British Mathematical Olympiad 1982 — Round 1

Quadrilateral with interior point; sum of squared distances equals twice area implies square

PQRS is a quadrilateral of area A. O is a point inside it. Prove that if $2A=O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2+O{S}^2$, then PQRS is a square and O is its centre.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale con punto interno; somma delle distanze quadrate pari al doppio dell’area implica quadrato

Il PQRS è un quadrilaterale dell’area A. O è un punto dentro di esso. Prova che se $2A=O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2+O{S}^2$, allora PQRS è un quadrato e O è il suo centro.

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Number in base 2 with exactly three 1-digits; prove evenness conditions

If a number M written in the scale of 2 contains exactly three digits 1, and if it contains exactly six digits 0, then it is even.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numero nella base 2 con esattamente tre cifre a una cifra; prova le condizioni di parità

Se un numero M scritto sulla scala di 2 contiene esattamente tre cifre 1, e se contiene esattamente sei cifre 0, allora è pari.

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Double inequality for partial sums; prove bounds using AM-GM for n>2

If $a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$ and $n>2$, prove that $n(n!{)}^{1/n}<a_n<(n-1)n^b$ where $a$ and $b$ are given in terms of $n$ by $(a-1)n=-1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Induzione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Doppia disuguaglianza per somme parziali; prova i limiti utilizzando AM-GM per n>2

Se $a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$ e $n>2$, dimostrare che $n(n!{)}^{1/n}<a_n<(n-1)n^b$ dove $a$ e $b$ sono dati in termini di $n$ da $(a-1)n=-1$.

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Sequence by recurrence relation; describe behaviour as n tends to infinity

A sequence of real numbers $u_1,u_2,u_3,\dots$ is given by $u_1$ and the recurrence relation $u_n=u_{n-1}+\frac{15}{u_{n-1}},n\ge 2$. By considering the curve $x^2=y+\frac{15}{y}$, or otherwise, describe with proof the behaviour of $u_n$ as $n$ tends to infinity.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza per relazione di ricorrenza; descrivere il comportamento come n tende all’infinito

Una sequenza di numeri reali $u_1,u_2,u_3,\dots$ è data da $u_1$ e la relazione di ricorrenza $u_n=u_{n-1}+\frac{15}{u_{n-1}},n\ge 2$. Considerando la curva $x^2=y+\frac{15}{y}$, o altrimenti, descrivi con prova il comportamento di $u_n$ come $n$ tende all’infinito.

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Cone cross-section ellipse; find condition for two surface routes to intersect

A right circular cone stands on a horizontal base, radius $r$. Its vertex V is at a distance 1 from every point on the perimeter of the base. A plane section of the cone is an ellipse whose lowest point is L and whose highest point is H. On the curved surface of the cone, on one side of the plane VLH, two routes from L to H are marked. $R_1$ is along the semi-perimeter of the ellipse and $R_2$ is the route of shortest length. Find the condition that $R_1$ and $R_2$ intersect between L and H.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Elissa di sezione incrociata conica; trovare la condizione per la intersezione di due percorsi di superficie

Un cono circolare destro si trova su una base orizzontale, di raggio $r$. Il suo vertice V è a una distanza di 1 da ogni punto sul perimetro della base. Una sezione piana del cono è un’ellisse il cui punto più basso è L e il cui punto più alto è H. Sulla superficie curva del cono, su un lato del piano VLH, sono segnate due rotte da L a H. $R_1$ è lungo il semiperimetro dell’ellisse e $R_2$ è il percorso di lunghezza più breve. Trova la condizione che $R_1$ e $R_2$ si intersecano tra L e H.

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Count binary sequences of length n with exactly m zeros

Prove that the number of sequences $a_1,a_2,\dots ,a_n$ with each of their $n$ terms $a_k=0$ or $1$ and containing exactly $m$ occurrences of $0$ is $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare sequenze binarie di lunghezza n con esattamente m zero

Prove che il numero di sequenze $a_1,a_2,\dots ,a_n$ con ciascuna delle loro $n$ termini $a_k=0$ o $1$ e contenente esattamente $m$ eventi di $0$ è $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$.

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