British Mathematical Olympiad 1979 — Round 1

Find triangle with altitude meeting BC at right angles

Find all triangles $ABC$ for which $AB+AC=2$ cm, $AD+BC=\sqrt{5}$ cm, where $AD$ is the altitude through $A$, meeting $BC$ at right angles in $D$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca un triangolo con altitudine che incontra BC ad angolo retto

Trovare tutti i triangoli $ABC$ per i quali $AB+AC=2$ cm, $AD+BC=\sqrt{5}$ cm, dove $AD$ è l’altitudine attraverso $A$, incontrando $BC$ ad angolazioni rette in $D$.

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Find unique points on rays so three triangles share perimeter 2s

From a point $O$ in 3-D space, three rays $OA$, $OB$, $OC$ emerge, the angles $BOC$, $COA$, $AOB$ being $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ respectively. $0<\alpha ,\beta ,\gamma <\pi$. Prove that, given $2s>0$, there are unique points $X$, $Y$, $Z$ on $OA$, $OB$, $OC$ respectively such that the triangles $YOZ$, $ZOX$ and $XOY$ all have the same perimeter $2s$, and express $OX$ in terms of $s$ and $\sin \alpha$, $\sin \beta$, $\sin \gamma$.

Topic: Geometria solida, Trigonometria Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca punti unici sui raggi in modo che tre triangoli condividano perimetro 2s

Da un punto $O$ nello spazio 3D emergono tre raggi $OA$, $OB$, $OC$, gli angoli $BOC$, $COA$, $AOB$ sono $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ rispettivamente. $0<\alpha ,\beta ,\gamma <\pi$. Prove che, data la $2s>0$, ci sono punti unici $X$, $Y$, $Z$ su $OA$, $OB$, $OC$ rispettivamente in modo tale che i triangoli $YOZ$, $ZOX$ e $XOY$ abbiano tutti lo stesso perimetro $2s$, ed esprimere $OX$ in termini di $s$ e $\sin \alpha$, $\sin \beta$, $\sin \gamma$.

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Sum inequality for set of distinct positive odd integers with distinct differences

$S$ is a set of distinct positive odd integers $\{a_i\}$, $i=1$ to $n$. No two differences $|a_i-a_j|$ are equal, $1\le i<j\le n$. Prove that ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\ge \frac{1}{3}n(n^2+2).$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Induzione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Summa disuguaglianza per insieme di diversi numeri interi unici positivi con differenze distinte

$S$ è un insieme di integri unici positivi distinti $\{a_i\}$, $i=1$ a $n$. Nessuna differenza $|a_i-a_j|$ è uguale, $1\le i<j\le n$. Provare che ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\ge \frac{1}{3}n(n^2+2).$

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Rational functional equation implies f is constant

The function $f$ is defined on the rational numbers and takes only rational values. For all rational $x$ and $y$, $f(x+f(y))=f(x)\cdot f(y).$ Prove that $f$ is consistent.

Topic: Insiemi e funzioni, Equazioni funzionali Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione funzionale razionale implica che f è costante

La funzione $f$ è definita sui numeri razionali e assume solo valori razionali. Per tutte le $x$ e $y$ razionali, $f(x+f(y))=f(x)\cdot f(y).$ dimostri che $f$ è coerente.

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Partition function satisfies convexity inequality p(n+1)-2p(n)+p(n-1)>=0

For $m$ a positive integer denote by $p(m)$ the number of ways of expressing $m$ as the sum of one or more positive integers. Thus $p(4)=5$, because there are 5 different ways, namely $1+1+1+1$, $1+1+2$, $1+3$, $2+2$, $4$. Prove that for $n>1$, $p(n+1)-2p(n)+p(n-1)\ge 0.$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La funzione di partizione soddisfa l’ineguaglianza di convexità p(n+1)-2p(n)+p(n-1)>=0

Per $m$ un intero positivo indica con $p(m)$ il numero di modi di esprimere $m$ come la somma di uno o più interi positivi. Quindi $p(4)=5$, perché ci sono 5 modi diversi, cioè $1+1+1+1$, $1+1+2$, $1+3$, $2+2$, $4$. Prova che per $n>1$, $p(n+1)-2p(n)+p(n-1)\ge 0.$

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No prime in sequence formed by repeatedly appending 0001

Prove that in the infinite sequence of integers $10001$, $100010001$, $1000100010001$, $\dots$ there is no prime number. Note each integer after the first (ten thousand and one) is obtained by adjoining $0001$ to the digits of the previous integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Non esiste un primo in sequenza formato con l’aggiunta ripetuta di 0001

Prova che nella sequenza infinita di enti $10001$, $100010001$, $1000100010001$, $\dots$ non vi è un numero primo. Si noti che ogni numero intero dopo il primo (dieci mila e uno) viene ottenuto adiacendo $0001$ ai numeri del numero intero precedente.

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