British Mathematical Olympiad 1997 — Round 1

Four-digit integers N where reversing digits gives 4N+3

$N$ is a four-digit integer, not ending in zero, and $R(N)$ is the four-digit integer obtained by reversing the digits of $N$; for example, $R(3275)=5723$. Determine all integers $N$ such that $R(N)=4N+3$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Interi di quattro cifre N dove la rovescia di cifre dà 4N+3

$N$ è un numero intero a quattro cifre, che non termina in zero, e $R(N)$ è il numero intero a quattro cifre ottenuto invertendo i numeri di $N$; ad esempio, $R(3275)=5723$. Determinare tutti gli integri $N$ in modo tale che $R(N)=4N+3$.

src_bmo1_1997__Q01

Determine value of a1997 in a recursively defined sequence

For positive integers $n$, the sequence $a_1,a_2,a_3,\dots$ is defined by $a_1=1,a_n=\left(\frac{n+1}{n-1}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}),n>1.$ Determine the value of $a_{1997}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determine il valore di a1997 in una sequenza definita ricorrentemente

Per i numeri interi positivi $n$, la sequenza $a_1,a_2,a_3,\dots$ è definita da $a_1=1,a_n=\left(\frac{n+1}{n-1}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}),n>1.$ Determina il valore di $a_{1997}$.

src_bmo1_1997__Q02

Count exact-coin ways to pay 1997 Pippins in decimal currency

The Dwarfs in the Land-under-the-Mountain have just adopted a completely decimal currency system based on the Pippin, with gold coins to the value of 1 Pippin, 10 Pippins, 100 Pippins and 1000 Pippins. In how many ways is it possible for a Dwarf to pay, in exact coinage, a bill of 1997 Pippins?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta le modalità di pagamento in moneta esatta 1997 Pippins in valuta decimale

I Nani della Terra sotto la Montagna hanno appena adottato un sistema di valuta completamente decimale basato sul Pippin, con monete d’oro del valore di 1 Pippin, 10 Pippins, 100 Pippins e 1000 Pippins. In quanti modi è possibile per un Nano pagare, in moneta esatta, una bolletta di Pippin del 1997?

src_bmo1_1997__Q03

Area of ABCD equals 2 given midpoint quadrilateral PQRS has area 1

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral. The midpoints of $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$ are $P$, $Q$, $R$ and $S$ respectively. Given that the quadrilateral $PQRS$ has area 1, prove that the area of the quadrilateral $ABCD$ is 2.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area di ABCD è uguale a 2 data la quadrilaterale PQRS di punto medio ha l’area 1

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convex. I punti intermedi di $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$ sono rispettivamente $P$, $Q$, $R$ e $S$. Dato che il quadrilaterale $PQRS$ ha area 1, dimostrare che l’area del quadrilaterale $ABCD$ è 2.

src_bmo1_1997__Q04

Three yes/no inequalities for positive x, y with sum conditions

Let $x$, $y$ be positive numbers.

(i) If $x+y\ge 3$, is it necessarily true that $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le \frac{3}{7}$?

(ii) If $x+y\ge 3$, is it necessarily true that $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le 3$?

(iii) If $x+y\ge 3$, is it necessarily true that $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le 3$?

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre disuguaglianze sì/no per x, y positivi con condizioni di somma

$x$, $y$ siano numeri positivi.

(i) Se $x+y\ge 3$, è necessariamente vero che $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le \frac{3}{7}$?

(ii) Se $x+y\ge 3$, è necessariamente vero che $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le 3$?

(iii) Se $x+y\ge 3$, è necessariamente vero che $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le 3$?

src_bmo1_1997__Q05