British Mathematical Olympiad 1994 — Round 1

Properties of three-digit numbers with digit sum and product conditions

Starting with any three digit number $n$ (such as $n=625$) we obtain a new number $f(n)$ which is the sum of the three digits of $n$, their three products in pairs, and the product of all three digits.

(i) Find the value of $n/f(n)$ when $n=625$. (The answer is an integer!)

(ii) Find all three digit numbers $n$ such that $n/f(n)=1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Proprietà di numeri a tre cifre con somma di cifre e condizioni di prodotto

A partire da qualsiasi numero a tre cifre $n$ (come $n=625$) otteniamo un nuovo numero $f(n)$ che è la somma delle tre cifre di $n$, dei loro tre prodotti in coppia e del prodotto di tutte e tre le cifre.

(i) Trova il valore di $n/f(n)$ quando $n=625$. (La risposta è un numero intero!)

(ii) Trovare tutti e tre i numeri $n$ in modo tale che $n/f(n)=1$.

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Triangle midpoint and angle conditions with locus

In triangle $ABC$ the point $X$ lies on $BC$.

(i) Suppose that $\angle BAC=90^{\circ }$, that $X$ is the midpoint of $BC$, and that $\angle BAX=\angle XAC$. What can you say (and prove!) about triangle $ABX$?

(ii) Suppose that $\angle BAC=60^{\circ }$, that $AX$ bisects the angle $BAC$, and that $BX=1$. What can you say (and prove!) about the sum $AB+AC$? What is the locus of the point $A$ as $X$ varies along $BC$?

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Condizioni di punto medio e angolo del triangolo con locus

Nel triangolo $ABC$ il punto $X$ si trova su $BC$.

(i) Supponiamo che $\angle BAC=90^{\circ }$, che $X$ sia il punto medio di $BC$, e che $\angle BAX=\angle XAC$. Cosa puoi dire (e dimostrare!) sul triangolo $ABX$?

(ii) Supponiamo che $\angle BAC=60^{\circ }$, che $AX$ divide l’angolo $BAC$ e che $BX=1$. Che cosa si può dire (e dimostrare!) sulla somma $AB+AC$? Qual è il locus del punto $A$ in quanto $X$ varia lungo $BC$?

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Sequence satisfying recurrence with fixed parameter k

The sequence $u_1,u_2,u_3,\dots$ satisfies $u_1=1$ and $u_{n+1}-u_n=k{u}_{n-1},\text{for each }n\ge 2,$ where $k$ is some fixed integer. If $u_{2000}=2000$, determine all possible values of $k$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza che soddisfa la ricorrenza con parametro fisso k

La sequenza $u_1,u_2,u_3,\dots$ soddisfa $u_1=1$ e $u_{n+1}-u_n=k{u}_{n-1},\text{for each }n\ge 2,$ dove $k$ è un numero intero fisso. Se $u_{2000}=2000$, determinare tutti i possibili valori di $k$.

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Points on circle with tangent and angle condition

The points $Q$, $R$ lie on the circle $\gamma$, and $P$ is a point such that $PQ$, $PR$ are tangents to $\gamma$. $A$ is the midpoint of $PQ$ and $C$ is the circumcentre of triangle $PQR$. The circle $\gamma$ cuts $AQ$ again at the point $B$. Prove that $\angle PAR=\angle ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti su un cerchio con condizione tangente e angolare

I punti $Q$, $R$ si trovano sul cerchio $\gamma$, e $P$ è un punto tale che $PQ$, $PR$ sono tangenti di $\gamma$. $A$ è il punto medio di $PQ$ e $C$ è il circoncentro del triangolo $PQR$. Il cerchio $\gamma$ taglia di nuovo $AQ$ al punto $B$. Prove che $\angle PAR=\angle ABC$.

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Alternating sequence of integers with functional equation

An increasing sequence of integers is said to be alternating if it starts with an odd term, the second term is even, the third term is odd, the fourth is even, and so on. The empty sequence (with no term at all) is considered to be alternating. Let $A(n)$ denote the number of alternating sequences that only involve integers from the set $\{1,2,\dots ,n\}$. Show that $A(1)=2$ and $A(2)=3$. Find a formula for $A(n+2)$ in terms of $A(n+1)$ and $A(n)$, and prove that your formula is correct. Hence find the value of $A(20)$, and prove that value is correct.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Seguenza alternativa di integri con equazione funzionale

Si dice che una sequenza crescente di numeri interi si alternasse se inizia con un termine impar, il secondo termine è pari, il terzo termine è impar, il quarto è pari, e così via. La sequenza vuota (senza termine) è considerata alternante. $A(n)$ indichi il numero di sequenze alternative che coinvolgono solo gli integri del set $\{1,2,\dots ,n\}$. Indicare che $A(1)=2$ e $A(2)=3$. Trova una formula per $A(n+2)$ in termini di $A(n+1)$ e $A(n)$ e prova che la formula è corretta. Trova quindi il valore di $A(20)$ e prova che il valore è corretto.

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