British Mathematical Olympiad 1998 — Round 1

5x5 Latin square with diagonals; show sub-diagonal score cannot be 20

A $5\times 5$ square is divided into 25 unit squares. One of the numbers $1,2,3,4,5$ is inserted into each of the unit squares in such a way that each row, each column and each of the two diagonals contains each of the five numbers once and only once. The sum of the numbers in the four squares immediately below the diagonal from top left to bottom right is called the score.

Show that it is impossible for the score to be 20.

What is the highest possible score?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

5x5 quadrato latino con diagonali; mostra il punteggio subdiagonale non può essere 20

Un quadrato $5\times 5$ è diviso in 25 quadrati di unità. Uno dei numeri $1,2,3,4,5$ viene inserito in ciascun quadrato di unità in modo tale che ogni riga, ogni colonna e ciascuna delle due diagonali contenga ciascuno dei cinque numeri una sola volta. La somma dei numeri nei quattro quadrati immediatamente sotto la diagonale dall’alto a sinistra a basso a destra si chiama punteggio.

Mostrate che è impossibile che il punteggio sia 20.

Qual è il punteggio più alto possibile?

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Recurrence mod 100; find remainder of sum of squares mod 8

Let $a_0=19$, $a_1=98$. For $n\ge 1$, define $a_{n+1}$ to be the remainder of $a_n+a_{n-1}$ when divided by 100. What is the remainder when $a_0^2+a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{1998}^2$ is divided by 8?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Recurrence mod 100; trovare il resto della somma dei quadrati mod 8

Il valore di $a_0=19$, $a_1=98$. Per $n\ge 1$, definire $a_{n+1}$ come il rimanente di $a_n+a_{n-1}$ diviso per 100. Qual è il rimanente quando $a_0^2+a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{1998}^2$ è diviso per 8?

src_bmo1_1998__Q02

Isosceles triangle ABP; show equal angles and midpoint

$ABP$ is an isosceles triangle with $AB=AP$ and $\angle PAB$ acute. $PC$ is the foot of the perpendicular from $P$ to $AB$, and $C$ is a point on the line $BP$ on the $AB$ side. (You may assume that $C$ is not on the line $AB$.) $D$ completes the parallelogram $ABCD$. Show that $\angle APC=\angle ABC$ and that $M$ is the midpoint of $DA$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles ABP; mostrare angoli uguali e punto medio

$ABP$ è un triangolo di uguali braccia con $AB=AP$ e $\angle PAB$ acuta. $PC$ è il piede della perpendicolare da $P$ a $AB$, e $C$ è un punto sulla linea $BP$ sul lato $AB$. (Si può supporre che $C$ non sia sulla linea $AB$.) $D$ completa il parallelo $ABCD$. Indicare che $\angle APC=\angle ABC$ e che $M$ è il punto medio di $DA$.

src_bmo1_1998__Q03

Unique positive-integer sequence; show a term divisible by 87

Show that there is a unique sequence of positive integers $(a_n)$ satisfying the following conditions: $a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=a_n^2+a_{n+1}\text{for }n=1,2,3,\dots$ and that $a_{1998}$ is divisible by $87$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Congruenze, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza unica dei numeri interi positivi; mostrare un termine divisibile per 87

Indicare che esiste una sequenza unica di integri positivi $(a_n)$ che soddisfa le seguenti condizioni: $a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=a_n^2+a_{n+1}\text{for }n=1,2,3,\dots$ e che $a_{1998}$ è divisibile da $87$.

src_bmo1_1998__Q04

Triangle ABC with midpoint D on BC; find angle BAC given angle condition

In triangle $ABC$, $D$ is the midpoint of $BC$ and $E$ is the point on $AB$ nearest to $C$. Given that $\angle ADC=\angle BAC$, find $\angle BAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con punto medio D su BC; trovare angolo BAC con data condizione angolare

Nel triangolo $ABC$, $D$ è il punto medio di $BC$ e $E$ è il punto più vicino a $AB$. Dato che $\angle ADC=\angle BAC$, trovare $\angle BAC$.

src_bmo1_1998__Q05