British Mathematical Olympiad 1996 — Round 1

Find four-digit perfect square pairs with one-greater digit property

Consider the pair of four-digit positive integers $(M,N)=(3600,2500)$.

Notice that $M$ and $N$ are both perfect squares, with equal digits in two places, and differing digits in the remaining two places. Moreover, when the digits differ, the digit in $M$ is exactly one greater than the corresponding digit in $N$. Find all pairs of four-digit positive integers $(M,N)$ with these properties.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca coppie quadrate perfette a quattro cifre con proprietà di una cifra maggiore

Considerate la coppia di numeri interi positivi a quattro cifre $(M,N)=(3600,2500)$.

Si noti che $M$ e $N$ sono entrambi quadrati perfetti, con cifre uguali in due posti e cifre diverse nei due posti rimanenti. Inoltre, quando le cifre differiscono, la cifra di $M$ è esattamente una maggiore della cifra corrispondente di $N$. Trova tutte le coppie di interi positivi a quattro cifre $(M,N)$ con queste proprietà.

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Compute f(1996) from a telescoping functional equation

A function $f$ is defined over the set of positive integers and satisfies $f(1)=1996$ and $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)=n^{2}f(n)\text{for all }n>1.$ Calculate the value of $f(1996)$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Calcolo f(1996) da un’equazione funzionale telescopica

Una funzione $f$ è definita sull’insieme di integri positivi e soddisfa $f(1)=1996$ e $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)=n^{2}f(n)\text{for all }n>1.$ Calcola il valore di $f(1996)$.

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Prove CO perpendicular to PQ using circumcircle and second intersections

Let $ABC$ be an acute-angled triangle, and let $O$ be its circumcentre. The circle through $A$, $O$ and $B$ is called $S$. The lines $CA$ and $CB$ meet the circle $S$ again at $P$ and $Q$ respectively. Prove that the lines $CO$ and $PQ$ are perpendicular.

(For any triangle $XYZ$, its circumcentre is the centre of the circle which passes through the vertices $X$, $Y$ and $Z$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove la CO perpendicolare al PQ utilizzando il circolo e la seconda intersezione

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo a angolo acuto, e lasciate che $O$ sia il suo circoncentro. Il cerchio attraverso $A$, $O$ e $B$ si chiama $S$. Le linee $CA$ e $CB$ incontrano di nuovo il cerchio $S$ rispettivamente a $P$ e $Q$. Prova che le linee $CO$ e $PQ$ sono perpendicolari.

(Per qualsiasi triangolo $XYZ$, il suo circumcentro è il centro del cerchio che attraversa i vertici $X$, $Y$ e $Z$.)

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Determine all n for which a floor-pair counting function equals n+1

For a positive integer $n$, let $g(n)$ denote the number of pairs of integers $(a,b)$ with $a\ge 1$, $b\ge 1$ and $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor =b$.

Determine all $n$ for which $g(n)=n+1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Determine tutte le n per le quali una funzione di conteggio di coppia di paesaggi è uguale a n+1

Per un intero positivo $n$, $g(n)$ indica il numero di coppie di integri $(a,b)$ con $a\ge 1$, $b\ge 1$ e $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor =b$.

Determinare tutti i $n$ per i quali $g(n)=n+1$.

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Prove power-mean inequalities for two and three positive reals

Let $a$, $b$ and $c$ be positive real numbers.

(i) Prove that $4(a^3+b^3)\ge (a+b{)}^3$.

(ii) Prove that $9(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c{)}^3$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove le disuguaglianze di potenza media per due e tre reali positivi

$a$, $b$ e $c$ siano numeri reali positivi.

(i) Dimostra che $4(a^3+b^3)\ge (a+b{)}^3$.

(ii) Dimostra che $9(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c{)}^3$.

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