British Mathematical Olympiad 2000 — Round 1

Common tangent to two intersecting circles; prove MQ bisects angle PMR

Two intersecting circles $C_1$ and $C_2$ have a common tangent which touches $C_1$ at $P$ and $C_2$ at $Q$. The two circles intersect at $M$ and $N$, where $N$ is nearer to $PQ$ than $M$ is. The line $PN$ meets the circle $C_2$ again at $R$. Prove that $MQ$ bisects angle $PMR$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tangente comune a due cerchi che si intersecano; dimostrazione dell’angolo PMR

Due cerchi incrociati $C_1$ e $C_2$ hanno una tangente comune che tocca $C_1$ a $P$ e $C_2$ a $Q$. I due cerchi si incrociano a $M$ e $N$, dove $N$ è più vicino a $PQ$ rispetto a $M$. La linea $PN$ incontra nuovamente il cerchio $C_2$ a $R$. Provare che $MQ$ divide l’angolo $PMR$.

src_bmo1_2000__Q01

Show an expression in n is divisible by 2000

Show that, for every positive integer $n$, $121^n-25^n+1900^n-(-4{)}^n$ is divisible by 2000.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra che un’espressione in n è divisibile per 2000

Mostra che per ogni intero positivo $n$, $121^n-25^n+1900^n-(-4{)}^n$ è divisibile per 2000.

src_bmo1_2000__Q02

Minimise AP+BP+CP for point P on perimeter of right-angled triangle

Triangle $ABC$ has a right angle at $A$. Among all points $P$ on the perimeter of the triangle, find the position of $P$ such that $AP+BP+CP$ is minimised.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Minimizzare AP+BP+CP per il punto P sul perimetro del triangolo rettangolare

Il triangolo $ABC$ ha un angolo retto a $A$. Tra tutti i punti $P$ sul perimetro del triangolo, trovare la posizione di $P$ tale da ridurre al minimo $AP+BP+CP$.

src_bmo1_2000__Q03

Recurrence sequence; find all k for which 2000 is a term

For each positive integer $k>1$, define the sequence $\{a_n\}$ by $a_0=1\text{and}{a}_n=kn+(-1{)}^n{a}_{n-1}\text{for each }n\ge 1.$ Determine all values of $k$ for which 2000 is a term of the sequence.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza di ricorrenze; trovare tutti i k per i quali 2000 è un termine

Per ogni intero positivo $k>1$, definire la sequenza $\{a_n\}$ da $a_0=1\text{and}{a}_n=kn+(-1{)}^n{a}_{n-1}\text{for each }n\ge 1.$ Determinare tutti i valori di $k$ per i quali 2000 è un termine della sequenza.

src_bmo1_2000__Q04

Count ways seven (then eight) people form four unequal teams

The seven dwarfs decide to form four teams to compete in the Millennium Quiz. Of course, the sizes of the teams will not all be equal. For instance, one team might consist of Doc alone, one of Dopey alone, one of Sleepy, Happy $\&$ Grumpy, and one of Bashful $\&$ Sneezy. In how many ways can the four teams be made up? (The order of the teams or of the dwarfs within the teams does not matter, but each dwarf must be in exactly one of the teams.)

Suppose Snow-White agreed to take part as well. In how many ways could the four teams then be formed?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi in cui sette (allora otto) persone formano quattro squadre disuguali

Le sette nane decidono di formare quattro squadre per competere nel Millennium Quiz. Naturalmente, le dimensioni delle squadre non saranno tutte uguali. Ad esempio, una squadra potrebbe essere composta da Doc solo, una da Dopey solo, una da Sleepy, Happy $\&$ Grumpy, e una da Bashful $\&$ Sneezy. In quanti modi possono essere costituite le quattro squadre? (L’ordine delle squadre o dei nani all’interno delle squadre non importa, ma ogni nano deve essere esattamente in una delle squadre.)

Supponiamo che anche Bianco Neve abbia accettato di partecipare. In quanti modi potevano allora essere formate le quattro squadre?

src_bmo1_2000__Q05