British Mathematical Olympiad 1995 — Round 1

Perfect squares ending in three or four 4s; none end in five

Find the first positive integer whose square ends in three 4’s. Find all positive integers whose square ends in four 4’s. Show that no perfect square ends with five 4’s.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Quadrati perfetti che finiscono in tre o quattro 4s; nessuno finisce in cinque

Trova il primo intero positivo il cui quadrato finisce in tre 4’s. Trova tutti i numeri interi positivi la cui quadrata termina in quattro 4. Mostrare che nessun quadrato perfetto finisce con cinque quattro.

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Quadrilateral area and intersection area inside a cube of side 2

$ABCDEFGH$ is a cube with side 2. (a) Find the area of the quadrilateral $AMHN$, where $M$ is the midpoint of $BC$, and $N$ is the midpoint of $EF$. (b) Let $P$ be the midpoint of $AH$, and $Q$ the midpoint of $HE$. Let $AM$ meet $CP$ at $X$ and $HN$ meet $EQ$ at $Y$. Find the area of $XY$.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area quadrilaterale e l’area di intersezione all’interno di un cubo di lato 2

$ABCDEFGH$ è un cubo con lato 2. a) Trova l’area del quadrilaterale $AMHN$, dove $M$ è il punto medio di $BC$ e $N$ è il punto medio di $EF$. b) Il $P$ deve essere il punto medio di $AH$ e il $Q$ il punto medio di $HE$. Lasciate che $AM$ si riunisca a $CP$ a $X$ e $HN$ a $EQ$ a $Y$. Trova la superficie di $XY$.

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Maximise two- and three-variable expressions over the unit interval/cube

(a) Find the maximum value of the expression $x^{2}y-y^{2}x$ when $0\le x\le 1$ and $0\le y\le 1$. (b) Find the maximum value of the expression $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-x^{2}z-y^{2}x-z^{2}y$ when $0\le x\le 1$, $0\le y\le 1$, $0\le z\le 1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Maximizzare le espressioni a due e tre variabili nell’intervallo unitario/cubo

(a) Trova il valore massimo dell’espressione $x^{2}y-y^{2}x$ quando $0\le x\le 1$ e $0\le y\le 1$. b) Trova il valore massimo dell’espressione $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-x^{2}z-y^{2}x-z^{2}y$ quando $0\le x\le 1$, $0\le y\le 1$, $0\le z\le 1$.

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Angle MCN in right triangle with angle bisectors and foot perpendiculars

$ABC$ is a triangle, right-angled at $C$. The internal bisectors of angles $BAC$ and $ABC$ meet $BC$ and $CA$ at $P$ and $Q$ respectively. $M$ and $N$ are the feet of the perpendiculars from $P$ and $Q$ to $AB$. Find angle $MCN$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

MCN angolare in triangolo rettangolo con bisettori angolari e perpendicolari del piede

$ABC$ è un triangolo, angolato a destra a $C$. I bisettori interni degli angoli $BAC$ e $ABC$ incontrano rispettivamente $BC$ e $CA$ a $P$ e $Q$. $M$ e $N$ sono i piedi delle perpendicolari da $P$ e $Q$ a $AB$. Trova l’ angolo $MCN$.

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Count alternating-height orderings of seven (or eight) dwarfs

The seven dwarfs walk to work each morning in single file. As they go, they sing their famous song, “High $-$ low $-$ high $-$ low, it’s off to work we go.” Each day they line up so that no three successive dwarfs are either increasing or decreasing in height. Thus, the line-up must go up-down-up-down $\dots$ or down-up-down-up $\dots$ If they all have different heights, for how many days can they go to work like this if they insist on using a different order each day? What if Snow White always came along too?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare ordini di altezza alternati di sette (o otto) nani

Le sette nane camminano al lavoro ogni mattina in un unico file. Mentre vanno, cantano la loro famosa canzone, “Alto $-$ basso $-$ alto $-$ basso, è fuori lavoro andiamo”. Ogni giorno si allineano in modo che non ci siano tre nani successivamente che aumentino o diminuiscano di altezza. Pertanto, la formazione deve andare su e giù su $\dots$ o giù su e giù su $\dots$ Se tutti hanno altezze diverse, per quanti giorni possono andare a lavorare in questo modo se insistono su un ordine diverso ogni giorno? E se anche Biancaneve venisse sempre?

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