British Mathematical Olympiad 1988 — Round 1

Find all real solutions of nested square root equation

Find all the real solutions $x$ of the equation $\sqrt{x+1972098-\frac{1986}{x+9860491}}+\sqrt{x+1974083-\frac{1988}{x+986049}}=1,$ where x​ indicates the non-negative square root.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni reali dell’equazione di radice quadrata annidata

Trova tutte le soluzioni reali $x$ dell’equazione $\sqrt{x+1972098-\frac{1986}{x+9860491}}+\sqrt{x+1974083-\frac{1988}{x+986049}}=1,$ dove x​ indica la radice quadrata non negativa.

src_bmo1_1988__Q01

Find all real-valued functions on naturals satisfying f(x+y)=f(x)f(y)

Find all the real-valued functions $f$ defined on the set $D$ of natural numbers $x\ge 10$ and satisfying the functional equation $f(x+y)=f(x)f(y)$ for all $x,y\in D$.

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ricerca tutte le funzioni a valore reale su naturali che soddisfano f(x+y) = f(x)f(y) *

Trovare tutte le funzioni a valore reale $f$ definite sul set $D$ dei numeri naturali $x\ge 10$ e soddisfare l’equazione funzionale $f(x+y)=f(x)f(y)$ per tutti $x,y\in D$.

src_bmo1_1988__Q02

Find integer pair r,s with 0<s<200 between two given fractions

Find a pair of integers $r$, $s$ such that $0<s<200$ and $\frac{45}{61}\le \frac{r}{s}\le \frac{89}{60}.$ Also prove that there is exactly one such pair $r$, $s$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca la coppia di r,s con 0<s<200 tra due date frazioni

Trovare una coppia di integri $r$, $s$ tale che $0<s<200$ e $\frac{45}{61}\le \frac{r}{s}\le \frac{89}{60}.$ Inoltre dimostrare che esiste esattamente una coppia di tali $r$, $s$.

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Orthocentre feet to angle bisectors; PQ through midpoint of BC

The triangle $ABC$ has orthocentre $H$. The feet of the perpendiculars from $H$ to the internal and external bisectors of angle $BAC$ (which is not a right angle) are $P$ and $Q$. Prove that $PQ$ passes through the middle point of $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Piedi ortocentrici a bisettici angolari; PQ attraverso il punto medio di BC

Il triangolo $ABC$ ha l’ortocentro $H$. I piedi delle perpendicolari da $H$ ai bisettieri interni ed esterni dell’angolo $BAC$ (non angolo retto) sono $P$ e $Q$. Provare che $PQ$ passa attraverso il punto medio di $BC$.

src_bmo1_1988__Q04

Prove recursively-defined d(n,m) are always integers

Numbers $d(n,m)$ with $m$, $n$ integers, $0\le m\le n$, are defined by $d(n,0)=d(n,n)=1\text{all }n\ge 0$ and $md(n,m)=md(n-1,m)+(2n-m)d(n-1,m-1)$ for $0<m<n$. Prove that all the $d(n,m)$ are integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prova che i d(n,m) definiti ricorritivamente sono sempre interi

I numeri $d(n,m)$ con $m$, $n$ enti, $0\le m\le n$, sono definiti da $d(n,0)=d(n,n)=1\text{all }n\ge 0$ e $md(n,m)=md(n-1,m)+(2n-m)d(n-1,m-1)$ per $0<m<n$. Provare che tutti i $d(n,m)$ sono numeri interi.

src_bmo1_1988__Q05

Find least positive value of (x²+y²)/y subject to quadratic constraint

Show that the least positive value of $\frac{x^2+y^2}{y},$ where $x$, $y$ are real numbers such that $7x^2+3xy+3y^2=1,$ is $\frac{1}{2}$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il valore minimo positivo di (x2+y2)/y soggetto a restrizioni quadratiche

Indicare che il valore minimo positivo di $\frac{x^2+y^2}{y},$ dove $x$, $y$ sono numeri reali in modo tale che $7x^2+3xy+3y^2=1,$ sia $\frac{1}{2}$.

src_bmo1_1988__Q06