British Mathematical Olympiad 1987 — Round 1

Integer solutions of two Diophantine equations

(a) Find, with proof, all integer solutions of $a^3+b^3=9.$ (b) Find, with proof, all integer solutions of $35x^2+60x^2+42xy+9y^2=9.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Soluzioni integrali di due equazioni diofantine

(a) Trova, con prova, tutte le soluzioni integrali di $a^3+b^3=9.$ (b) Trova, con prova, tutte le soluzioni integrali di $35x^2+60x^2+42xy+9y^2=9.$

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Triangle with angle bisector and point on side; prove AD = DB + BC

In a triangle $ABC$, $\angle BAC=100^{\circ }$ and $AB=AC$. A point $D$ is chosen on the side $AC$ so that $\angle ABD=\angle CBD$. Prove that $AD=DB+BC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con bisettore angolare e punto laterale; dimostrare AD = DB + BC

In un triangolo $ABC$, $\angle BAC=100^{\circ }$ e $AB=AC$. Un punto $D$ è scelto sul lato $AC$ in modo che $\angle ABD=\angle CBD$. Prove che $AD=DB+BC$.

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Find limiting value of ratio of sums involving binomial coefficients

Find, with proof, the value of the limit as $n\to \infty$ of $\frac{\sum _{r=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{r}\right)}^{-1}\cdot 2^r}{\sum _{r=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{r+1}\right)}^{-1}\cdot 2^r}.$ Here $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{r}\right)$ denotes a binomial coefficient.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca il valore limite del rapporto di somme che coinvolgono i coefficienti binomiali

Trovare, con prova, il valore del limite come $n\to \infty$ di $\frac{\sum _{r=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{r}\right)}^{-1}\cdot 2^r}{\sum _{r=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{r+1}\right)}^{-1}\cdot 2^r}.$ Qui $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{r}\right)$ indica un coefficiente binomio.

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Polynomial with integer coefficients; prove N=26 given P(N)=N+51

Let $P(x)$ be any polynomial with integer coefficients such that $P(21)=17,P(32)=-247,P(37)=33.$ Prove that if $P(N)=N+51$ for some integer $N$, then $N=26$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Polinomio con coefficienti interi; prova N=26 dato P(N)=N+51

Che $P(x)$ sia qualsiasi polinomio con coefficienti interi tali che $P(21)=17,P(32)=-247,P(37)=33.$ dimostri che se $P(N)=N+51$ per un certo numero intero $N$, allora $N=26$.

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Parallel line in acute triangle; circles on BE and CF intersect on altitude

A line parallel to the side $BC$ of an acute-angled triangle $ABC$ cuts the side $AB$ at $F$ and the side $AC$ at $E$. Prove that the circles on $BE$ and $CF$ as diameters intersect on the altitude of the triangle drawn from $A$ perpendicular to $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Linea parallela in triangolo acuto; i cerchi su BE e CF si intersecano in altitudine

Una linea parallela al lato $BC$ di un triangolo acuto $ABC$ taglia il lato $AB$ a $F$ e il lato $AC$ a $E$. Prova che i cerchi di $BE$ e $CF$ come diametri si intersecano sull’altitudine del triangolo tracciato da $A$ perpendicolare a $BC$.

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Find maximum of xyz/((1+x)(x+y)(y+z)(z+16)) for positive reals

Find, with proof, the maximum value of $\frac{xyz}{(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)}$ for positive real numbers $x$, $y$, $z$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il massimo di xyz/((1+x)(x+y)(y+z)(z+16)) per i valori reali positivi

Trova, con prova, il valore massimo di $\frac{xyz}{(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)}$ per i numeri reali positivi $x$, $y$, $z$.

src_bmo1_1987__Q06

Prove existence of x such that x(x+1)/2 - k is divisible by 2^n

Prove that if $n$ and $k$ are any positive integers then there exists a positive integer $x$ such that $\frac{1}{2}x(x+1)-k$ is divisible by $2^n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove l’esistenza di x in modo tale che x(x+1)/2 - k sia divisibile per 2^n

Prova che se $n$ e $k$ sono interi positivi allora esiste un intero positivo $x$ tale che $\frac{1}{2}x(x+1)-k$ sia divisibile da $2^n$.

src_bmo1_1987__Q07