British Mathematical Olympiad 1986 — Round 1

Reduce a fraction to lowest terms

Reduce the fraction $\frac{N}{D}$ to its lowest terms when $N=22448511485348514627$ $D=81188118811881188000$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Riduzione di una frazione a termini più bassi

Riduzione della frazione $\frac{N}{D}$ ai suoi termini più bassi quando $N=22448511485348514627$ $D=81188118811881188000$

src_bmo1_1986__Q01

Circle tangency conditions; find radius in terms of r1, r2

A circle $S$ of radius $R$ has two parallel tangents $t_1$, $t_2$. A circle $S_1$ of radius $r_1$ touches $S$ and $t_1$; a circle $S_2$ of radius $r_2$ touches $S$ and $t_2$; also $S_1$ touches $S_2$ and all the circle contacts are external. Calculate $R$ in terms of $r_1$ and $r_2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Condizioni di tangenza del cerchio; trovare il raggio in termini di r1, r2

Un cerchio $S$ di raggio $R$ ha due tangenti paralleli $t_1$ e $t_2$. Un cerchio $S_1$ di raggio $r_1$ tocca $S$ e $t_1$; un cerchio $S_2$ di raggio $r_2$ tocca $S$ e $t_2$; anche $S_1$ tocca $S_2$ e tutti i contatti del cerchio sono esterni. Calcolare $R$ in termini di $r_1$ e $r_2$.

src_bmo1_1986__Q02

If 1+m+n/3 is a perfect power, m is a perfect square

Prove that if $m$, $n$, $r$ are positive integers and $1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^{2r-1}$ then $m$ is a perfect square.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Se 1+m+n/3 è una potenza perfetta, m è un quadrato perfetto

Prova che se $m$, $n$, $r$ sono numeri interi positivi e $1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^{2r-1}$ allora $m$ è un quadrato perfetto.

src_bmo1_1986__Q03

Largest K so that a²+b²+c²≥K(a+b+c)² for obtuse triangles

Find, with proof, the largest real number $K$ (independent of $a,b,c$) such that the inequality $a^2+b^2+c^2\ge K(a+b+c{)}^2$ holds for the lengths $a$, $b$, $c$ of the sides of any obtuse-angled triangle.

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

K più grande in modo che a2+b2+c2≥K(a+b+c)2 per i triangoli obtusi

Trovare, con prova, il più grande numero reale $K$ (indipendente da $a,b,c$) tale che l’ineguaglianza $a^2+b^2+c^2\ge K(a+b+c{)}^2$ sia valida per le lunghezze $a$, $b$, $c$ dei lati di qualsiasi triangolo angolato obtuso.

src_bmo1_1986__Q04

Find number of permutations with two ordering constraints

Find, with proof, the number of permutations $a_1,a_2,\dots ,a_n$ of $1,2,\dots ,n$ such that $a_i<a_{i+2}\text{for }1\le i\le n-2$ and $a_i<a_{i+1}\text{for }1\le i\le n-3$ (In a permutation each of the numbers $1,2,\dots ,n$ appears.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca il numero di permutazioni con due restrizioni di ordine

Trova, con prova, il numero di permutazioni $a_1,a_2,\dots ,a_n$ di $1,2,\dots ,n$ in modo tale che $a_i<a_{i+2}\text{for }1\le i\le n-2$ e $a_i<a_{i+1}\text{for }1\le i\le n-3$ (In una permutazione ogni numero $1,2,\dots ,n$ appare.)

src_bmo1_1986__Q05

Cube cross-section area equals face area; prove coplanarity

$AB$, $AC$, $AD$ are three edges of a cube. $AC$ is produced to $E$ so that $AE=2AC$ and $AD$ is produced to $F$ so that $AF=3AD$. Prove that the area of the section of the cube by any plane parallel to $BEF$ is equal to the area of the section of the tetrahedron $ABEF$ by the same plane.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area della sezione trasversale del cubo è uguale all’area della faccia; prova la coplanarità

$AB$, $AC$, $AD$ sono tre bordi di un cubo. $AC$ è prodotto a $E$ in modo che $AE=2AC$ e $AD$ è prodotto a $F$ in modo che $AF=3AD$. Prova che l’area della sezione del cubo per qualsiasi piano parallelo a $BEF$ è uguale all’area della sezione del tetraedro $ABEF$ per lo stesso piano.

src_bmo1_1986__Q06