British Mathematical Olympiad 1991 — Round 1

Show $3^n+2\cdot 17^n$ is never a perfect square

Prove that the number $3^n+2\cdot 17^n$ where $n$ is a non-negative integer, is never a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra $3^n+2\cdot 17^n$ non è mai un quadrato perfetto

Prova che il numero $3^n+2\cdot 17^n$ dove $n$ è un intero non negativo, non è mai un quadrato perfetto.

src_bmo1_1991__Q01

Find $k$ so $x^{k+1}+x+1$ divisible by $x^2+x+1$, then by $x^4+x+1$

Find all positive integers $k$ such that the polynomial $x^{k+1}+x+1$ is divisible by $x^2+x+1$.

For each such $k$, specify the integers $a$ such that $a^{k+1}+a+1$ is divisible by $a^4+a+1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova $k$ in modo che $x^{k+1}+x+1$ sia divisibile da $x^2+x+1$, quindi da $x^4+x+1$

Trova tutti gli integri positivi $k$ in modo tale che il polinomio $x^{k+1}+x+1$ sia divisibile da $x^2+x+1$.

Per ciascuna di tali $k$, specificare gli integri $a$ in modo tale che $a^{k+1}+a+1$ sia divisibile da $a^4+a+1$.

src_bmo1_1991__Q02

Cyclic quadrilateral: $4r^2=A{C}^2+B{D}^2$ implies $AC\perp BD$?

$ABCD$ is a quadrilateral inscribed in a circle of radius $r$. The diagonals $AC$, $BD$ meet at $X$.

Is it true that if $4r^2=A{C}^2+B{D}^2$ then $AC$ is perpendicular to $BD$? Give a reason for your answer.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero ciclico: $4r^2=A{C}^2+B{D}^2$ implica $AC\perp BD$?

$ABCD$ è un quadrilaterale inserito in un cerchio di raggio $r$. Le diagonali $AC$ e $BD$ si incontrano a $X$.

È vero che se $4r^2=A{C}^2+B{D}^2$ allora $AC$ è perpendicolare a $BD$? Datemi una ragione per la vostra risposta.

src_bmo1_1991__Q03

Minimum of $(x+y)(y+z)$ subject to $xyz(x+y+z)=1$

Find, with proof, the minimum value of $(x+y)(y+z)$ where $x$, $y$, $z$ are positive real numbers satisfying the condition $xyz(x+y+z)=1.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum di $(x+y)(y+z)$ soggetto a $xyz(x+y+z)=1$

Trova, con prova, il valore minimo di $(x+y)(y+z)$ dove $x$, $y$, $z$ sono numeri reali positivi che soddisfano la condizione $xyz(x+y+z)=1.$

src_bmo1_1991__Q04

Count permutations of 1–6 with no initial segment equal to $\{1,\dots ,n\}$

Find the number of permutations (arrangements) $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6$ of $1,2,3,4,5,6$ with the property:

For no integer $n$, $1\le n\le 5$, do $p_1,p_2,\dots ,p_n$ form a permutation of $1,2,\dots ,n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi permutazioni di 16 senza segmento iniziale uguale a $\{1,\dots ,n\}$

Trova il numero di permutazioni (arrangiamenti) $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6$ di $1,2,3,4,5,6$ con la proprietà:

Per nessun numero intero $n$, $1\le n\le 5$, $p_1,p_2,\dots ,p_n$ forma una permutazione di $1,2,\dots ,n$.

src_bmo1_1991__Q05

If $2xy\mid x^2+y^2-x$ for positive integers, then $x$ is a perfect square

Show that if $x$ and $y$ are positive integers such that $x^2+y^2-x$ is divisible by $2xy$ then $x$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Se $2xy\mid x^2+y^2-x$ per i numeri interi positivi, allora $x$ è un quadrato perfetto

Mostrare che se $x$ e $y$ sono integri positivi in modo tale che $x^2+y^2-x$ sia divisibile da $2xy$ allora $x$ è un quadrato perfetto.

src_bmo1_1991__Q06

Find height ladder reaches given a rung equidistant from wall and ground

A ladder of length $l$ rests against a vertical wall. Suppose that there is a rung on the ladder which has the same distance $d$ from both the wall and the (horizontal) ground. Find explicitly, in terms of $l$ and $d$, the height $h$ from the ground that the ladder reaches up the wall.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca l’altezza della scala data una scala equidistante dalla parete e dal terreno

Una scala di lunghezza $l$ si appoggia a una parete verticale. Supponiamo che sulla scala ci sia un gradino che abbia la stessa distanza $d$ sia dalla parete che dal terreno (orizzontale). Indicare esplicitamente, in termini di $l$ e $d$, l’altezza $h$ dal suolo che la scala raggiunge il muro.

src_bmo1_1991__Q07