British Mathematical Olympiad 2003 — Round 1

Determine digits a,b,c from a power of 3

Given that $3^{47}=295232799cd96148108476186096435ab000000,$ determine the digits $a$, $b$, $c$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determine i numeri a,b,c da una potenza di 3

Dato che $3^{47}=295232799cd96148108476186096435ab000000,$ determina le cifre $a$, $b$, $c$.

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Circumcircle, altitude foot, midpoint, and diameter condition

The triangle $ABC$, where $AB<AC$, has circumcircle $S$. The perpendicular from $A$ to $BC$ meets $S$ again at $P$. The point $X$ lies on the line segment $AC$, and $BX$ meets $S$ again at $Q$. Show that $BX=CX$ if and only if $PQ$ is a diameter of $S$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo, piede di altitudine, punto medio e condizione di diametro

Il triangolo $ABC$, dove $AB<AC$, ha un circoncircolo $S$. La perpendicolare da $A$ a $BC$ incontra di nuovo $S$ a $P$. Il punto $X$ si trova nel segmento di linea $AC$ e $BX$ incontra di nuovo $S$ al $Q$. Indicare che $BX=CX$ se e solo se $PQ$ ha un diametro di $S$.

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Prove symmetric inequality for positive reals on unit sphere

Let $x$, $y$, $z$ be positive real numbers such that $x^2+y^2+z^2=1$. Prove that $x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2\le \frac{1}{3}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza simmetrica per i reali positivi sulla sfera unitaria

$x$, $y$, $z$ siano numeri reali positivi tali da $x^2+y^2+z^2=1$. Provare che $x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2\le \frac{1}{3}.$

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Maximum red points in grid with no right-angled triangle

Let $n$ be an integer greater than 1. Consider an $n\times n$ rectangular grid of points in the plane. Some $k$ of these points are coloured red in such a way that no three red points are the vertices of a right-angled triangle two of whose sides are parallel to the sides of the grid. Determine the greatest possible value of $k$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Punti rossi massimi in griglia senza triangolo rettangolo

$n$ sia un numero intero superiore a 1. Considera una griglia rettangolare $n\times n$ di punti nel piano. Alcuni $k$ di questi punti sono colorati in rosso in modo tale che non ci siano tre punti rossi che siano le vertici di un triangolo rettangolare i cui lati sono paralleli ai lati della griglia. Determinare il massimo valore possibile di $k$.

src_bmo1_2003__Q04

Find all positive integer solutions to a^b = b^a + b^c

Find all solutions in positive integers $a$, $b$, $c$ to the equation $a^b=b^a+b^c.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni a^b = b^a + b^c

Trova tutte le soluzioni in numeri interi positivi $a$, $b$, $c$ all’equazione $a^b=b^a+b^c.$

src_bmo1_2003__Q05