British Mathematical Olympiad 2004 — Round 1

Solve simultaneous equations in four real variables

Solve the simultaneous equations $ab+c+d=3,bc+d+a=5,cd+a+b=2,da+b+c=6,$ where $a,b,c,d$ are real numbers.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi equazioni simultanee in quattro variabili reali

Risolvere le equazioni simultanee $ab+c+d=3,bc+d+a=5,cd+a+b=2,da+b+c=6,$ dove $a,b,c,d$ sono numeri reali.

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Rectangle midpoint and perpendicular; prove triangle isosceles

$ABCD$ is a rectangle. $P$ is the midpoint of $AB$, and $Q$ is the point on $PD$ such that $CQ$ is perpendicular to $PD$. Prove that triangle $BQC$ is isosceles.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Rectangle midpoint and perpendicular; prove triangolare isosceles

$ABCD$ è un rettangolo. $P$ è il punto medio di $AB$ e $Q$ è il punto su $PD$ in modo tale che $CQ$ sia perpendicolare a $PD$. Prova che il triangolo $BQC$ è uguale.

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Card game; prove Alice’s score at least as great as Barbara’s

Alice and Barbara play a game with a pack of $2n$ cards, on each of which is written a positive integer. The pack is shuffled and the cards laid out in a row, with the girls taking turns to remove one card from either end of the row, with Alice picking up the final card. Each girl’s score is the sum of the numbers on the cards she holds at the end of the game. Prove that Alice can always obtain a score at least as great as Barbara’s.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Giocare a carte; dimostrare che il punteggio di Alice è almeno grande quanto quello di Barbara.

Alice e Barbara giocano a un gioco con un pacchetto di carte $2n$, su ciascuna delle quali è scritto un intero positivo. Il pacchetto viene mescolato e le carte disposte in fila, con le ragazze che si alternano per rimuovere una carta da entrambe le estremità della fila, con Alice che raccoglie l’ultima carta. Il punteggio di ogni ragazza è la somma dei numeri sulle carte che ha in mano alla fine della partita. Dimostra che Alice può sempre ottenere un punteggio almeno grande come Barbara.

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Count wicked subsets of {1,…,10} containing no three consecutive integers

A set of positive integers is defined to be wicked if it contains no three consecutive integers. We count the empty set, which contains no elements at all, as a wicked set. Find the number of wicked subsets of $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Contare i sottogruppi malvagi di {1,…,10} che non contengono tre numeri interi consecutivi *

Un insieme di numeri interi positivi è definito come cattivo se non contiene tre numeri interi consecutivi. Contiamo l’insieme vuoto, che non contiene elementi affatto, come un insieme malvagio. Trovare il numero di sottosette malvagi di $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.

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Find all prime pairs p,q with p|q+1 and q|p+1

Let $p$ and $q$ be prime numbers. It is given that $p$ divides $q+1$ and $q$ divides $p+1$. Determine all possible values of $pq$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie prime p,q con p difsq+1 e q difsp+1

$p$ e $q$ siano numeri primi. È dato che $p$ divide $q+1$ e $q$ divide $p+1$. Determinare tutti i possibili valori di $pq$.

src_bmo1_2004__Q05