are satisfied: (i) $f(mn)=f(m)+f(n)$ for all positive integers $m$, $n$; (ii) $f(n)=0$ whenever the final (right-hand) decimal digit of $n$ is $3$; and (iii) $f(10)=0$. Prove that $f(n)=0$ for all positive integers $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Multiplicazione f con le condizioni di cifra 3 e f(10)=0 implica f=0

Un intero non negativo $f(n)$ è assegnato a ogni intero positivo $n$ in modo tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni: (i) $f(mn)=f(m)+f(n)$ per tutti gli integri positivi $m$, $n$; (ii) $f(n)=0$ quando la cifra decimale finale (a destra) di $n$ è $3$; e (iii) $f(10)=0$. Prova che $f(n)=0$ per tutti gli integri positivi $n$.

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Midpoint of BC collinear with midpoints of BX and CY for incircle contact

The sides $BC$, $CA$, $AB$ of a triangle touch a circle at $X$, $Y$, $Z$ respectively. Prove that the midpoint of $BC$ lies on the straight line through the midpoints of $BX$ and $CY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto medio di BC collineare con punti medio di BX e CY per il contatto incircolare

I lati $BC$, $CA$ e $AB$ di un triangolo toccano un cerchio rispettivamente a $X$, $Y$ e $Z$. Prove che il punto medio di $BC$ si trova sulla linea retta attraverso i punti medio di $BX$ e $CY$.

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Symmetric inequality in three non-negative reals; consequence for all reals

(i) Prove that, if $x$, $y$, $z$ are non-negative real numbers, then $x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\ge 0.$ (ii) Hence or otherwise show that for all real numbers $a$, $b$, $c$ $a^4+b^4+c^4+3a^2{b}^2{c}^2\ge 2(b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza simmetrica in tre reali non negativi; conseguenza per tutti i reali

(i) Dimostra che, se $x$, $y$, $z$ sono numeri reali non negativi, allora $x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\ge 0.$ (ii) Dimostra quindi o altrimenti che per tutti i numeri reali $a$, $b$, $c$ $a^4+b^4+c^4+3a^2{b}^2{c}^2\ge 2(b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2).$

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Roots of related quartic expressed via roots of x^4+qx+r=0; bound on real roots

The equation $x^4+qx+r=0$ has roots $v_1,v_2,v_3,v_4$. \quad \ldots (1) Express the roots of $x^4+qx+r=0$ in terms of $v_1,v_2,v_3,v_4$ to show that if $(1)$ has only real roots then $-1<x<3$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Radici di quarticche correlate espresse con radici di x^4+qx+r=0; legate a radici reali

L’equazione $x^4+qx+r=0$ ha radici $v_1,v_2,v_3,v_4$. \quad \ldots (1) Esprimere le radici di $x^4+qx+r=0$ in termini di $v_1,v_2,v_3,v_4$ per mostrare che se $(1)$ ha solo radici reali allora $-1<x<3$.

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Two spheres each externally tangent to five vertex-spheres of octahedron; common point?

$A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ is a regular octahedron whose sides are each of length $2a$. For each $i=1,2,\dots ,5$, $K_i$ is a sphere with centre $A_i$ and radius $r_i$. Each of these spheres $K_1,K_2,\dots ,K_5$ are all touched externally by each of two spheres $P_1$ and $P_2$ of radius $a$. Determine with proof and without tables whether $P_1$ and $P_2$ have or have not a common point.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due sfere ciascuna tangente all’esterno a cinque vertex-sfere di otteedro; punto comune?

$A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ è un ottaedro regolare i cui lati sono di lunghezza $2a$. Per ogni $i=1,2,\dots ,5$, $K_i$ è una sfera con centro $A_i$ e raggio $r_i$. Ciascuna di queste sfere $K_1,K_2,\dots ,K_5$ è toccata all’esterno da ciascuna delle due sfere $P_1$ e $P_2$ del raggio $a$. Determinare con la prova e senza tabelle se $P_1$ e $P_2$ hanno o non hanno un punto comune.

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Decompose 26(x^{2n}+…+1) into polynomials with distinct digit coefficients; find n

The polynomial $26(x^{2n}+x^{2n-2}+\cdots +x^2+1)$, where $n>1$, is to be decomposed into a sum of polynomials, each different. Each of these polynomials is of the form $a_k{x}^k+a_{k-1}{x}^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ where each $a_j$ is one of the numbers $1,2,\dots ,9$ and no two $a_j$ are equal.

Find all the values of $n$ for which this decomposition is possible.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Decomponere 26(x^{2n}+…+1) in polinomi con diversi coefficienti digitali; trovare n

Il polinomio $26(x^{2n}+x^{2n-2}+\cdots +x^2+1)$, dove $n>1$, deve essere decomposto in una somma di polinomi, ognuno diverso. Ciascuno di questi polinomi è di forma $a_k{x}^k+a_{k-1}{x}^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$, dove ogni $a_j$ è uno dei numeri $1,2,\dots ,9$ e non ci sono due $a_j$ uguali.

Trova tutti i valori di $n$ per i quali è possibile questa decomposizione.

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