British Mathematical Olympiad 1981 — Round 1

Orthocentre circle cuts medial triangle sides, prove equal sums

$H$ is the orthocentre of triangle $ABC$. The midpoints of $BC$, $CA$, $AB$ are $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ respectively. A circle with centre $H$ cuts the sides of triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (produced if necessary) in six points, $D_1$, $D_2$ on $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $E_1$, $E_2$ on $C^{\prime }{A}^{\prime }$, and $F_1$, $F_2$ on $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Prove that $A{D}_1+A{D}_2=B{E}_1+B{E}_2=C{F}_1+C{F}_2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Il cerchio ortocentrico taglia i lati del triangolo medio, dimostrando somme uguali *

$H$ è l’ortocentro del triangolo $ABC$. I punti intermedi di $BC$, $CA$ e $AB$ sono rispettivamente $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$. Un cerchio con centro $H$ taglia i lati del triangolo $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (prodotto se necessario) in sei punti, $D_1$, $D_2$ su $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $E_1$, $E_2$ su $C^{\prime }{A}^{\prime }$ e $F_1$, $F_2$ su $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Prove che $A{D}_1+A{D}_2=B{E}_1+B{E}_2=C{F}_1+C{F}_2$.

src_bmo1_1981__Q01

Alternating sum of products of consecutive integers divisible by n!

$m$ and $n$ are positive integers. $S_n$ is the sum of $m$ terms of $-(n-1)n(n+1)+(n+1)(n+2)(n+3)-(n+3)(n+4)(n+5)+\cdots$ where the terms alternate in sign and each, after the first, is the product of consecutive integers with the last but one omitted.

Prove that $S_n$ is divisible by $n!$ but not necessarily by $n!(n+1)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa alternativa di prodotti di numeri interi consecutivi divisibili per n!

$m$ e $n$ sono integri positivi. $S_n$ è la somma dei termini $m$ di $-(n-1)n(n+1)+(n+1)(n+2)(n+3)-(n+3)(n+4)(n+5)+\cdots$ in cui i termini si alternano in segno e ciascuno, dopo il primo, è il prodotto di numeri interi consecutivi con l’ultimo ma uno omesso.

Provare che $S_n$ è divisibile da $n!$, ma non necessariamente da $n!(n+1)$.

src_bmo1_1981__Q02

Prove two inequalities for positive reals a, b, c

$a$, $b$, $c$ are positive numbers. Prove that

(i) $a^3+b^3+c^3\ge a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$,

(ii) $abc\ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove due disuguaglianze per i valori reali positivi a, b, c

$a$, $b$, $c$ sono numeri positivi. Prove questo .

(i) $a^3+b^3+c^3\ge a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$,

(ii) $abc\ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$.

src_bmo1_1981__Q03

Bound on tetrahedra cut in quadrilateral cross-sections by a plane

$n$ points are given such that no plane passes through four of them. $S$ is the set of tetrahedra whose vertices are $4$ of the $n$ points. A plane does not pass through any of the $n$ points.

Prove that it cannot cut more than $\frac{n^2(n-2)}{4}$ of the tetrahedra of $S$ in quadrilateral cross-sections.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Ribbito su tetraedro tagliato in sezioni incrociate quadrilaterali da un piano

I punti $n$ sono dati in modo tale che nessun aereo passi attraverso quattro di essi. $S$ è l’insieme di tetraedri le cui vertici sono $4$ dei punti $n$. Un piano non passa attraverso nessuno dei punti $n$.

Prova che non può tagliare più di $\frac{n^2(n-2)}{4}$ del tetraedro di $S$ in sezioni incrociate quadrilaterali.

src_bmo1_1981__Q04

Find smallest value of |12^m - 5^n| for positive integers m, n

Find, with proof, the smallest possible value of $\left|12^m-5^n\right|$, where $m$ and $n$ are positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

• Trovare il valore più piccolo di 12^m - 5^n per i numeri interi positivi m, n *

Trova, con prova, il minimo valore possibile di $\left|12^m-5^n\right|$, dove $m$ e $n$ sono interi positivi.

src_bmo1_1981__Q05

Sum of a_i^k / P_i over distinct nonzero integers is always an integer

$a_1,a_2,\dots ,a_n$ are distinct non-zero integers. $P_i={\prod }_{j\ne i}(a_i-a_j)$ is the product of the $(n-1)$ factors $(a_i-a_1)$, $(a_i-a_2)$, $\dots$, $(a_i-a_{n-1})$, the zero factor $(a_i-a_i)$ being excluded.

Prove that if $k$ is a non-negative integer, ${\sum }_{i=1}^n\frac{a_i^k}{P_i}$ is an integer.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La somma di a_i^k / P_i su diversi interi non-zero è sempre un intero

$a_1,a_2,\dots ,a_n$ sono diversi numeri interi non zero. $P_i={\prod }_{j\ne i}(a_i-a_j)$ è il prodotto dei fattori $(n-1)$ $(a_i-a_1)$, $(a_i-a_2)$, $\dots$, $(a_i-a_{n-1})$, escluso il fattore zero $(a_i-a_i)$.

Prova che se $k$ è un intero non negativo, ${\sum }_{i=1}^n\frac{a_i^k}{P_i}$ è un intero.

src_bmo1_1981__Q06