British Mathematical Olympiad 1999 — Round 1

Four children’s distinct ages satisfy two sum-of-squares conditions

I have four children. The age in years of each child is a positive integer between 2 and 16 inclusive and all four ages are distinct. A year ago the square of the age of the oldest child was equal to the sum of the squares of the ages of the other three. In one year’s time the sum of the squares of the ages of the oldest and the youngest will be equal to the sum of the squares of the other two children.

Decide whether this information is sufficient to determine their ages uniquely, and find all possibilities for their ages.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quattro bambini di diverse età soddisfano due condizioni di somma quadrata

Ho quattro figli. L’età degli anni di ciascun bambino è un numero intero positivo compreso tra 2 e 16 anni e tutte e quattro le età sono diverse. Un anno fa il quadrato dell’età del bambino più grande era uguale alla somma dei quadrati dell’età degli altri tre. Tra un anno la somma dei quadrati delle età del più anziano e del più giovane sarà uguale alla somma dei quadrati degli altri due bambini.

Decidere se queste informazioni sono sufficienti per determinare l’età in modo unico e trovare tutte le possibilità per la loro età.

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Ratio of tangents constant as P moves on circle with diameter AB

A circle has diameter $AB$ and $X$ is a fixed point of $AB$ lying between $A$ and $B$. A point $P$, distinct from $A$ and $B$, lies on the circumference of the circle. Prove that $\frac{\tan \angle APX}{\tan \angle PAX}$ remains constant as $P$ moves around the circle.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ratio di tangenti costanti mentre P si muove su un cerchio di diametro AB

Un cerchio ha un diametro $AB$ e $X$ è un punto fisso di $AB$ situato tra $A$ e $B$. Un punto $P$, distinto da $A$ e $B$, si trova sulla circonferenza del cerchio. Prove che $\frac{\tan \angle APX}{\tan \angle PAX}$ rimane costante mentre $P$ si muove intorno al cerchio.

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Find positive constant c so equation has exactly three positive-integer solutions

Determine a positive constant $c$ such that the equation $x{y}^2-y^2-x+y=c$ has precisely three solutions $(x,y)$ in positive integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trovare costante positiva c così l’equazione ha esattamente tre soluzioni a numeri interi positivi

Determinare una costante positiva $c$ tale che l’equazione $x{y}^2-y^2-x+y=c$ abbia precisamente tre soluzioni $(x,y)$ in numeri interi positivi.

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Base-3 digit-cube iteration: show convergence and find all eventual values

Any positive integer $n$ can be written uniquely in base 3 form. Let $c(n)$ denote the sum of the cubes of the digits of the base 3 representation of $n$. For instance $c(90)=1^3+0^3+0^3+1^3+0^3=2$.

Let $a$ be any fixed positive integer. Define $u_1=a$ and $u_r=c(u_{r-1})$ for $r\ge 2$.

Show that there is a positive integer $N$ such that $u_n=u_N$ for all $n\ge N$, and determine all possible values that $u_N$ can take. Is it always the case that $u_N=1$ or $u_N=17$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Iterazione di base a cubo a 3 cifre: mostra la convergenza e trova tutti i valori eventuali

Qualsiasi numero intero positivo $n$ può essere scritto in modo unico nella forma di base 3. $c(n)$ indichi la somma dei cubi dei numeri della rappresentazione di base 3 di $n$. Per esempio $c(90)=1^3+0^3+0^3+1^3+0^3=2$.

$a$ sia qualsiasi numero intero positivo fisso. Definire $u_1=a$ e $u_r=c(u_{r-1})$ per $r\ge 2$.

Indicare che esiste un intero positivo $N$ tale che $u_n=u_N$ per tutti $n\ge N$, e determinare tutti i valori possibili che $u_N$ può assumere. È sempre così che $u_N=1$ o $u_N=17$?

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Bijective f with f(f(n)) condition: show unique positive integer fixed point exists

Consider all functions $f$ from the positive integers to the positive integers such that (i) for each positive integer $m$, there is a unique positive integer $n$ such that $f(n)=m$; (ii) for each positive integer $n$, $f(f(n))=p$ for some positive integer $p$.

Show that there is a positive integer $n$ such that $f(n)=p$.

Topic: Insiemi e funzioni, Combinatoria Metodo: Induzione, Invarianti, Biiezione Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Objective f con f(f(n)) condizione: mostrare l’esistenza di un unico punto fisso a numeri interi positivi

Considera tutte le funzioni $f$ dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi in modo che (i) per ogni intero positivo $m$, ci sia un intero positivo unico $n$ in modo che $f(n)=m$; (ii) per ogni intero positivo $n$, $f(f(n))=p$ per qualche intero positivo $p$.

Indicare che esiste un intero positivo $n$ tale che $f(n)=p$.

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