British Mathematical Olympiad 1983 — Round 1

Circumcentre, midpoint, centroid collinearity in triangle

In the triangle $ABC$ with circumcentre $O$, $AB=AC$, $D$ is the midpoint of $AB$ and $E$ is the centroid of triangle $ACD$. Prove that $OE$ is perpendicular to $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circumcento, punto medio, collinearietà del centroide nel triangolo

Nel triangolo $ABC$ con circoncentro $O$, $AB=AC$, $D$ è il punto medio di $AB$ e $E$ è il centroide del triangolo $ACD$. Prove che $OE$ è perpendicolare a $CD$.

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Fibonacci sequence divisibility by m for all n

The Fibonacci sequence $\{f_n\}$ is defined by $f_1=1,f_2=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}(n\ge 2).$ Prove that there are unique integers $a$, $b$, $m$ such that $0<a<m$, $0<b<m$ and $f_n-a{b}^n$ is divisible by $m$ for all positive integers $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

divisibilità della sequenza di Fibonacci per m per tutte le n

La sequenza di Fibonacci $\{f_n\}$ è definita da $f_1=1,f_2=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}(n\ge 2).$ Prove che ci sono enti unici $a$, $b$, $m$ in modo tale che $0<a<m$, $0<b<m$ e $f_n-a{b}^n$ siano divisibili da $m$ per tutti gli enti positivi $n$.

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Sum and product of reciprocals of iterated sequence satisfy identity

The real numbers $x_1,x_2,x_3,\dots$ are defined by $x_1=x,x_{n+1}=x_n^2+1\text{for all }n\ge 1.$ $S_n$ is the sum and $P_n$ is the product of the first $n$ terms of the sequence ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3,\dots$ where ${\gamma }_n=\frac{1}{x_n}$. Show that $x{S}_n+P_n=1$ for all $n$.

Topic: Algebra Metodo: Telescoping, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La somma e il prodotto delle reciprocità della sequenza iterata soddisfano l’identità

I numeri reali $x_1,x_2,x_3,\dots$ sono definiti da $x_1=x,x_{n+1}=x_n^2+1\text{for all }n\ge 1.$ $S_n$ è la somma e $P_n$ è il prodotto dei primi termini $n$ della sequenza ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3,\dots$ dove ${\gamma }_n=\frac{1}{x_n}$. Indicare che $x{S}_n+P_n=1$ per tutti $n$.

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Shortest path from dome high point to cylinder base corner

The two cylindrical surfaces $x^2+y^2=1,|y|\le a,x>0$ and $y^2+z^2=1,x>0,|x|\le a$ intersect and together with the plane $z=0$ enclose a dome-like shape which is here called a “cupola”. The cupola is placed on top of a vertical tower of height $h$ whose horizontal cross-section is a square of side $2a$. Find the shortest distance from the highest point of the cupola to a corner of the base of the tower, over the surface of the cupola and tower.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il percorso più corto dal punto alto della cupola all’angolo della base del cilindro

Le due superfici cilindriche $x^2+y^2=1,|y|\le a,x>0$ e $y^2+z^2=1,x>0,|x|\le a$ si incrociano e insieme al piano $z=0$ si inseriscono in una forma di cupola che viene chiamata qui una “cupola”. La cupola è collocata sulla cima di una torre verticale di altezza $h$ la cui sezione trasversale orizzontale è un quadrato di lato $2a$. Trova la distanza più breve dal punto più alto della cupola a un angolo della base della torre, sopra la superficie della cupola e della torre.

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Ten points in circle of diameter 5 inches: two within 2 inches

If $10$ points are within a circle of diameter $5^{\prime \prime }$, prove that the distance between some $2$ of the points is less than $2^{\prime \prime }$.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Dicenni punti in un cerchio di diametro di 5 pollici: due entro 2 pollici

Se i punti $10$ sono all’interno di un cerchio di diametro $5^{\prime \prime }$, dimostrare che la distanza tra alcuni $2$ dei punti è inferiore a $2^{\prime \prime }$.

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Square-root equation: find p giving exactly one real solution

Consider the equation \sqrt{2p + 1 - x^2} + \sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x + 3p + 9} \tag{1} in which $x,p$ are real numbers and the square roots are to be real and non-negative. Show that if (1) holds then $(x^2+x-p)(x^2+8x+2p+9)=0.$ Hence find the set of real numbers $p$ for which (1) is satisfied by exactly one real number $x$.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione a radice quadrata: trovare p che dà esattamente una soluzione reale

Considera l’equazione \sqrt{2p + 1 - x^2} + \sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x + 3p + 9} \tag{1} in cui $x,p$ sono numeri reali e le radici quadrate devono essere reali e non negative. Mostrare che se (1) tiene allora $(x^2+x-p)(x^2+8x+2p+9)=0.$ Quindi trovare l’insieme di numeri reali $p$ per cui (1) è soddisfatto da un numero reale $x$ esattamente.

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