British Mathematical Olympiad 1985 — Round 1

Two circles touching a line at a point, angle bisector ratio

Two circles $S_1$ and $S_2$ each touch a straight line $p$ at the same point $P$. All points of $S_2$, except $P$, are in the interior of $S_1$. A straight line $q$ (i) is perpendicular to $p$; (ii) touches $S_2$ at $R$; (iii) cuts $p$ at $L$; and (iv) cuts $S_1$ at $N$ and $M$, where $N$ is between $L$ and $M$.

(a) Prove that $q$ bisects angle $RPM$.

(b) If $MP$ bisects angle $RPL$, find, with proof, the ratio of the areas of $S_1$ and $S_2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi che toccano una linea in un punto, rapporto di angolo bisector

Due cerchi $S_1$ e $S_2$ toccano ognuno una linea retta $p$ nello stesso punto $P$. Tutti i punti di $S_2$, tranne $P$, sono all’interno di $S_1$. Una linea retta $q$ (i) è perpendicolare a $p$; (ii) tocca $S_2$ a $R$; (iii) taglia $p$ a $L$; e (iv) taglia $S_1$ a $N$ e $M$, dove $N$ è tra $L$ e $M$.

a) Provare che $q$ divide l’angolo $RPM$.

b) Se $MP$ divide l’angolo $RPL$, trovare, con la prova, il rapporto tra le superfici di $S_1$ e $S_2$.

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Prove not all of a(1-b), b(1-c), c(1-a) exceed 1/4

$a,b,c$ are each numbers between 0 and 1. Prove that not all of $a(1-b)$, $b(1-c)$, $c(1-a)$ can be greater than $\frac{1}{4}$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che non tutte le a(1-b), b(1-c), c(1-a) superano il 1/4

$a,b,c$ sono ciascun numero tra 0 e 1. Provare che non tutti $a(1-b)$, $b(1-c)$, $c(1-a)$ possono essere superiori a $\frac{1}{4}$.

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Prove identity involving binomial coefficients product

$n$ and $m$ are non-negative integers. Prove that $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1}\right)+3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2}\right)+\cdots +(r+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r}{r}\right)+\cdots +(m+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m+2}{m}\right),$ where $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{r}\right)$ is the binomial coefficient $p(p-1)(p-2)\cdots (p-r+1)/r!$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove l’identità che coinvolge il prodotto dei coefficienti binomiali

$n$ e $m$ sono integri non negativi. Prove che $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1}\right)+3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2}\right)+\cdots +(r+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r}{r}\right)+\cdots +(m+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m+2}{m}\right),$ dove $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{r}\right)$ è il coefficiente binomio $p(p-1)(p-2)\cdots (p-r+1)/r!$.

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Sequence defined by recurrence; prove eventual periodicity

The sequence $f_n$ is defined by $f_0=1$, $f_1=a$, where $a$ is a positive integer, and for all $n>1$, $f_n=2f_{n-1}-f_{n-2}+2.$ Prove that for each $k\ge 0$ there exists $h$ such that $f_h{f}_{h+1}=f_k$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza definita da recidiva; prova la periodicità eventuale

La sequenza $f_n$ è definita da $f_0=1$, $f_1=a$, dove $a$ è un numero intero positivo, e per tutti $n>1$, $f_n=2f_{n-1}-f_{n-2}+2.$ dimostra che per ogni $k\ge 0$ esiste $h$ tale che $f_h{f}_{h+1}=f_k$.

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Cylindrical container on circular hoop; locus of circular rim centres

A cylindrical container has height 6 cm and also has radius 4 cm and the hoop is fixed in a horizontal plane. The container rests with its axis horizontal and with each of its circular rims touching the hoop at two points. The cylinder is now moved so that each of its circular rims still touches the hoop at two points. Find, with proof, the locus of the centre of one of the cylinder’s circular ends.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Contenitore cilindrico su cerchio circolare; locus dei centri del bordo circolare

Un contenitore cilindrico ha un’altezza di 6 cm e un raggio di 4 cm e il cerchio è fissato in un piano orizzontale. Il contenitore si posa con il suo asse orizzontale e con ciascuna delle sue periferie circolari che toccano il cerchio in due punti. Il cilindro è ora spostato in modo che ciascuna delle sue periferie circolari tocchi ancora il cerchio a due punti. Trovare, con prova, il luogo del centro di una delle estremità circolari del cilindro.

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Equation x^2 + y^2 = z^2 + 2 has infinitely many solutions

Show that the equation $x^2+y^2=z^2+2$ has infinitely many solutions in positive integers $x,y,z$ in which no two of $x,y,z$ have a common factor greater than 1.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

L’equazione x^2 + y^2 = z^2 + 2 ha infinite soluzioni

Mostrare che l’equazione $x^2+y^2=z^2+2$ ha infinite soluzioni in numeri interi positivi $x,y,z$ in cui nessuno dei due $x,y,z$ ha un fattore comune maggiore di 1.

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