British Mathematical Olympiad 2006 — Round 1

Show n^2(n^2+16) divisible by 720 when n-1 and n+1 both prime

Let $n$ be an integer such that $n-1$ and $n+1$ are both prime. Show that $n^2(n^2+16)$ is divisible by 720. Is the converse true?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra n^2(n^2+16) divisibile per 720 quando n-1 e n+1 sono entrambi primi

$n$ sia un numero intero tale che $n-1$ e $n+1$ siano entrambi numeri primi. Indicare che $n^2(n^2+16)$ è divisibile per 720. È vero il contrario?

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Count ways to split six twin-pairs into two equal teams with no twins together

Afrifan teaches a class of six pairs of twins. He wishes to set teams for a quiz, splitting the 12 students into two teams of six. Subject to this condition that no pair of twins is in the same team:

(i) In how many ways can he split them into two teams of six?

(ii) In how many ways can he split them into two teams of four?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi per dividere sei coppie di gemelli in due squadre uguali senza gemelli insieme

Afrifan insegna una classe di sei coppie di gemelli. Vuole organizzare squadre per un quiz, dividendo i 12 studenti in due squadre di sei. A condizione che nessuna coppia di gemelli sia nella stessa squadra:

(i) In quanti modi può dividerli in due squadre di sei persone?

(ii) In quanti modi può dividerli in due squadre di quattro persone?

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Cyclic quadrilateral: AC bisects angle DAB; show CE=CA iff DE parallel AB

In the cyclic quadrilateral $ABCD$, the diagonal $AC$ bisects the angle $DAB$. The side $AD$ is extended beyond $D$ to a point $E$. Show that $CE=CA$ if and only if $DE\parallel AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale ciclico: AC bisecta angolo DAB; mostra CE=CA se DE parallelo AB

Nel quadrilaterale ciclico $ABCD$, la diagonale $AC$ divide l’angolo $DAB$. Il lato $AD$ è esteso oltre $D$ fino a un punto $E$. Indicare che $CE=CA$ se e solo se $DE\parallel AB$.

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Rook path on equilateral triangle grid of side N; find max cells visited

The equilateral triangle $ABC$ has integer side length $N$. The triangle is completely divided (by drawing lines parallel to the sides of the triangle) into equilateral triangular cells of side length 1. A continuous route is chosen, starting inside the cell with vertex $A$, and always crossing from one cell to another on an edge shared by the two cells. No cell is visited more than once. Find, with proof, the greatest number of cells which can be visited.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Invarianti, Colorazione, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Correre il percorso sulla griglia triangolare equilaterale del lato N; trovare le cellule mass visitate

Il triangolo equilaterale $ABC$ ha lunghezza laterale integrale $N$. Il triangolo è completamente diviso (disegnando linee parallele ai lati del triangolo) in celle triangolari equilaterali di lunghezza laterale 1. Si sceglie un percorso continuo, che inizia all’interno della cella con vertice $A$, e che passa sempre da una cella all’altra su un bordo condiviso dalle due celle. Nessuna cellula viene visitata più di una volta. Trova, con la prova, il maggior numero di celle che possono essere visitate.

src_bmo1_2006__Q04

Every line through X halves convex quadrilateral iff it is a parallelogram

Let $G$ be a convex quadrilateral. Show that there is a point $X$ in the plane of $G$ with the property that every straight line through $X$ divides $G$ into two regions of equal area if and only if $G$ is a parallelogram.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ogni linea attraverso X è quadrilaterale convexa se è un parallelo

Che $G$ sia un quadrilaterale convex. Indicare che vi è un punto $X$ nel piano di $G$ con la proprietà che ogni linea retta attraverso $X$ divide $G$ in due regioni di superficie uguale se e solo se $G$ è un parallelo.

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2005 points no three collinear; triangles strictly containing a given point is even

Let $T$ be a set of 2005 coplanar points with no three collinear. Show that, for any of the 2005 points, the number of triangles formed by the remaining 2004 points within whose interior that point lies strictly is even.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Doppio conteggio, Invarianti, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

2005 punti non tre collineari; i triangoli che contengono rigorosamente un dato punto sono pari

Il $T$ deve essere un insieme di punti coplanari del 2005 senza tre punti collineari. Mostrare che, per uno qualsiasi dei punti del 2005, il numero di triangoli formati dai restanti punti del 2004 all’interno dei quali si trova strettamente quel punto è pari.

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