British Mathematical Olympiad 2002 — Round 1

Find positive integers m,n with n odd satisfying unit fraction sum

Find all positive integers $m$, $n$ where $n$ is odd, that satisfy $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{12}.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Ricerca i numeri interi positivi m,n con n quantità di frazioni unitarie soddisfacenti *

Trova tutti gli integri positivi $m$, $n$ dove $n$ è odd, che soddisfano $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{12}.$

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Cyclic quadrilateral with equal segment conditions, prove 60-degree angle

The quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle. The diagonals $AC$, $BD$ meet at $Q$. The line $DA$ extended beyond $A$, and $CB$ extended beyond $B$, meet at $P$. Given that $CD=CP=DQ$, prove that $\angle CAD=60^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterali ciclici con condizioni di segmento uguali, prova un angolo di 60 gradi

Il quadrilaterale $ABCD$ è inserito in un cerchio. Le diagonali $AC$, $BD$ si incontrano a $Q$. Le linee $DA$ estese oltre $A$ e $CB$ estese oltre $B$ si incontrano a $P$. Dato che $CD=CP=DQ$, dimostrare che $\angle CAD=60^{\circ }$.

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Find all positive real solutions involving floor function equation

Find all positive real solutions to the equation $x+\lfloor x\rfloor +\{x\}=\lfloor x+\lfloor x\rfloor \rfloor +\frac{1}{2}$ where $\lfloor t\rfloor$ denotes the largest integer less than or equal to the real number $t$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni reali positive che coinvolgono l’equazione di funzione del pavimento

Trova tutte le soluzioni reali positive dell’equazione $x+\lfloor x\rfloor +\{x\}=\lfloor x+\lfloor x\rfloor \rfloor +\frac{1}{2}$ dove $\lfloor t\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale al numero reale $t$.

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Count handshake pairings of 12 people at circular table, no adjacent pairs

Twelve people are seated around a circular table. In how many ways can six pairs of people engage in handshakes so that no two people who shake hands are sitting next to each other? (Nobody is allowed to shake hands with more than one person at once.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta le coppie di stretta di mano di 12 persone a tavola circolare, senza coppie adiacenti

Dodici persone sono sedute attorno a un tavolo circolare. In quanti modi sei coppie di persone possono stringersi le mani in modo che non ci siano due persone che si stringeranno le mani sedute accanto? (A nessuno è permesso stringersi la mano di più di una persona contemporaneamente.)

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Strictly increasing function on non-negative integers with functional equation, find f(2001)

$f$ is a function from ${\mathbb{Z}}^{+}$ to ${\mathbb{Z}}^{+}$, where ${\mathbb{Z}}^{+}$ is the set of non-negative integers, which has the following properties: a) $f(n+1)>f(n)$ for each $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, b) $f(f(n))=f(n)+n$ for all $m$, $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Find all possible values of $f(2001)$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Funzione in aumento stretto su integri non negativi con equazione funzionale, trovare f(2001) *

$f$ è una funzione da ${\mathbb{Z}}^{+}$ a ${\mathbb{Z}}^{+}$, dove ${\mathbb{Z}}^{+}$ è l’insieme di integri non negativi, che ha le seguenti proprietà: a) $f(n+1)>f(n)$ per ogni $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, b) $f(f(n))=f(n)+n$ per tutti $m$, $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Trova tutti i valori possibili di $f(2001)$.

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