British Mathematical Olympiad 1989 — Round 1

Find all integers a,b,c satisfying a polynomial identity

Find all integers $a,b,c$ for which $(x-a)(x-10)+1=(x+b)(x+c)\text{for all }x.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli enti a,b,c che soddisfano un’identità polinomica

Trova tutti gli integri $a,b,c$ per i quali $(x-a)(x-10)+1=(x+b)(x+c)\text{for all }x.$

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Show PQ passes through centroid iff 3xy = bx + cy

Points $P$, $Q$ lie on the sides $AB$, $AC$ respectively of triangle $ABC$ and are distinct from $A$. The lengths $AP$, $AQ$ are denoted by $x$, $y$ respectively, with the convention that $x>0$ if $P$ is on the same side of $A$ as $B$, and $x<0$ on the opposite side; similarly for $y$. Show that $PQ$ passes through the centroid of the triangle if and only if $3xy=bx+cy$ where $b=AC$, $c=AB$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Mostra che il PQ passa attraverso il centroide se 3xy = bx + cy

I punti $P$, $Q$ si trovano rispettivamente sui lati $AB$ e $AC$ del triangolo $ABC$ e sono distinti da $A$. Le lunghezze $AP$ e $AQ$ sono indicate rispettivamente da $x$ e $y$, con la convenzione che $x>0$ se $P$ è sullo stesso lato di $A$ come $B$, e $x<0$ sul lato opposto; in modo simile per $y$. Indicare che $PQ$ passa attraverso il centroide del triangolo se e solo se $3xy=bx+cy$ dove $b=AC$, $c=AB$.

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Express area of triangle ABC via areas of OBC, OCA, OAB

$OA$, $OB$, $OC$ are mutually perpendicular lines. Express the area of triangle $ABC$ in terms of the areas of triangles $OBC$, $OCA$, $OAB$.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Espresso la superficie del triangolo ABC attraverso le aree di OBC, OCA, OAB

$OA$, $OB$, $OC$ sono linee reciprocamente perpendicolari. Esprimere l’area del triangolo $ABC$ in termini di aree dei triangoli $OBC$, $OCA$, $OAB$.

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Triangle of numbers: every row from row 3 contains an even number

Consider the following triangle of numbers:

& & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 2 & & 1 & & \\ & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & \\ 1 & & 3 & & 6 & & 3 & & 1 \\ & & \cdots & & & & \cdots & & \end{array}$$ Each number is the sum of three numbers in the previous row: the number above it and the numbers immediately to the left and right of that number. If there is no number in one or more of these positions, $0$ is used. Prove that, from the third row on, every row contains at least one even number.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Congruenze, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Triangolo di numeri: ogni riga della riga 3 contiene un numero pari

Considerate il seguente triangolo di numeri: $\begin{array}{ccccccccc}& & & & 1& & & & \\ & & & 1& & 1& & & \\ & & 1& & 2& & 1& & \\ & 1& & 3& & 3& & 1& \\ 1& & 3& & 6& & 3& & 1\\ & & \cdots & & & & \cdots & & \end{array}$ Ogni numero è la somma di tre numeri nella riga precedente: il numero sopra di esso e i numeri immediatamente a sinistra e a destra di quel numero. Se non esiste un numero in una o più di queste posizioni, si utilizza $0$.

Prova che, dalla terza riga in poi, ogni riga contiene almeno un numero pari.

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No angle exceeds 90 degrees implies sin A + sin B + sin C > 2

None of the angles of a triangle $ABC$ exceeds $90^{\circ }$. Prove that $\sin A+\sin B+\sin C>2.$

Topic: Trigonometria, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Nessun angolo superiore a 90 gradi implica sin A + sin B + sin C > 2

Nessun angolo di un triangolo $ABC$ supera $90^{\circ }$. Provare che $\sin A+\sin B+\sin C>2.$

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Sequence of integers with recurrence: prove a_n is always odd

The sequence $(a_n)$ of integers is defined by $a_1=2,a_2=7$ and $-\frac{1}{2}<a_{n+1}-\frac{a_n^2}{a_{n-1}}\le \frac{1}{2}\text{for }n\ge 2.$ Prove that $a_n$ is odd for all $n>1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri interi con ricorrenza: dimostra a_n è sempre odd

La sequenza $(a_n)$ di numeri interi è definita da $a_1=2,a_2=7$ e $-\frac{1}{2}<a_{n+1}-\frac{a_n^2}{a_{n-1}}\le \frac{1}{2}\text{for }n\ge 2.$ Prove che $a_n$ è odd per tutti $n>1$.

src_bmo1_1989__Q06