British Mathematical Olympiad 1993 — Round 1

Find six-digit integer with properties on digits and squares

Find, showing your method, a six-digit integer $n$ with the following properties: (i) $n$ is a perfect square; (ii) the number formed by the last three digits of $n$ is exactly one greater than the number formed by the first three digits of $n$. (Thus $n$ might look like $121122$, although this is not a square.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca un numero intero a sei cifre con proprietà sui numeri e sui quadrati

Trova, mostrando il tuo metodo, un numero intero a sei cifre $n$ con le seguenti proprietà: (i) $n$ è un quadrato perfetto; (ii) il numero formato dalle ultime tre cifre di $n$ è esattamente uno maggiore del numero formato dalle prime tre cifre di $n$. (In questo modo $n$ potrebbe sembrare $121122$, anche se questo non è un quadrato.)

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Square paper cut into two pairs of congruent triangles, find shortest segment dividing triangle

A square piece of paper $ABCD$ of side length 2 and centre $O$ is cut in half to form two equal pieces $ABC$ and $CDA$. If the triangle $ABC$ has to be cut into two parts which would also be congruent to each other, one would naturally cut along the line of symmetry $BO$. However, there are other ways of doing this. Find, with justification, the length and location of the shortest segment on which divides the triangle $ABC$ into two congruent parts.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Papero quadrato tagliato in due coppie di triangoli congruenti, trovare il triangolo di divisione segmento più breve

Un pezzo quadrato di carta $ABCD$ di lunghezza laterale 2 e centro $O$ viene tagliato a metà per formare due pezzi uguali $ABC$ e $CDA$. Se il triangolo $ABC$ dovesse essere tagliato in due parti che sarebbero anche congruenti tra loro, si taglierebbe naturalmente lungo la linea di simmetria $BO$. Tuttavia, ci sono altri modi di farlo. Trova, con giustificazione, la lunghezza e la posizione del segmento più corto su cui divide il triangolo $ABC$ in due parti congruenti.

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Sequence defined by recurrence; find which values c make all terms integers

For each positive integer $c$, the sequence $u_n$ of integers is defined by $u_1=1,u_2=c,u_n=(2n-3)u_{n-1}-(n-3)u_{n-2}(n\ge 3).$ For which values of $c$ is it the case that $u_n$ is an integer for all $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$?

(Note: If $x$ and $y$ are integers, then $x$ divides $y$ if and only if there exists an integer $z$ such that $y=xz$. For example, $4$ divides $-12$, since we can take $z=-3$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza definita da recidiva; trovare quali valori c rendono tutti i termini interi

Per ogni numero intero positivo $c$, la sequenza $u_n$ di numeri interi è definita da $u_1=1,u_2=c,u_n=(2n-3)u_{n-1}-(n-3)u_{n-2}(n\ge 3).$ Per quali valori di $c$ è vero che $u_n$ è un numero intero per tutti $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$?

(Nota: se $x$ e $y$ sono numeri interi, allora $x$ divide $y$ se e solo se esiste un numero intero $z$ tale da $y=xz$. Per esempio, $4$ divide $-12$, poiché possiamo prendere $z=-3$.)

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Two circles touch internally; straight line touches inner circle and cuts outer circle

Two circles touch internally at $M$. A straight line touches the inner circle at $P$ and cuts the outer circle at $Q$ and $R$. Prove that $\angle QMP=\angle RMP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi si toccano internamente; una linea retta tocca il cerchio interno e taglia il cerchio esterno

Due cerchi si toccano internamente a $M$. Una linea retta tocca il cerchio interno a $P$ e taglia il cerchio esterno a $Q$ e $R$. Prove che $\angle QMP=\angle RMP$.

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Find range of c for positive reals satisfying a cyclic inequality

Let $x$, $y$, $z$ be positive real numbers satisfying $\frac{1}{3}\le \frac{x}{x+y+z}\le \frac{1}{2}.$ Determine the range of values for (i) $\frac{y}{x+y+z}$, and (ii) $\frac{x+y}{x+y+z}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca l’intervallo di c per i reali positivi che soddisfano una disuguaglianza ciclica

Che $x$, $y$, $z$ siano numeri reali positivi che soddisfino $\frac{1}{3}\le \frac{x}{x+y+z}\le \frac{1}{2}.$ Determinare l’intervallo dei valori per (i) $\frac{y}{x+y+z}$ e (ii) $\frac{x+y}{x+y+z}$.

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