Two- and three-digit numbers whose squares have same count of nonzero digits
(a) Observe that the square of 20 has the same number of non-zero digits as 20 itself. Does there exist a two-digit number, other than 10, 20, or 30, whose square has the same number of non-zero digits as the original number? If you think there is one, then find it. If you claim that there is none, then you must prove your claim.
(b) Does there exist a three-digit number other than 100, 200, 300 whose square has the same number of non-zero digits as the original number?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Numeri a due e tre cifre i cui quadrati hanno lo stesso conteggio di cifre non zero
(a) Notare che il quadrato di 20 ha lo stesso numero di cifre non zero di 20 stesso. Esiste un numero a due cifre, diverso da 10, 20 o 30, il cui quadrato ha lo stesso numero di cifre non zero del numero originale? Se ne pensate una, trovatela. Se affermi che non esiste, devi dimostrare la tua affermazione.
(b) Esiste un numero a tre cifre diverso da 100, 200, 300 il cui quadrato ha lo stesso numero di cifre non zero del numero originale?
Cyclic pentagon with diagonals parallel to opposite sides: must it be regular?
Let be a pentagon inscribed in a circle. Suppose that , , , , are parallel to , , , , respectively. Does it follow that the pentagon has to be regular? Justify your claim.
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
Pentagono ciclico con diagonali paralleli ai lati opposti: deve essere regolare?
Che il sia un pentagono inscritto in un cerchio. Supponiamo che , , , , siano parallele rispettivamente a , , , , . Ne consegue che il pentagono deve essere regolare? Giustifica la tua richiesta.
Set of positive integers where product of all is divisible by each element
Find four distinct positive integers such that the product of any one of them divides the product of the remaining three. Can you find a set of five or more numbers with the same property?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
insieme di integri positivi in cui il prodotto di tutti è divisibile da ogni elemento
Trova quattro diversi interi positivi in modo tale che il prodotto di uno di essi divida il prodotto dei restanti tre. Puoi trovare un insieme di cinque o più numeri con la stessa proprietà?
Minimize and maximize a quadratic form subject to a linear constraint
Determine the smallest value of , where , , are real numbers subject to the condition (for given constants). Does the expression have a greatest value subject to the condition? Justify your claim.
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Minimizzare e massimizzare una forma quadrata soggetta a un vincolo lineare
Determinare il valore più piccolo di , dove , , sono numeri reali soggetti alla condizione (per determinate costanti). L’espressione ha un valore maggiore soggetto alla condizione? Giustifica la tua richiesta.
Function on positive integers with f(n+1)>f(f(n)); determine f(1992)
Let be a function mapping the positive integers to the positive integers. Suppose that for all positive integers . Determine .
Topic: Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Funzione su integri positivi con f(n+1)>f(f(n)); determinare f(1992)
Lasciate che sia una funzione di mappatura dei numeri interi positivi ai numeri interi positivi. Supponiamo che per tutti gli integri positivi . Determinare .