British Mathematical Olympiad 1978 — Round 1

Point inside triangle with equal perpendicular feet distances

Determine with proof the point $P$ inside a given triangle $ABC$ for which the product $PL\cdot PM\cdot PN$ is minimised, where $L$, $M$, $N$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $BC$, $CA$, $AB$ respectively.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Punto all’interno di un triangolo con distanze perpendicolari uguali di piedi

Determinare con prova il punto $P$ all’interno di un determinato triangolo $ABC$ per il quale il prodotto $PL\cdot PM\cdot PN$ è ridotto al minimo, dove $L$, $M$, $N$ sono i piedi delle perpendicolari da $P$ a $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente.

src_bmo1_1978__Q01

No proper fraction with denominator ≤100 has decimal block 167

Prove that there is no proper fraction $\frac{p}{q}$, with denominator $q\le 100$, whose decimal expansion contains the block of consecutive digits $167$ in that order.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Nessuna frazione corretta con denominatore ≤100 ha blocco decimale 167

Prove che non esiste una frazione corretta $\frac{p}{q}$, con denominatore $q\le 100$, la cui espansione decimale contiene il blocco di cifre consecutive $167$ in tale ordine.

src_bmo1_1978__Q02

Unique integer sequence satisfying u1=1, u1<u2 and Markov-type recurrence

Show that there is one and only one sequence $\{u_n\}$ of integers such that $u_1=1$, $u_1<u_2$, and $u_n^2+1=u_{n-1}\cdot u_{n+1}\text{for all }n>1.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza unica di numeri interi che soddisfa u1=1, u1<u2 e ricorrenza di tipo Markov

Mostrare che esiste una sola e unica sequenza $\{u_n\}$ di integri come $u_1=1$, $u_1<u_2$ e $u_n^2+1=u_{n-1}\cdot u_{n+1}\text{for all }n>1.$

src_bmo1_1978__Q03

Four altitudes of tetrahedron concurrent iff each edge perpendicular to opposite

Prove that the four altitudes of a tetrahedron are concurrent if and only if each edge of the tetrahedron is perpendicular to its opposite edge.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quattro altitudini di tetraedro contemporanee se ciascun bordo è perpendicolare all’opposto

Prova che le quattro altitudini di un tetraedro sono simultanee se e solo se ogni bordo del tetraedro è perpendicolare al suo bordo opposto.

src_bmo1_1978__Q04

Sphere of unit radius inside 15-unit cube contains 13000 given points

Inside a cube of side $15$ units there are $13000$ given points. Prove that there is a sphere of unit radius within which there are at least $6$ of the given points.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La sfera di raggio unitario all’interno di un cubo di 15 unità contiene 13000 punti dati

All’interno di un cubo di unità laterali $15$ ci sono dati $13000$. Prove che esiste una sfera di raggio unitario all’interno della quale ci sono almeno $6$ dei punti dati.

src_bmo1_1978__Q05

If n non-zero integer then 2cosnθ polynomial in 2cosθ; rationality conclusion

Show that if $n$ is a non-zero integer, $2\cos n\theta$ is a polynomial of the $n$th degree in $2\cos \theta$. Hence or otherwise prove that if $k$ is rational then $\cos k\pi$ is either equal to one of the numbers $0$, $\pm \frac{1}{2}$, $\pm 1$, or is irrational.

Topic: Algebra, Trigonometria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Se n è un numero intero non zero allora 2cosnθ polinomio in 2cosθ; conclusione di razionalità

Mostra che se $n$ è un intero non zero, $2\cos n\theta$ è un polinomio del grado $n$th in $2\cos \theta$. In tal modo o in altro modo dimostrare che se $k$ è razionale, allora $\cos k\pi$ è uguale a uno dei numeri $0$, $\pm \frac{1}{2}$, $\pm 1$, o è irrazionale.

src_bmo1_1978__Q06