British Mathematical Olympiad 1990 — Round 1

Find positive integer with leading digit 1 tripled by moving it

Find a positive integer whose first digit is $1$ and which has the property that, if this digit is transferred to the end of the number, the number is tripled.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca un intero positivo con il primo numero 1 triplicato spostandolo

Trova un intero positivo la cui prima cifra è $1$ e che ha la proprietà che, se questa cifra viene trasferita alla fine del numero, il numero è triplicato.

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Find max and min of ratio PC/PD on segment AB of square

$ABCD$ is a square and $P$ is a point on the line $AB$. Find the maximum and minimum values of the ratio $PC/PD$, showing that these occur for the points $P$ given by $AP\times BP=A{B}^2$.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca il rapporto massimo e min PC/PD sul segmento AB del quadrato

$ABCD$ è un quadrato e $P$ è un punto sulla linea $AB$. Trova i valori massimi e minimi del rapporto $PC/PD$, mostrando che si verificano per i punti $P$ dati da $AP\times BP=A{B}^2$.

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Angles of convex quadrilateral with cos sum zero implies cyclic

The angles $A$, $B$, $C$, $D$ of a convex quadrilateral satisfy the relation $\cos A+\cos B+\cos C+\cos D=0.$ Prove that $ABCD$ is a cyclic quadrilateral.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angoli di quadrilaterali convexi con cos somma zero implica ciclico

Gli angoli $A$, $B$, $C$, $D$ di un quadrilatero convexo soddisfano la relazione $\cos A+\cos B+\cos C+\cos D=0.$ Prove che $ABCD$ è un quadrilatero ciclico.

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Fair value of p for biased coin game with sequences HHH or HTH

A coin is biassed so that the probability of obtaining a head is $p$, $0<p<1$. Two players $A$ and $B$ throw the coin in turn until one of the sequences $HHH$ or $HTH$ occurs. If sequence $HHH$ occurs first then $A$ wins. If $HTH$ occurs first then $B$ wins. For what value of $p$ is this game fair (i.e. such that $A$ and $B$ have an equal chance of winning)?

Topic: Probabilità Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Valore equo di p per il gioco di monete pregiudiziale con sequenze HHH o HTH

Una moneta è biassata in modo che la probabilità di ottenere una testa sia $p$, $0<p<1$. Due giocatori $A$ e $B$ lanciano la moneta a turno fino a quando non si verifica una delle sequenze $HHH$ o $HTH$. Se la sequenza $HHH$ si verifica prima, allora $A$ vince. Se $HTH$ si verifica per primo, allora $B$ vince. Per quale valore di $p$ è il fair game (cioè in modo tale che $A$ e $B$ abbiano uguali possibilità di vincere)?

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Diagonals of convex quadrilateral meet at O; prove PQ perpendicular to RS

The diagonals of a convex quadrilateral $ABCD$ intersect at $O$. The centroids of triangles $AOD$ and $BOC$ are $P$ and $Q$; the orthocentres of triangles $AOB$ and $COD$ are $R$ and $S$. Prove that $PQ$ is perpendicular to $RS$.

[The centroid of a triangle is the intersection of the lines joining each vertex to the midpoint of the opposite side; the orthocentre is the intersection of the altitudes.]

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le diagonali di quadrilaterali convexi si incontrano a O; dimostrare che la PQ è perpendicolare a RS

I diagonali di un quadrilaterale convex $ABCD$ si intersecano a $O$. I centriodi dei triangoli $AOD$ e $BOC$ sono $P$ e $Q$; gli ortocentri dei triangoli $AOB$ e $COD$ sono $R$ e $S$. Prove che $PQ$ è perpendicolare a $RS$.

[Il centroide di un triangolo è l’intersezione delle linee che uniscono ogni vertice al punto medio del lato opposto; l’ortocentro è l’intersezione delle altitudini.]

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Rational x,y satisfying equation implies 1-xy is square of rational

Prove that if $x$, $y$ are rational numbers satisfying the equation $x^4+y^4=2x^2{y}^2$ then $1-xy$ is the square of a rational number.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Equazione razionale x,y soddisfacente implica che 1-xy è quadrato di razionale

Dimostra che se $x$, $y$ sono numeri razionali che soddisfano l’equazione $x^4+y^4=2x^2{y}^2$ allora $1-xy$ è il quadrato di un numero razionale.

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