British Mathematical Olympiad 1984 — Round 1

Triangle of circle-centres similar to original triangle

$P$, $Q$, $R$ are arbitrary points on the sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively of triangle $ABC$. Prove that the triangle whose vertices are the centres of the circles $AQR$, $BRP$, $CPQ$ is similar to triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo di centri di cerchio simile al triangolo originale

$P$, $Q$, $R$ sono punti arbitrari sui lati $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente del triangolo $ABC$. Prova che il triangolo le cui vertici sono i centri dei cerchi $AQR$, $BRP$, $CPQ$ è simile al triangolo $ABC$.

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Binomial coefficients mod 3: remainder-1 count exceeds remainder-2 count

Let $a_n$ be the number of binomial coefficients $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{n}\right)$ ($0\le r\le n$) which leave remainder $1$ on division by $3$ and let $b_n$ be the number which leave remainder $2$. Prove that $a_n>b_n$ for all positive integers $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Congruenze, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Coefficienti binomiali mod 3: il conteggio del resto-1 supera il conteggio del resto-2

Che $a_n$ sia il numero dei coefficienti binomiali $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{n}\right)$ ($0\le r\le n$) che lasciano il rimanente $1$ sulla divisione da $3$ e che $b_n$ sia il numero che lascia il rimanente $2$. Prove che $a_n>b_n$ per tutti i numeri interi positivi $n$.

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Two inequalities: product bound by m! and cyclic power inequality

(i) Prove that, for all positive integers $m$, $\left(2-\frac{1}{2}\right)\left(2-\frac{2}{3}\right)\left(2-\frac{3}{4}\right)\cdots \left(2-\frac{2m-1}{2m}\right)\le m!$

(ii) Prove that if $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ are positive real numbers then ${\left(\frac{a}{b}\right)}^a\cdot {\left(\frac{b}{c}\right)}^b\cdot {\left(\frac{c}{d}\right)}^c\cdot {\left(\frac{d}{e}\right)}^d\cdot {\left(\frac{e}{a}\right)}^e\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{e}+\frac{e}{a}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Induzione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Due disuguaglianze: prodotto vincolato da m! e disuguaglianza di potenza ciclica*

(i) Prove che, per tutti gli integri positivi $m$, $\left(2-\frac{1}{2}\right)\left(2-\frac{2}{3}\right)\left(2-\frac{3}{4}\right)\cdots \left(2-\frac{2m-1}{2m}\right)\le m!$

(ii) dimostrare che se $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ sono numeri reali positivi allora ${\left(\frac{a}{b}\right)}^a\cdot {\left(\frac{b}{c}\right)}^b\cdot {\left(\frac{c}{d}\right)}^c\cdot {\left(\frac{d}{e}\right)}^d\cdot {\left(\frac{e}{a}\right)}^e\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{e}+\frac{e}{a}.$

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Count solutions of x^2 - {x^2} = (x-{x})^2 in [1,N]

Let $N$ be a positive integer. Determine with proof the number of solutions of the equation $x^2-\{x^2\}=(x-\{x\}{)}^2$ lying in the interval $1\le x\le N$.

(For a real number $x$ the “integer part” $[x]$ is the largest integer which is $\le x$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contate soluzioni di x^2 - {x^2} = (x-{x})^2 in [1,N]

$N$ sia un numero intero positivo. Determinare con prova il numero di soluzioni dell’equazione $x^2-\{x^2\}=(x-\{x\}{)}^2$ nell’intervallo $1\le x\le N$.

(Per un numero reale $x$ la “parte integrale” $[x]$ è il numero intero più grande che è $\le x$.)

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Curved surface area of slant cone with elliptic base

A plane cuts a right circular cone with vertex $V$ in an ellipse $E$ and meets the axis of the cone at $C$. $A$ is an extremity of the major axis of $E$. Prove that the area of the curved surface of the slant cone with $V$ as vertex and $E$ as base is $\frac{VA}{VC}\cdot \text{(area of }E\text{)}.$

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area curva della superficie di un cono inclinato con base ellittica

Un piano taglia un cono circolare destro con vertice $V$ in ellisse $E$ e incontra l’asse del cono a $C$. $A$ è un’estremità dell’asse principale di $E$. Prova che l’area della superficie curva del cono inclinato con $V$ come vertice e $E$ come base è $\frac{VA}{VC}\cdot \text{(area of }E\text{)}.$

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Divisibility by m: existence of y from existence of x with x^2-a divisible by m

Let $a$, $m$ be positive integers. Prove that if there exists an integer $x$ such that $x^2-a$ is divisible by $m$ then there exists an integer $y$ such that both $a^2-y$ and $y^2-a$ are divisible by $m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Divisibilità per m: l’esistenza di y dall’esistenza di x con x^2-a divisibile per m

Lasciate che $a$, $m$ siano numeri interi positivi. Prova che se esiste un intero $x$ tale che $x^2-a$ sia divisibile da $m$, allora esiste un intero $y$ tale che sia $a^2-y$ che $y^2-a$ siano divisibili da $m$.

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Inscribed-circle quadrilateral: four associated quantities are equal

$ABCD$ is a quadrilateral which has an inscribed circle. With the side $AB$ is associated $u_{AB}=P_A\sin DAB+P_B\sin ABC$ where $P_A$, $P_B$ are the perpendiculars from $A$, $B$ respectively to the opposite side $CD$. Define $u_{BC}$, $u_{CD}$, $u_{DA}$ likewise, using in each case perpendiculars to the opposite side. Show that $u_{AB}=u_{BC}=u_{CD}=u_{DA}.$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrillatore a cerchio inciso: quattro quantità associate sono uguali

$ABCD$ è un quadrilaterale che ha un cerchio inciso. Con il lato $AB$ è associato $u_{AB}=P_A\sin DAB+P_B\sin ABC$ dove $P_A$, $P_B$ sono le perpendicolari da $A$, $B$ rispettivamente al lato opposto $CD$. Definire anche $u_{BC}$, $u_{CD}$, $u_{DA}$, utilizzando in ogni caso le perpendicolari verso il lato opposto. Indicare che $u_{AB}=u_{BC}=u_{CD}=u_{DA}.$

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