British Mathematical Olympiad 2001 — Round 1

Find two-digit N where digit sum of 10^N minus N is divisible by 170

Find all two-digit integers $N$ for which the sum of the digits of $10^N-N$ is divisible by $170$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca N a due cifre dove la somma di 10^N meno N è divisibile per 170

Trova tutti i numeri interi a due cifre $N$ per i quali la somma dei numeri di $10^N-N$ è divisibile da $170$.

src_bmo1_2001__Q01

Circle inside another; tangent chords from external point; angle relation at touch point

Circle $S$ lies inside circle $T$ and touches it at $A$. From a point $P$ (distinct from $A$) on $T$, the chords $PQ$ and $PR$ of $T$ are tangent to $S$. Show that $\angle QAR=2\angle XAV$, where $X$ and $V$ are the points at which $S$ touches $PQ$ and $PR$ respectively.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo all’interno di un altro; accordi tangenti dal punto esterno; rapporto angolare al punto di contatto

Il cerchio $S$ si trova all’interno del cerchio $T$ e lo tocca a $A$. A partire da un punto $P$ (distinto da $A$) su $T$, gli accordi $PQ$ e $PR$ di $T$ sono tangenti a $S$. Indicare che $\angle QAR=2\angle XAV$, dove $X$ e $V$ sono i punti in cui $S$ tocca rispettivamente $PQ$ e $PR$.

src_bmo1_2001__Q02

Seven distinct tetrominoes; prove they tile a 4x7 rectangle

A tetromino is one formed of four unit squares connected by common edges.

(i) If we do not distinguish between the possible rotations of a tetromino, prove that there are seven distinct tetrominoes.

(ii) Prove or disprove the statement: It is possible to pack all seven distinct tetrominoes into a $4\times 7$ rectangle without overlapping.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Colorazione, Invarianti Abilita: Astrazione, Casework accurato, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Sette tetromino distinte; dimostrano di avere un rettangolo 4x7

Un tetromino è uno formato da quattro quadrati unitari collegati da bordi comuni.

(i) Se non facciamo distinzione tra le possibili rotazioni di un tetromino, dimostriamo che ci sono sette tetromino distinte.

(ii) Provare o respingere l’affermazione: è possibile confezionare tutti e sette tetromini distinti in un rettangolo $4\times 7$ senza sovrapposizioni.

src_bmo1_2001__Q03

Sequence via floor-sqrt recurrence contains 2001 consecutive integers

Define the sequence $a_1,a_2,\dots$ by $a_1=n,a_{k+1}=a_k+\lfloor \sqrt{a_k}\rfloor ,$ where $n$ is a positive integer and $\lfloor x\rfloor$ denotes the nearest integer to $x$ less than or equal to $x$; integers are rounded up if necessary. Show that for some positive integer $n$, the terms $a_1,a_2,\dots ,a_{2001}$ form a sequence of $2001$ consecutive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione, Ricorsione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La sequenza attraverso la ricorrenza di pavimento-sqrt contiene numeri interi consecutivi del 2001

Definire la sequenza $a_1,a_2,\dots$ per $a_1=n,a_{k+1}=a_k+\lfloor \sqrt{a_k}\rfloor ,$ in cui $n$ è un intero positivo e $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più vicino a $x$ inferiore o uguale a $x$; se necessario i numeri interi sono arrotondati. Mostrare che per alcuni interi positivi $n$, i termini $a_1,a_2,\dots ,a_{2001}$ formano una sequenza di interi consecutivi $2001$.

src_bmo1_2001__Q04

Triangle right-angled iff a^2+b^2+c^2 equals 8R^2

A triangle has sides of length $a$, $b$, $c$ and its circumcircle has radius $R$. Prove that the triangle is right-angled if and only if $a^2+b^2+c^2=8R^2$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolare se a^2+b^2+c^2 è uguale a 8R^2

Un triangolo ha lati di lunghezza $a$, $b$, $c$ e il suo circoncircolo ha raggio $R$. Prove che il triangolo è rettangolare se e solo se $a^2+b^2+c^2=8R^2$.

src_bmo1_2001__Q05